2023-2024学年吉林省BEST合作体高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2吉林省BEST合作体”2023-2024学年高二下学期期中数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第六章6.1.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（）A.12种 B.24种 C.7种 D.14种〖答案〗D〖解析〗由题意进入商场的不同方式共有种.故选：D.2.已知函数在处可导，若，则（）A.22 B.11 C.-22 D.-11〖答案〗A〖解析〗因为,又，所以.故选：A.3.在公差为的等差数列中，，则（）A.44 B.36 C.30 D.28〖答案〗B〖解析〗设等差数列的首项为，因为，所以，解得，故，故B正确.故选：B4.已知函数在上单调递增，则的最大值为（）A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为函数在上单调递增，所以恒成立，则，解得，所以的最大值为.故选：C.5.已知数列的前n项和为，若，，则（）A.-3 B.3 C.-2 D.2〖答案〗B〖解析〗若，，变形得到，，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；故选：B.6.定义新运算.已知函数，，，则下列区间中，单调递增为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，令，则即，所以，所以，所以，所以，所以单调递增区间为.故选：B.7.等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则（）A.28 B.14 C.20 D.10〖答案〗A〖解析〗设公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，得，所以，故选：A8.已知函数，若，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以且，则，故，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，则，即的取值范围是.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（）A.该物体瞬时速度的最小值为1m/s B.该物体瞬时速度的最小值为2m/sC.该物体在第1s时的动能为16J D.该物体在第1s时的动能为8J〖答案〗AD〖解析〗由题意得，则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误.由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确.故选：AD.10.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（）A.可能为等差数列 B.不可能为等比数列C.是等差数列 D.是等比数列〖答案〗AC〖解析〗对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确．对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误．对于C，设的公差为，则，得，因为，所以数列是等差数列，所以C正确．对于D，设的公比为，则，当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误．故选：AC11.已知函数，存在n个零点，，则（）A.为偶数 B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗若，则函数没零点，当时，令可得所以令当时，单调递增，当时，单调递减，故时，取极大值也为最大值，当时，恒成立，故故当有解时，所以故选项B错误，且当时，函数有两个零点，当时，则图象关于对称，故当函数有4个零点，故选项A正确，所以，选项C错误，选项D：设函数零点从左至右依次为，则则，选项D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是________.〖答案〗120〖解析〗由题意得，先从6件礼物中任选3件，共有不同的方法，然后选出3件送给3位同学，每人1件，共有不同的方法，所以由分步乘法原理可知共有不同的方法，故〖答案〗为：12013.若函数在区间上有极值，则a取值范围为________.〖答案〗〖解析〗由求导可得，，因函数在区间上有极值，则方程在区间上有实根，故须使，（若，得，此时，函数在上无极值）解得或且方程在区间上有实根，也即函数与在区间上有交点.因在上递减，在上递增，且，，故，即，解得，又或，故a的取值范围为.故〖答案〗为：.14.在数列中，，.设数列的前项和为，若存在，使得不等式，则实数的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗由已知有，故，又，所以是等差数列，所以，所以，则，所以，因为存在，使得不等式，所以，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设数列的前n项和为，，.（1）证明：为等比数列.（2）若，，求数列的前n项和.解：（1）由，，可得，所以，解得，当时，，又，两式相减得，即，因为，所以数列是首项为，公比为等比数列；（2）因为，，，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，由（1）知，，所以①，②，①-②得，故.16.已知函数．（1）当时，求在上的值域；（2）讨论的单调性．解：（1）当时，则，当时恒成立，所以在上单调递增，又，，所以在上的值域为.（2）函数的定义域为，又，当，即时恒成立，所以在上单调递减；当，即时，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增；综上可得：当时在上单调递减；当时在上单调递减，在上单调递增.17.已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b；（2）若，，求a的取值范围.解：（1）因为，所以，又，所以，由题意，又即，两式联立解得.（2）由，得，即，当时，R，当时，，当时，，记，则，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以，当时，，所以，综上，a的取值范围为.18.已知函数.（1）求的极值.（2）已知，且.①求的取值范围；②证明:.解：（1）由题意，则当时，，当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得极小值，当时，取得极大值.（2）①因为当时，，且在和上单调递增，在上单调递减，且，又，，所以的取值范围为.②因为，，由（1）的单调性可知，令，则，因为，所以，即，解得，所以，要证，即证.令，则，所以在上单调递增，所以，故成立.19.函数称为取整函数，也称为高斯函数，其中表示不超过实数最大整数，例如：．对于任意的实数，定义数列满足．（1）求的值；（2）设，从全体正整数中除去所有，剩下的正整数按从小到大的顺序排列得到数列．①求的通项公式；②证明：对任意的，都有．解：（1）由，得，则，所以；由，得，则，所以.（2）①依题意，，则，对于给定的，存在唯一确定的，使得，即，而，则当时，，设，此时，即；当时，，设，此时，即，因此，恰好跳过，即所有正整数中恰好少了，因为，所以.②由，得，则为递增数列，，当时，，则，所以对任意的，都有.吉林省BEST合作体”2023-2024学年高二下学期期中数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册至选择性必修第三册第六章6.1.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某商场东面和西面均有4个门，北面和南面均有3个门，若某人从其中的任意一个门进入商场，则进入商场的不同方式共有（）A.12种 B.24种 C.7种 D.14种〖答案〗D〖解析〗由题意进入商场的不同方式共有种.故选：D.2.已知函数在处可导，若，则（）A.22 B.11 C.-22 D.-11〖答案〗A〖解析〗因为,又，所以.故选：A.3.在公差为的等差数列中，，则（）A.44 B.36 C.30 D.28〖答案〗B〖解析〗设等差数列的首项为，因为，所以，解得，故，故B正确.故选：B4.已知函数在上单调递增，则的最大值为（）A.3 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，因为函数在上单调递增，所以恒成立，则，解得，所以的最大值为.故选：C.5.已知数列的前n项和为，若，，则（）A.-3 B.3 C.-2 D.2〖答案〗B〖解析〗若，，变形得到，，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得；故选：B.6.定义新运算.已知函数，，，则下列区间中，单调递增为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，所以，所以，令，则即，所以，所以，所以，所以，所以单调递增区间为.故选：B.7.等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，，则（）A.28 B.14 C.20 D.10〖答案〗A〖解析〗设公比为，因为，，成等差数列，所以，所以，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，得，所以，故选：A8.已知函数，若，且，则的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，所以且，则，故，令，则在上恒成立，所以在上单调递增，则，即的取值范围是.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（）A.该物体瞬时速度的最小值为1m/s B.该物体瞬时速度的最小值为2m/sC.该物体在第1s时的动能为16J D.该物体在第1s时的动能为8J〖答案〗AD〖解析〗由题意得，则该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误.由，得，所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确.故选：AD.10.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（）A.可能为等差数列 B.不可能为等比数列C.是等差数列 D.是等比数列〖答案〗AC〖解析〗对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确．对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误．对于C，设的公差为，则，得，因为，所以数列是等差数列，所以C正确．对于D，设的公比为，则，当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误．故选：AC11.已知函数，存在n个零点，，则（）A.为偶数 B.C. D.〖答案〗AD〖解析〗若，则函数没零点，当时，令可得所以令当时，单调递增，当时，单调递减，故时，取极大值也为最大值，当时，恒成立，故故当有解时，所以故选项B错误，且当时，函数有两个零点，当时，则图象关于对称，故当函数有4个零点，故选项A正确，所以，选项C错误，选项D：设函数零点从左至右依次为，则则，选项D正确.故选：AD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从6件不同的礼物中选出3件送给3位同学，每人1件，不同的选法种数是________.〖答案〗120〖解析〗由题意得，先从6件礼物中任选3件，共有不同的方法，然后选出3件送给3位同学，每人1件，共有不同的方法，所以由分步乘法原理可知共有不同的方法，故〖答案〗为：12013.若函数在区间上有极值，则a取值范围为________.〖答案〗〖解析〗由求导可得，，因函数在区间上有极值，则方程在区间上有实根，故须使，（若，得，此时，函数在上无极值）解得或且方程在区间上有实根，也即函数与在区间上有交点.因在上递减，在上递增，且，，故，即，解得，又或，故a的取值范围为.故〖答案〗为：.14.在数列中，，.设数列的前项和为，若存在，使得不等式，则实数的取值范围为________.〖答案〗〖解析〗由已知有，故，又，所以是等差数列，所以，所以，则，所以，因为存在，使得不等式，所以，所以实数的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设数列的前n项和为，，.（1）证明：为等比数列.（2）若，，求数列的前n项和.解：（1）由，，可得，所以，解得，当时，，又，两式相减得，即，因为，所以数列是首项为，公比为等比数列；（2）因为，，，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，由（1）知，，所以①，②，①-②得，故.16.已知函数．（1）当时，求在上的值域；（2）讨论的单调性．解：（1）当时，则，当时恒成立，所以在上单调递增，又，，所以在上的值域为.（2）函数的定义域为，又，当，即时恒成立，所以在上单调递减；当，即时，当时，当时，所以在