2023-2024学年福建省福州市闽江口协作体高二下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2福建省福州市闽江口协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：必修第一册第一、二、三章，选择性必修三第六章、第七章7.1-7.3．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故选：C.2.小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（）A.8种 B.12种 C.16种 D.18种〖答案〗C〖解析〗∵小五和小明两人从4门课程中各选修1门，∴由乘法原理可得小五、小明所选的课程的选法有4×4=16（种）．故选:C3.下列叙述中，是离散型随机变量的是（）A.某电子元件的寿命B.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数C.某人早晨在车站等出租车的时间D.测量某零件的长度产生的测量误差〖答案〗B〖解析〗某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．故选：B．4.已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设三角形的两条直角边长为、，可得，三角形周长为，当且仅当时取等号．故选：C5.已知函数在上的值域为，则在上的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数在上值域为，令，所以在上的取值范围为，又是奇函数，所以在上的值域为，所以在上的值域为．故选:B．6.已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则的常数项为；若的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为，且存在常数项，则，，为整数，所以能被4整除.所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.7.随机变量的分布列如下，且，则（）012A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意可得解得．故选:C．8.将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题得任意放球共有种方法，如果有3个小球与所在的盒子的编号相同，第一步：先从6个小球里选3个编号与所在的盒子相同，有种选法；第二步：不妨设编号相同的小球选的是1、2、3号球，编号为4，5，6小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种，所以有3个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法．由古典概型的概率公式得恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32 B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60 D.有理项的个数为3〖答案〗AC〖解析〗偶数项的二项式系数之和为，故A正确；根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误，令，，∴，故C正确；为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误.故选：AC．10.下列说法正确的是（）A.已知是奇函数，则有B.函数的单调减区间是C.定义在上的函数，若，则不是偶函数D.已知在上是增函数，若，则有〖答案〗CD〖解析〗奇函数不一定过，故A错误；，所以函数的单调减区间是，，故B错误；如果是定义在上的偶函数，则，因为，∴不是偶函数，故C正确；在上是增函数，若，即，，所以，，所以，即，故D正确．故选：CD．11.若，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，A正确；因为，，所以，B错误；因此，，C正确；从而．D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.，等6人排成一列，则在的前面的排法种数是________种．（用数字作答）〖答案〗360〖解析〗依题意在的前面的排法有种．故〖答案〗为：13.已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为_______．〖答案〗〖解析〗当时，，故在上单调递增．函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增．因，由f3+m+f3m-7>0，可得又因为在上单调递增，所以，解得．故〖答案〗为：.14.已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是_______．〖答案〗〖解析〗由于，，则不等式的解为，由于恰有3个解，其中，于是3个解为，则要求，解出，综上，．故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.根据张桂梅校长真实事迹拍摄电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：（1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？（2）3名女教师互不相邻坐法有多少种？解：（1）根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法，将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法，由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法．（2）根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法，再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法，由分步乘法计数原理，共有60×24=1440种坐法．16.（1）已知，求值：；（2）解方程：．解：（1）∵，∴，解得或（舍），因为，所以，原式；（2）因为，所以，化简可得，同时，解得．17.已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍．（1）求正整数的值；（2）若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值；（3）求系数最大的项．解：（1）由题意得，二项式的展开式的通项为，，第三项的系数是，第二项的系数是又由第三项的系数是第二项的系数的倍，有，解得；（2）对于二项式，令，即得展开式中各项系数之和为，可得，展开式的二项式系数之和为，可得，可得；（3）展开式的通项为，，则整理得，即而，∴，所以系数最大的项为．18.已知函数的定义域为，对任意正实数，都有，且当时，．（1）求的值；（2）试判断的单调性，并证明；（3）若，求的取值范围．解：（1）令，得，解得；（2）在上单调递减，证明如下：不妨设，所以，又，所以，所以，所以，即，所以在上单调递减；（3）由（2）知在上单调递减，若，即，所以解得或，即的取值范围是．19.已知不透明的袋子中装有7个大小质地完全相同的小球，其中2个白球，5个黑球，从中无放回地随机取球，每次取一个．（1）求前两次取出的球颜色相同的概率；（2）当白球被全部取出时，停止取球，记取球次数为随机变量，求的分布列以及数学期望．解：（1）设事件A为“前两次取出的球颜色相同”，设事件B为“第一次取黑球，第二次取黑球”，则，事件C为“第一次取白球，第二次取白球”，则，因为事件B与C互斥，所以，所以前两次取出的球颜色相同的概率为；（2）依题意，的取值为2，3，4，5，6，7，，，，，，，所以的分布列为234567所以.福建省福州市闽江口协作体2023-2024学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选〖答案〗的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．5．本卷主要考查内容：必修第一册第一、二、三章，选择性必修三第六章、第七章7.1-7.3．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故选：C.2.小五和小明两人从4门课程中各选修1门，则小五和小明所选的课程的选法共有（）A.8种 B.12种 C.16种 D.18种〖答案〗C〖解析〗∵小五和小明两人从4门课程中各选修1门，∴由乘法原理可得小五、小明所选的课程的选法有4×4=16（种）．故选:C3.下列叙述中，是离散型随机变量的是（）A.某电子元件的寿命B.高速公路上某收费站在一小时内经过的车辆数C.某人早晨在车站等出租车的时间D.测量某零件的长度产生的测量误差〖答案〗B〖解析〗某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，不是离散型随机变量；一小时内经过的车辆数可以一一列举出来，是离散型随机变量；等出租车的时间是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量；测量误差不能一一列出，不是离散型随机变量．故选：B．4.已知一个直角三角形的面积为16，则该三角形周长的最小值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设三角形的两条直角边长为、，可得，三角形周长为，当且仅当时取等号．故选：C5.已知函数在上的值域为，则在上的值域为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函数在上值域为，令，所以在上的取值范围为，又是奇函数，所以在上的值域为，所以在上的值域为．故选:B．6.已知，则“”是“的二项展开式中存在常数项”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件〖答案〗A〖解析〗若，则的常数项为；若的二项展开式中存在常数项，设二项式的通项为，且存在常数项，则，，为整数，所以能被4整除.所以“”是“的二项展开式中存在常数项”的充分不必要条件.故选：A.7.随机变量的分布列如下，且，则（）012A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据题意可得解得．故选:C．8.将编号为1，2，3，4，5，6的小球放入编号为1，2，3，4，5，6的小盒中，每个小盒放一个小球．则恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题得任意放球共有种方法，如果有3个小球与所在的盒子的编号相同，第一步：先从6个小球里选3个编号与所在的盒子相同，有种选法；第二步：不妨设编号相同的小球选的是1、2、3号球，编号为4，5，6小球的编号与盒子的编号都不相同，则有两种，所以有3个小球与所在的盒子的编号相同，共有种方法．由古典概型的概率公式得恰有3个小球与所在盒子编号相同的概率为，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在的展开式中，下列命题正确的是（）A.偶数项的二项式系数之和为32 B.第3项的二项式系数最大C.常数项为60 D.有理项的个数为3〖答案〗AC〖解析〗偶数项的二项式系数之和为，故A正确；根据二项式，当时的值最大，即第4项的二项式系数最大，故B错误，令，，∴，故C正确；为整数时，，故有理项的个数为4，故D错误.故选：AC．10.下列说法正确的是（）A.已知是奇函数，则有B.函数的单调减区间是C.定义在上的函数，若，则不是偶函数D.已知在上是增函数，若，则有〖答案〗CD〖解析〗奇函数不一定过，故A错误；，所以函数的单调减区间是，，故B错误；如果是定义在上的偶函数，则，因为，∴不是偶函数，故C正确；在上是增函数，若，即，，所以，，所以，即，故D正确．故选：CD．11.若，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗因为，所以，A正确；因为，，所以，B错误；因此，，C正确；从而．D正确．故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.，等6人排成一列，则在的前面的排法种数是________种．（用数字作答）〖答案〗360〖解析〗依题意在的前面的排法有种．故〖答案〗为：13.已知函数是定义域为的奇函数，当时，．若，则的取值范围为_______．〖答案〗〖解析〗当时，，故在上单调递增．函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增．因，由f3+m+f3m-7>0，可得又因为在上单调递增，所以，解得．故〖答案〗为：.14.已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是_______．〖答案〗〖解析〗由于，，则不等式的解为，由于恰有3个解，其中，于是3个解为，则要求，解出，综上，．故〖答案〗为：四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．15.根据张桂梅校长真实事迹拍摄电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某学校政治组有4名男教师和3名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．求：（1）4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种？（2）3名女教师互不相邻坐法有多少种？解：（1）根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法，将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法，由分步乘法计数原理，共有24×24=576种坐法．（2）根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法，再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法，由分步乘法计数原理，共有60×24=1440种坐法．16.（1）已知，求值：；（2）解方程：．解：（1）∵，∴，解得或（舍），因