2023-2024学年福建省福州市福清市高二下学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2福建省福州市福清市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号﹒第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，〖答案〗无效﹒3．考试结束，考生必须将答题卡交回．第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗质点的运动方程为，所以，所以该质点在时的瞬时速度是.故选：.2.已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗数列的前项依次为，即，所以的一个通项公式为．故B正确；对A，代入，，故A错误；对C，，故C错误；对D，，故D错误；故选：B.3.已知为递增的等差数列，，则（）A.3 B. C.3或5 D.或〖答案〗A〖解析〗为递增的等差数列，则.由，得出，，联立方程组，解得.故选：A.4.函数的图象如图所示，则的图象可能是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依据原函数图象可看出①当x<0时，函数y=f(x)递增，所以此时f′(x)>0，y=f′(x)的图象在x轴上方；②当x>0时，函数y=f(x)递减，所以f′(x)<0，y=f′(x)的图象在x轴下方故选D.5.已知等比数列，，，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知数列为等比数列，则，，则，则，所以，故选：B.6.已知函数有两个零点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗定义域为，，当时，，故在上单调递减，故不会有2个零点，舍去，当时，令得，，令得，，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，又趋向于0时，趋向于负无穷，趋向于正无穷时，趋向于负无穷，要想函数有两个零点，则f(a)=alna-1>0，解得故选：D7.数列满足，则的前8项和为（）A.-4 B.0 C.4 D.16〖答案〗C〖解析〗，，，，，所以.故选：C.8.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数在上单调递增，所以对任意成立，即对任意成立，令，则，因为，所以，令，即，解得或因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值为，所以.故选：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数在上单调递减的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对A，，当时，，故函数在上单调递减，故A正确；对B，为上的减函数，故B正确；对C，，故函数在上单调递增，故C错误；对D，在上单调递减，故D正确.故选：ABD10.已知等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（）A.是递增数列 B.C.当取得最大值时， D.〖答案〗AD〖解析〗因为，则，，所以，公差，所以数列是递减数列，故A错，B正确；因为，，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确；因为，，所以，故D错.故选：AD.11.已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，则（）A.的范围是 B.的范围是C. D.〖答案〗BD〖解析〗，令，解得或，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以f0极小值=1>0此时函数只有一个零点，不符合题意；当时，当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，f0极大值=1>0，要使有三个不同的零点，则，解得，故A错误，B正确；因为函数有且仅有三个不同的零点分别为，则即有，，，故C错误，D正确.故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列的前项和为，则______〖答案〗81〖解析〗根据等差数列的性质可得，，成等差数列，所以，即，解得.故〖答案〗为：81.13.若函数及其导函数的定义域均为的图象关于原点对称，且在上恒为负数，则的〖解析〗式可以为______（写出符合条件的一个即可）．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，其定义域为，，显然其图象关于原点对称，且其在上单调递减，则，故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）．14.已知数列满足，则______，的通项公式为______〖答案〗①7②（也可以填：或者)〖解析〗令得，由得，令得，由得；方法一：由①得②，②①得，又由，当为奇数时，，由，当为偶数时，，所以；方法二：因为，所以，又因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；故〖答案〗为：7；（也可以填：或者)四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在的最值．解：（1）因为，所以，即曲线在处的切线斜率为0．由，得切点.故所求的切线方程为．（2）方法一：由（1）得，．令得．当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．故当时，取得最小值为．又，因为．故函数在上的最大值为，最小值为1．方法二：由（1）得，．令得．又，且故函数在上的最大值为，最小值为1．16.已知正项数列满足．（1）证明：数列为等比数列；（2）求的前项和．解：（1）因为，所以，因为，所以，所以．又，故是首项为2，公比为2等比数列．（2）由（1）可得，即．.所以的前项和为.17.已知函数．（1）求的极值；（2）若对任意成立，求实数的取值范围．解：（1）由题意可知，函数的定义域为，由，得．令，得，当时，；当时，所以函数在单调递减，在单调递增，故在处有极小值，无极大值．（2）由及，得恒成立．令，则．当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为．18.记数列的前项和，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．解：（1）因为，当时，，则，故，即，当时，有，即，故是公差、首项均为的等差数列，故．（2）由（1）得，故，则．因为，故，又在上单调递减，故随的增大而增大，故，综上，．19.已知函数．（1）若与互为反函数，求实数的值；（2）若，且，证明：；（3）若，且，证明：．解：（1）因为同底的指数函数与对数函数互为反函数，所以的反函数为，所以．（2）当时，，所以，故只需证明当时，．当时，在区间上单调递增．又，根据零点存在定理，，使得，当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，故．又，所以，所以，所以，综上，当时，．（3）令，因为，所以，由.由于，故，令，则，故，故记，所以，记，所以在单调递减，故．又因为，所以，所以在单调递减，故，所以，即，又因为，所以．福建省福州市福清市2023-2024学年高二下学期期中质量检测数学试题注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出〖答案〗后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它〖答案〗标号﹒第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，〖答案〗无效﹒3．考试结束，考生必须将答题卡交回．第I卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.一质点的运动方程为（位移单位：，时间单位：s），则该质点在时的瞬时速度是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗质点的运动方程为，所以，所以该质点在时的瞬时速度是.故选：.2.已知数列的前项依次为，则的一个通项公式是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗数列的前项依次为，即，所以的一个通项公式为．故B正确；对A，代入，，故A错误；对C，，故C错误；对D，，故D错误；故选：B.3.已知为递增的等差数列，，则（）A.3 B. C.3或5 D.或〖答案〗A〖解析〗为递增的等差数列，则.由，得出，，联立方程组，解得.故选：A.4.函数的图象如图所示，则的图象可能是A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依据原函数图象可看出①当x<0时，函数y=f(x)递增，所以此时f′(x)>0，y=f′(x)的图象在x轴上方；②当x>0时，函数y=f(x)递减，所以f′(x)<0，y=f′(x)的图象在x轴下方故选D.5.已知等比数列，，，则（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由已知数列为等比数列，则，，则，则，所以，故选：B.6.已知函数有两个零点，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗定义域为，，当时，，故在上单调递减，故不会有2个零点，舍去，当时，令得，，令得，，故在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值，也是最大值，，又趋向于0时，趋向于负无穷，趋向于正无穷时，趋向于负无穷，要想函数有两个零点，则f(a)=alna-1>0，解得故选：D7.数列满足，则的前8项和为（）A.-4 B.0 C.4 D.16〖答案〗C〖解析〗，，，，，所以.故选：C.8.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为函数在上单调递增，所以对任意成立，即对任意成立，令，则，因为，所以，令，即，解得或因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值为，所以.故选：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列函数在上单调递减的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗对A，，当时，，故函数在上单调递减，故A正确；对B，为上的减函数，故B正确；对C，，故函数在上单调递增，故C错误；对D，在上单调递减，故D正确.故选：ABD10.已知等差数列的前项和为，若，则下列结论错误的是（）A.是递增数列 B.C.当取得最大值时， D.〖答案〗AD〖解析〗因为，则，，所以，公差，所以数列是递减数列，故A错，B正确；因为，，数列是递减数列，所以当时，最大，故C正确；因为，，所以，故D错.故选：AD.11.已知函数有且仅有三个不同的零点分别为，则（）A.的范围是 B.的范围是C. D.〖答案〗BD〖解析〗，令，解得或，当时，当时，，单调递减，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以f0极小值=1>0此时函数只有一个零点，不符合题意；当时，当时，，单调递增，当时，，单调递增，当时，，单调递减，f0极大值=1>0，要使有三个不同的零点，则，解得，故A错误，B正确；因为函数有且仅有三个不同的零点分别为，则即有，，，故C错误，D正确.故选：BD.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知等差数列的前项和为，则______〖答案〗81〖解析〗根据等差数列的性质可得，，成等差数列，所以，即，解得.故〖答案〗为：81.13.若函数及其导函数的定义域均为的图象关于原点对称，且在上恒为负数，则的〖解析〗式可以为______（写出符合条件的一个即可）．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗取，其定义域为，，显然其图象关于原点对称，且其在上单调递减，则，故〖答案〗为：（〖答案〗不唯一）．14.已知数列满足，则______，的通项公式为______〖答案〗①7②（也可以填：或者)〖解析〗令得，由得，令得，由得；方法一：由①得②，②①得，又由，当为奇数时，，由，当为偶数时，，所以；方法二：因为，所以，又因为，所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以；故〖答案〗为：7；（也可以填：或者)四、解答题：本大题共5小题，共7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数．（1）求曲线在处的切线方程；（2）求在的最值．解：（1）因为，所以，即曲线在处的切线斜率为0．由，得切点.故所求的切线方程为．（2）方法一：由（1）得，．令得．当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．故当时，取得最小值为．又，因为．故函数在上的最大值为，最小值为1．方法二：由（1）得，．令得．又，且故函数在上的最大值为，最小值为1．16.已知