2023-2024学年江西省部分学校高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2江西省部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章至第二章第5节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列中，，则（）A.8 B.11 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由，得.故选：D2.已知函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则．故选：B.3.在公差为的等差数列中，，则（）A.44 B.36 C.30 D.28〖答案〗B〖解析〗设等差数列的首项为，因为，所以，解得，故，故B正确.故选：B4.已知，随机变量的分布列为468设，则（）A.数列单调递增 B.数列单调递减C.数列先增后减 D.数列先减后增〖答案〗A〖解析〗，，当，时，数列单调递增．故选：A.5.若则（）A. B. C.9 D.63〖答案〗A〖解析〗对等式两边同时求导，得，即，令，得.故选：A.6.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（）A.64 B.72 C.80 D.92〖答案〗C〖解析〗设是该等比数列的前项和，依题意可知，则成等比数列，即成等比数列，则，解得．故选：C.7.设函数导函数为的导函数为的导函数为．若，且，则为曲线的拐点．下列结论正确的是（）A.曲线有拐点 B.曲线有拐点C.曲线无拐点 D.曲线无拐点〖答案〗B〖解析〗对于A，和零点均为0，所以曲线无拐点，故A错误；对于B，，和的零点不相等，所以曲线有拐点，故B正确；对于C，，，，所以曲线有拐点，故C错误；对于D，，，，故是的拐点，即D错误．故选：B.8.若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”．例如，数列，为“邻和等差数列”．已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，则（）A.39700 B.39800 C.39900 D.40000〖答案〗A〖解析〗设，由，得，则，故．故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为，且成等比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（）A.B.甲、乙都通过这次考试的概率为0.24C.甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12D.乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96〖答案〗BD〖解析〗对A，依题意可得，解得，故A错误；对B，甲、乙都通过这次考试的概率为，故B正确；对C，甲、丙都不通过这次考试的概率为，故C错误；对D，乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为，故D正确．故选：BD.10.已知函数，则（）A.的零点之和为3B.的图象关于点对称C.曲线不存在倾斜角为切线D.曲线在处的切线的斜率为432〖答案〗BCD〖解析〗因为，其中，，所以只有一个零点，所以零点之和为0，故A错误．因为，所以的图象关于点对称，故B正确．因为，所以曲线不存在倾斜角为的切线，故C正确．设，则，则，所以，故D正确．故选:BCD.11.表示数列的前项积，如．已知，则下列结论正确的是（）A. B.！C. D.满足的的最小值为41〖答案〗ACD〖解析〗，A正确．，B错误．因为，所以，C正确．，由，得，则，D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的导函数存在两个零点，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，得，由导函数存在两个零点，则，解得．故〖答案〗为：13.若数列为等比数列，且，则______，数列的前项和为______．〖答案〗①②〖解析〗令，则，所以等比数列的公比为2，所以，故．数列的前项和为，则数列的前项和为．故〖答案〗为：；14.某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为______．〖答案〗2〖解析〗由求导得，，因，则当，即，即时，取得最小值2，故该质点的瞬时速度的最小值为．故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.（1）求的表达式；（2）若自变量从变到，求的平均变化率；（3）若，求在处的瞬时变化率.解：（1）因为四边形的周长为12，所以，所以，因为，所以，所以.（2）若自变量从变到，则的平均变化率为.（3）由，得.，则，所以在处的瞬时变化率为-30.16.已知函数的图象在点处的切线经过点．（1）当时，求的方程．（2）证明：数列是等差数列．（3）求数列的前项和．解：（1）当时，则，所以，又，所以切点为，切线的斜率为，则切线的方程为，即.（2）因为，则，，所以，则切线方程为，即，令，解得，所以，则，则，又，所以是以为首项，为公差的等差数列.（3）由（2）可得，所以，所以，则，所以，所以.17已知函数．（1）求不等式的解集；（2）求过点且与曲线相切的切线方程．解：（1），由，得，解得，则所求不等式的解集为．（2）因为，所以曲线在点处的切线方程为．将点的坐标代入，并整理得，解得或1或．当时，切线方程为；当时，切线方程为，即；当时，切线方程为，即．18.设为的导函数，若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递增；若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递减．若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．（1）判断函数在上的凹凸性，并说明理由；（2）若函数为上的凹函数，求的取值范围．解：（1）因为在上为增函数，所以在上为凹函数，，设，则，当时，，，则在上为减函数，所以在上为凸函数．（2），设为的导函数，则对恒成立．则．当时，（不恒成立），单调递减；当时，（不恒成立），单调递增．所以，所以，解得，故的取值范围是．19.函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足．（1）求的值；（2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列．①求的通项公式；②证明：对任意的，都有．解：（1）由，得，则，所以；由，得，则，所以.（2）①依题意，，则，对于给定的，存在唯一确定的，使得，即，而，则当时，，设，此时，即；当时，，设，此时，即，因此，恰好跳过，即所有正整数中恰好少了，因为，所以.②由，得，则为递增数列，，当时，，则，所以对任意的，都有.江西省部分学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4．本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第二册第一章至第二章第5节.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在数列中，，则（）A.8 B.11 C.18 D.19〖答案〗D〖解析〗由，得.故选：D2.已知函数，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，则．故选：B.3.在公差为的等差数列中，，则（）A.44 B.36 C.30 D.28〖答案〗B〖解析〗设等差数列的首项为，因为，所以，解得，故，故B正确.故选：B4.已知，随机变量的分布列为468设，则（）A.数列单调递增 B.数列单调递减C.数列先增后减 D.数列先减后增〖答案〗A〖解析〗，，当，时，数列单调递增．故选：A.5.若则（）A. B. C.9 D.63〖答案〗A〖解析〗对等式两边同时求导，得，即，令，得.故选：A.6.设等比数列的前7项和、前14项和分别为2，8，则该等比数列的前28项和为（）A.64 B.72 C.80 D.92〖答案〗C〖解析〗设是该等比数列的前项和，依题意可知，则成等比数列，即成等比数列，则，解得．故选：C.7.设函数导函数为的导函数为的导函数为．若，且，则为曲线的拐点．下列结论正确的是（）A.曲线有拐点 B.曲线有拐点C.曲线无拐点 D.曲线无拐点〖答案〗B〖解析〗对于A，和零点均为0，所以曲线无拐点，故A错误；对于B，，和的零点不相等，所以曲线有拐点，故B正确；对于C，，，，所以曲线有拐点，故C错误；对于D，，，，故是的拐点，即D错误．故选：B.8.若数列相邻两项的和依次构成等差数列，则称是“邻和等差数列”．例如，数列，为“邻和等差数列”．已知数列是“邻和等差数列”，是其前项和，且，，则（）A.39700 B.39800 C.39900 D.40000〖答案〗A〖解析〗设，由，得，则，故．故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在某次英语四级考试中，若甲、乙、丙通过考试的概率分别为，且成等比数列，三人各自是否通过这次考试相互独立，则（）A.B.甲、乙都通过这次考试的概率为0.24C.甲、丙都不通过这次考试的概率为0.12D.乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为0.96〖答案〗BD〖解析〗对A，依题意可得，解得，故A错误；对B，甲、乙都通过这次考试的概率为，故B正确；对C，甲、丙都不通过这次考试的概率为，故C错误；对D，乙、丙中至少有一人通过这次考试的概率为，故D正确．故选：BD.10.已知函数，则（）A.的零点之和为3B.的图象关于点对称C.曲线不存在倾斜角为切线D.曲线在处的切线的斜率为432〖答案〗BCD〖解析〗因为，其中，，所以只有一个零点，所以零点之和为0，故A错误．因为，所以的图象关于点对称，故B正确．因为，所以曲线不存在倾斜角为的切线，故C正确．设，则，则，所以，故D正确．故选:BCD.11.表示数列的前项积，如．已知，则下列结论正确的是（）A. B.！C. D.满足的的最小值为41〖答案〗ACD〖解析〗，A正确．，B错误．因为，所以，C正确．，由，得，则，D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知函数的导函数存在两个零点，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗由，得，由导函数存在两个零点，则，解得．故〖答案〗为：13.若数列为等比数列，且，则______，数列的前项和为______．〖答案〗①②〖解析〗令，则，所以等比数列的公比为2，所以，故．数列的前项和为，则数列的前项和为．故〖答案〗为：；14.某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为______．〖答案〗2〖解析〗由求导得，，因，则当，即，即时，取得最小值2，故该质点的瞬时速度的最小值为．故〖答案〗为：2.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在长方体中，四边形的周长为，长方体的体积为.（1）求的表达式；（2）若自变量从变到，求的平均变化率；（3）若，求在处的瞬时变化率.解：（1）因为四边形的周长为12，所以，所以，因为，所以，所以.（2）若自变量从变到，则的平均变化率为.（3）由，得.，则，所以在处的瞬时变化率为-30.16.已知函数的图象在点处的切线经过点．（1）当时，求的方程．（2）证明：数列是等差数列．（3）求数列的前项和．解：（1）当时，则，所以，又，所以切点为，切线的斜率为，则切线的方程为，即.（2）因为，则，，所以，则切线方程为，即，令，解得，所以，则，则，又，所以是以为首项，为公差的等差数列.（3）由（2）可得，所以，所以，则，所以，所以.17已知函数．（1）求不等式的解集；（2）求过点且与曲线相切的切线方程．解：（1），由，得，解得，则所求不等式的解集为．（2）因为，所以曲线在点处的切线方程为．将点的坐标代入，并整理得，解得或1或．当时，切线方程为；当时，切线方程为，即；当时，切线方程为，即．18.设为的导函数，若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递增；若在上恒成立，且在上不恒成立，则在上单调递减．若在上单调递增，则称为上的凹函数；若在上单调递减，则称为上的凸函数．（1）判断函数在上的凹凸性，并说明理由；（2）若函数为上的凹函数，求的取值范围．解：（1）因为在上为增函数，所以在上为凹函数，，设，则，当时，，，则在上为减函数，所以在上为凸函数．（2），设为的导函数，则对恒成立．则．当时