专题二　活用数学思想求角的度数

第十一章三角形

专题二活用数学思想求角的度数

在多边形中求解与角相关的问题时，选用恰当的方法与思想，能起到事半

功倍的效果，尤其在一些综合性较强的题目中.整体思想立足于多重条件并于一个

整体解决，以免钻“牛角尖”；分类讨论使问题的解答全面周到；转化使不规则或

抽象的问题化为规则或具体的问题，便于思考解决；方程思想往往是把几何问题转

化成代数问题进行解决.建议用时：30分钟(1)若∠

B

＝38°，∠

C

＝78°，

AD

⊥

BC

于点

D

，求∠

EAD

的度数；

类型一运用整体思想求角的度数【例1】如图，在△

ABC

中，

AE

平分∠

BAC

.

(2)在(1)题中，“∠

B

＝38°，∠

C

＝78°”改为“∠

C

＞∠

B

”，其他条件不变，你

能找出∠

EAD

与∠

B

，∠

C

之间的数量关系吗？并说明理由.

变式1.1如图，把一个三角尺的直角顶点

D

放置在△

ABC

内，使它的两条直角边

DE

，

DF

分别经过点

B

，

C

，如果∠

A

＝30°，则∠

ABD

＋∠

ACD

＝

⁠.变式1.1图60°

变式1.2一束光线经过三块平面镜反射，光路如图所示，∠α＋∠β＝

⁠.变式1.2图解析：根据光线反射定律，可知入射光线和反射光线与平面镜的夹角相等.如图，

在四边形

ABCD

中，∠

ABC

＝180°－2∠1，∠

BCD

＝180°－2∠2，∴∠

ABC

＋∠

BCD

＝180°－2∠1＋180°－2∠2＝360°－2(∠1＋∠2).∵∠1＋∠2＝180°－117°＝

63°，∴∠

ABC

＋∠

BCD

＝360°－2×63°＝234°.在四边形

ABCD

中，∵∠

ABC

＋∠

BCD

＋∠α＋∠β＝360°，∴234°＋∠α＋∠β＝360°，∴∠α＋∠β＝126°.126°

变式1.3如图，在△

ABC

中，∠

ABC

，∠

ACB

的平分线

BO

，

CO

交于点

O

，

CE

为△

ABC

的外角∠

ACD

的平分线，

BO

的延长线交

CE

于点

E

，∠1＝α，则∠2＝

⁠

，∠

BOC

＝

.(用含α的式子表示)

类型二运用分类讨论思想求角的度数【例2】在△

ABC

中，

BD

是

AC

边上的高，∠

ABD

＝30°，求∠

A

的度数.解：当∠

BAC

为锐角时，如图1.∵

BD

是

AC

边上的高，∴∠

ADB

＝90°，∴∠

A

＝90°－∠

ABD

＝90°－30°＝60°；当∠

BAC

为钝角时，如图2.∵

BD

是

AC

边上的高，∴∠

ADB

＝90°，∴∠

BAC

＝∠

ADB

＋∠

ABD

＝90°＋30°＝120°.综上所述，∠

A

＝60°或120°.变式2.1如果一个三角形的两个内角α与β满足α＋2β＝90°，那么我们称这样的三角

形为“准互余三角形”.若△

ABC

是“准互余三角形”，∠

C

＞90°，∠

A

＝20°，则

∠

C

的度数为

⁠.解析：∵△

ABC

是“准互余三角形”，∠

C

＞90°，∴∠

A

＋2∠

B

＝90°或2∠

A

＋∠

B

＝90°.∵∠

A

＝20°，∴∠

B

＝35°或50°，∴∠

C

＝125°或110°.125°或110°

变式2.2一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为

900°，那么原多边形的边数为

⁠.8或7或6

类型三运用转化思想求角的度数【例3】在探究凸多边形的内角和时，我们通过构造三角形，从而将凸多边形问题

转化为三角形问题研究.同样，对于图中的非凸多边形

ABCDEF

，我们也可以通过

连接

AD

，求出∠

BAF

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

CDE

＋∠

E

＋∠

F

的度数.(2)求出∠

BAF

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

CDE

＋∠

E

＋∠

F

的度数.解：如图，设

DE

，

AF

交于点

O

.

∵∠

OAD

＋∠

ODA

＋∠

AOD

＝180°，∠

E

＋∠

F

＋∠

EOF

＝180°，∠

AOD

＝∠

EOF

，∴∠

OAD

＋∠

ODA

＝∠

E

＋∠

F

.

在四边形

ABCD

中，∠

BAF

＋∠

OAD

＋∠

ODA

＋∠

CDE

＋∠

B

＋∠

C

＝360°，∴∠

BAF

＋∠

E

＋∠

F

＋∠

CDE

＋∠

B

＋∠

C

＝360°，即∠

BAF

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

CDE

＋∠

E

＋∠

F

＝360°.(1)请你连接

AD

，完成辅助线；变式3.1如图，∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠1的度数为

⁠.解析：如图，由三角形的外角性质，得∠2＝∠

A

＋∠

C

，∠

AED

＝∠

B

＋∠

D

，

所以∠

A

＋∠

B

＋∠

C

＋∠

D

＋∠1＝∠2＋∠1＋∠

AED

＝180°.180°

变式3.2“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.

如图是窗棂中的部分图案.若∠1＝∠2＝75°，∠3＝∠4＝65°，则∠5＝

°.80

类型四运用方程思想求角的度数【例4】如图，

AD

平分∠

BAC

，∠

EAD

＝∠

EDA

，∠

B

＝54°.(1)求∠

EAC

的度数；解：(1)∵∠

EAD

＝∠

EDA

，∴∠

EAC

＋∠

CAD

＝∠

B

＋∠

BAD

.

∵

AD

平分∠

BAC

，∴∠

CAD

＝∠

BAD

，∴∠

EAC

＝∠

B

＝54°.(2)若∠

CAD

∶∠

E

＝2∶5，求∠

E

的度数.解：(2)设∠

CAD

＝2

x

，则∠

E

＝5

x

，∠

DAB

＝2

x

.∵∠

B

＝54°，∴∠

EDA

＝∠

EAD

＝2

x

＋54°.∵∠

EDA

＋∠

EAD

＋∠

E

＝180°，∴(2

x

＋54°)×2＋5

x

＝180°，解得

x

＝8°，∴∠

E

＝5

x

＝40°.

11

变式4.2小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1

840°，老师说他算错了，于

是小马虎认真地检查了一遍.若小马虎检查后发现多算了一个内角，求这个多边形

的边数与多算的那个内角是多少度.解：设多边形的边数是

n

，多算的内角的度数是