2022-2023学年江西省抚州市高一下学期学生学业发展水平测试期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省抚州市2022-2023学年高一下学期学生学业发展水平测试期末数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.若复数，则它在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.2.若角的终边经过点，则等于（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为角的终边经过点，则，所以，所以.故选：A.3.设，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，又由，，所以.故选：C.4.四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为（）A.8 B.10 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗由题意可得四边形为平行四边形，如图所示，设交轴于点，则，所以，所以四边形的周长为.故选：C.5.已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又向量，的夹角为，且，所以，所以在方向上的投影向量为.故选：D.6.若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为，所以，利用正弦定理可得：，所以，又，所以，解得：.故选：C.7.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，取中点，连接，因为，，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，即，所以为等边三角形，所以，因为，所以，所以，所以，即，得，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.8.已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，当时，，因为函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以，，解得，因此，最小值为.故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗AC〖解析〗因为角的终边在第一象限，所以，所以，当时，，则终边在第一象限；当时，，则终边在第三象限；所以角的终边可能在第一象限或第三象限.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）AB.函数的图象关于直线对称C.函数图象向右平移个单位可得函数的图象D.若方程在上有两个不等实数根x1，x2，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A：由图可知，，所以，所以，则，将点代入得：，所以，，又，所以，所以，A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，将函数图象向右平移个单位，可得函数，故C正确；对于D，因为，所以函数图象关于对称，由条件结合图象可知，于是，所以，故D正确．故选：ACD．11.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于原点对称C.有最小值 D.在上为增函数〖答案〗BD〖解析〗由函数，对于A中，由，所以的最小正周期为，所以A错误；对于B中，由的定义域关于原点对称，且，所以的图象关于原点对称，所以B正确；对于C中，由函数的值域为，可得，所以C错误；对于D中，由，可得，可得函数单调递增，所以在上也单调递增，所以D正确.故选：BD.12.如图，在棱长为1的正方体中，则（）A.平面B.平面平面C.与平面所成角大小为D.平面与平面所成二面角的余弦值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A：因为且，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：∵，平面，平面，所以，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正确；对于C：设，连接，因为平面，所以即为直线与平面所成角，又，所以，即直线与平面所成角为，故C错误；对于D：设，取的中点，连，，，则，，又平面，平面，所以，所以，所以为平面与平面所成的角，又，，，∴，所以平面与平面所成二面角的余弦值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，若，则________．〖答案〗〖解析〗因为，且，所以，解得.故〖答案〗为：.14.已知，则________．〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.15.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是________．〖答案〗〖解析〗因为的长度为，所以，，所以勒洛三角形的面积是.故〖答案〗为：.16.在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为________．〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，因为，所以和都是等边三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，因为，公共边，所以≌，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤17.已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）．（1）求；（2）复数，若为纯虚数，求实数的值．解：（1）∵，∴，∴且，∴，∴，则.（2）∵，又为纯虚数，∴且，∴.18.已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，，三点共线．（1）用，来表示；（2）求的最小值．解：（1）∵，∴，∴.（2）∵，，∴，，∴，∴，∵，，三点共线，∴，∴，∴，∴当且仅当，时，的最小值为．19.已知函数．（1）求对称中心和单调递增区间；（2）求在区间上的最值及相应的值．解：（1）∵，由得，∴的对称中心，，由得，∴的增区间为.（2）令，则，∵，∴，当，即时，，当，即时，∴．20.在平行四边形中，，过点作的垂线交的延长线于点，．连接交于点，如图1，将沿折起，使得点到达点的位置．如图2．（1）证明：直线平面；（2）若为的中点，为的中点，且平面平面，求三棱锥与三棱锥的体积之比．解：（1）如图1在，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，，∴，如图2，，，∵，平面，∴平面．（2）∵平面平面，，平面平面，平面，∴平面，，又，所以，∴，，∵，，又∵，∴．21.已知中，角，，的对边分别为，，，若，．（1）求角；（2）若点在边上，且满足，当的面积最大时，求的长．解：（1）∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，即，，∴．（2）∵，∴，∴，，∴仅当取等号，此时三角形面积有最大值，因为，，所以为正三角形，所以，又∵，∴，在中，，所以，∴．22.函数．（1）证明：函数是偶函数，并求的最小值；（2）若，对任意恒成立，求实数的取值范围．解：（1）证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称，又由，所以函数为偶函数，令，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以函数的最小值为.（2）由（1）知，函数是偶函数，则不等式，即为，任取且，则，因，可得，又因为，可得，所以，所以，即，所以在为单调递增函数，可得，因为，所以，令，可得，所以，所以，又由函数在上为单调递增函数，所以，所以，解得或，所以实数的取值范围．江西省抚州市2022-2023学年高一下学期学生学业发展水平测试期末数学试题一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1.若复数，则它在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗复数在复平面内对应的点在第四象限.故选：D.2.若角的终边经过点，则等于（）A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为角的终边经过点，则，所以，所以.故选：A.3.设，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，可得，又由，，所以.故选：C.4.四边形直观图为如图矩形，其中，，则四边形的周长为（）A.8 B.10 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗由题意可得四边形为平行四边形，如图所示，设交轴于点，则，所以，所以四边形的周长为.故选：C.5.已知平面向量，的夹角为，且，，则在方向上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为，所以，又向量，的夹角为，且，所以，所以在方向上的投影向量为.故选：D.6.若的内角，，所对的边分别为，，，已知，且，则（）A.1 B. C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为，所以，利用正弦定理可得：，所以，又，所以，解得：.故选：C.7.把边长为的正方形沿对角线折起，使得平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，取中点，连接，因为，，所以，所以为平面与平面所成二面角的平面角，即，所以为等边三角形，所以，因为，所以，所以，所以，即，得，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.8.已知函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，则实数的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，当时，，因为函数在区间上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以，，解得，因此，最小值为.故选：B.二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知角的终边在第一象限，那么角的终边可能在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗AC〖解析〗因为角的终边在第一象限，所以，所以，当时，，则终边在第一象限；当时，，则终边在第三象限；所以角的终边可能在第一象限或第三象限.故选：AC.10.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）AB.函数的图象关于直线对称C.函数图象向右平移个单位可得函数的图象D.若方程在上有两个不等实数根x1，x2，则〖答案〗ACD〖解析〗对于A：由图可知，，所以，所以，则，将点代入得：，所以，，又，所以，所以，A正确；对于B，因为，故B错误；对于C，将函数图象向右平移个单位，可得函数，故C正确；对于D，因为，所以函数图象关于对称，由条件结合图象可知，于是，所以，故D正确．故选：ACD．11.已知函数，则（）A.的最小正周期为 B.的图象关于原点对称C.有最小值 D.在上为增函数〖答案〗BD〖解析〗由函数，对于A中，由，所以的最小正周期为，所以A错误；对于B中，由的定义域关于原点对称，且，所以的图象关于原点对称，所以B正确；对于C中，由函数的值域为，可得，所以C错误；对于D中，由，可得，可得函数单调递增，所以在上也单调递增，所以D正确.故选：BD.12.如图，在棱长为1的正方体中，则（）A.平面B.平面平面C.与平面所成角大小为D.平面与平面所成二面角的余弦值为〖答案〗ABD〖解析〗对于A：因为且，所以为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：∵，平面，平面，所以，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面，故B正确；对于C：设，连接，因为平面，所以即为直线与平面所成角，又，所以，即直线与平面所成角为，故C错误；对于D：设，取的中点，连，，，则，，又平面，平面，所以，所以，所以为平面与平面所成的角，又，，，∴，所以平面与平面所成二面角的余弦值为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，，若，则________．〖答案〗〖解析〗因为，且，所以，解得.故〖答案〗为：.14.已知，则________．〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：.15.以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．如图，已知某勒洛三角形的一段弧的长度为，则该勒洛三角形的面积是________．〖答案〗〖解析〗因为的长度为，所以，，所以勒洛三角形的面积是.故〖答案〗为：.16.在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为________．〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，因为，所以和都是等边三角形，所以，所以是二面角的平面角，即，设球心为，和的中心分别为，则平面，平面，因为，公共边，所以≌，所以，因为，所以，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程及演算步骤17.已知复数是方程的一个虚根（是虚数单位，）．（1）求；（2）复数，若为纯虚数，求实数的值．解：（1）∵，∴，∴且，∴，∴，则.（2）∵，又为纯虚数，∴且，∴.18.已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，，三点共线．（1）用，来表示；（2）求的最小值．解：（1）∵，∴，∴.（2）∵，，∴，，∴，∴，∵，，三点共线，∴，∴，∴，∴当且仅当，时，的最小值为．19.已知函数．（1）求对称中心和单调递增区间；（2）