2022-2023学年广东省东莞市高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.复数（是虚数单位）等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：.2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，且，所以，解得，所以，所以，所以.故选：C.3.利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：354151314432125334541112443534312324252525453114344423123243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：151，125，112，312，252，114，123，共7种情况，所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为.故选：B.4.已知不重合的直线，和不重合的平面，，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A：若，，则或与相交，故A错误；对于B：若，，，则或与相交（不垂直），故B错误；对于C：若，，且与不重合，所以，故C正确；对于D：若，，，则或或与相交（不垂直），故D错误.故选：C.5.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于图象对称，平均数和中位数相等，中图象尾巴向右拖，中图象尾巴靠左拖，故正确.故选：.6.正方体中，与所成角为的直线是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，在正方体中，对于A中，，所以与所成的角，即为与所成的角，在等腰直角中，可得，所以与所成的角为，不符合题意；对于B中，在直角中，可得,不符合题意；对于C中，连接，由正方形，可得，又由正方体中，可得平面，因为平面，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以，所以与所成的角为，不符合题意；对于D中，正方体中，连接，可得，所以与所成的角，即为与所成的角，在等边中，可得，即与所成的角为，符合题意.故选：D.7.如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为在平行四边形中，，，，所以，，因为将三角形沿翻折得三角形，使得交于，所以，因为，所以≌，所以，设，则，在中由余弦定理得，，解得，即.故选：B.8.对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球．问题：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为）问题：你是否有在校使用手机?已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加知识竞赛，则下列说法正确的是（）A.事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件B.事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件C.事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件D.事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件〖答案〗AD〖解析〗事件“恰有1名女生”等价于事件“一名男生和一名女生”，该事件与事件“恰有2名女生”不可能同时发生，故事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件，A正确；事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”都包含事件“一名男生和一名女生”，所以事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”不是互斥事件，B错误；事件“恰有2名男生”发生时，事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”都没发生，所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”和事件不是必然事件，所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”不是对立事件，C错误；事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”不可能同时发生，故两事件互斥，又它们的和事件为必然事件，所以事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件，D正确.故选：AD.10.在中，，，，则可能的取值有（）A. B.2 C.3 D.4〖答案〗BD〖解析〗在中，，，，则由余弦定理得，，整理得，解得或.故选：BD.11.已知复平面内复数对应的点为，复数对应的点为，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若与关于实轴对称，则为实数B.若与关于实轴对称，则C.若，则D.若，则：〖答案〗ABD〖解析〗若与关于实轴对称，则复数与虚部互为相反数，设，所以，所以，所以选项A、B正确；若，设，则，，则，所以，可得，而，无法判定，选项C错误；，，所以，选项D正确.故选：ABD.12.如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，，分别为，的中点，记过，，三点的平面与的交点为，则下列说法正确的是（）A.为的中点 B.三棱锥的体积为C.截面的周长为 D.截面的面积为24〖答案〗BCD〖解析〗延长交于点，因为平面，，所以平面，又平面，所以平面，连接，则直线和的交点为平面和直线的交点，故该点为，因为点为的中点，，所以，又，所以，即，又，所以，又点为线段的中点，所以，因为，所以，A错误；由已知，中，，所以，中，，所以，中，，所以，中，，所以，所以截面的周长为，C正确；连接，中，，所以，因为，，所以为以为底边的等腰三角形，且边上的高为，所以的面积为，因为，，所以为以为底边的等腰三角形，且边上的高为，所以的面积为，所以截面的面积为，D正确；三棱锥的体积，因为，为的中点，所以的面积，所以，B正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把〖答案〗填在答题卡的相应位置上．13.已知与为互斥事件，且，，则________．〖答案〗〖解析〗因为与为互斥事件，则，因此，.故〖答案〗为：.14.某射击运动员在射击测试中射靶10次，命中环数分别为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则该运动员本次射击测试命中环数的第百分位数为______.〖答案〗〖解析〗将命中的环数从小到大排列为：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，因为，所以第百分位数为数据从小到大排列的第、两个数的平均数，即.故〖答案〗为：.15.已知是虚数，是实数，则________．〖答案〗〖解析〗依题意，设，则是实数，故，又，所以，故.故〖答案〗为：.16.已知正方体的棱长为1，从正方体的8个顶点中选出4个点构成一个体积大于的三棱锥，则这4个点可以是________．（写出一组即可）〖答案〗或（写出一组即可）〖解析〗若从正方体的某一面的四个顶点中任选3个顶点，再从余下的点中选一个与它们不共面的点，例如选，则由正方体性质可得平面，，，所以三棱锥的体积，不满足要求，若选某一面的一条对角线的端点，再选与其平行的平面中与前一条对角线不平行的对角线的端点，例如，设正方体的体积为，则，则三棱锥的体积，满足要求，同理可得，选也满足要求，故〖答案〗为：或（写出一组即可）.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的〖答案〗无效．17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．解：（1）因为，，（为外接圆的半径），又因为，所以，即，所以，由余弦定理得，因为，所以．（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以的周长为6.18.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次的点数大于3”，事件“两次点数之和为奇数”．（1）求事件的概率（2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．解：（1）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，每次有6种等可能的结果，用数字表示第一次骰子出现的点数，数字表示第二次骰子出现的点数，则数组表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点，由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，这个试验是古典概型，因为，其中共有18个样本点，所以.（2）因为，其中共有18个样本点，所以，因为，其中共有9个样本点，所以，因为，所以事件与事件相互独立19.如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点.（1）用，表示，；（2）如果，，求的面积．解：（1）因为是的三等分点，所以，因为是的中点，所以.（2），因为为矩形，所以，又，，所以，即，，同理可得，所以，，即三角形的面积为．20.如图，，都垂直于平面，平面平面，且，为的中点，求证：（1）平面；（2）平面．解：（1）如图所示，取的中点，连接，，因为为的中点，为的中位线，所以，，又因，都垂直于平面，且，所以，，所以，，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）连接，因为，为的中点，所以，又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为面，所以，因平面，平面，所以，又因为，所以，因为，且平面，所以平面.21.树人中学男女学生比例约为，某数学兴趣社团为了解该校学生课外体育锻炼情况（锻炼时间长短（单位：小时），采用样本量比例分配的分层抽样，抽取男生人，女生人进行调查．记男生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；女生样本为，，，，样本平均数、方差分别为、；总样本平均数、方差分别为、.（1）证明：；（2）该兴趣社团通过分析给出以下两个统计图，假设两个统计图中每个组内的数据均匀分布，根据两图信息分别估计男生样本、女生样本的平均数；（3）已知男生样本方差，女生样本方差，请结合（2）问的结果计算总样本方差的估计值.解：（1），因为，，所以，则.（2）因为每个组内的数据均匀分布，所以以各组的区间中点值代表该组的各个值，由频率分布直方图估计男生样本课外体育锻炼时间的平均数为，由扇形图估计女生样本课外体育锻炼时间的平均数为.（3）因为采用按比例分配的分层随机抽样，所以，估计树人中学学生课外运动时间的平均数为，.22.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，平面平面，，．（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）若存在球与三棱柱各个面都相切，求的正弦值．解：（1）因为，所以异面直线与的所成角为或其补角，如图，取的中点，连接、，因为三角形为等边三角形，为的中点，所以，且，又因为平面平面，平面平面，面，所以平面，因为平面，所以，因为为的中点，在中，，，，所以，所以，在中，，所以，当时，异面直线与的所成角的余弦值为.（2）在平面内过作的垂线，交于，交于，连接、，由（1）知平面，因为平面，则，又因为，，、平面，所以面，因为平面，所以，平面平面，同理可知，平面与平面、平面都垂直，若存在球与三棱柱各个面都相切，则球的半径等于内切圆半径，在中，，，则，在中，，，则，同理可得，，由，得，即①，因为球与三棱柱各个面都相切，所以等于三棱柱的高，所以②，联立①②得，即，解得，所以的正弦值为．广东省东莞市2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1.复数（是虚数单位）等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：.2.已知向量，，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，，且，所以，解得，所以，所以，所以.故选：C.3.利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率．甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．利用计算机产生1~5之间的随机整数，约定出现随机数1或2时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛3局，所以3个随机数为一组，现产生了20组随机数如下：354151314432125334541112443534312324252525453114344423123243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，在20组随机数中，表示甲获胜的有：151，125，112，312，252，114，123，共7种情况，所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为.故选：B.4.已知不重合的直线，和不重合的平面，，下列命题正确的是（）A.若，，则 B.若，，，则C.若，，则 D.若，，，则〖答案〗C〖解析〗对于A：若，，则或与相交，故A错误；对于B：若，，，则或与相交（不垂直），故B错误；对于C：若，，且与不重合，所以，故C正确；对于D：若，，，则或或与相交（不垂直），故D错误.故选：C.5.平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗对于图象对称，平均数和中位数相等，中图象尾巴向右拖，中图象尾巴靠左拖，故正确.故选：.6.正方体中，与所成角为的直线是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，在正方体中，对于A中，，所以与所成的角，即为与所成的角，在等腰直角中，可得，所以与所成的角为，不符合题意；对于B中，在直角中，可得,不符合题意；对于C中，连接，由正方形，可得，又由正方体中，可得平面，因为平面，所以，又因为且平面，所以平面，因为平面，所以，所以与所成的角为，不符合题意；对于D中，正方体中，连接，可得，所以与所成的角，即为与所成的角，在等边中，可得，即与所成的角为，符合题意.故选：D.7.如图，在平行四边形中，，，，将三角形沿翻折得三角形，使得交于，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为在平行四边形中，，，，所以，，因为将三角形沿翻折得三角形，使得交于，所以，因为，所以≌，所以，设，则，在中由余弦定理得，，解得，即.故选：B.8.对敏感性问题调查的关键是要设法消除被调查者的顾虑，使他们能如实回答问题．为调查学生是否有在校使用手机的情况时，某校设计如下调查方案：调查者在没有旁人的情况下，独自从一个箱子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，则回答问题：抽到红球，则回答问题，且箱子中只有白球和红球．问题：你的生日的月份是否为偶数?（假设生日的月份为偶数的概率为）问题：你是否有在校使用手机?已知该校在一次实际调查中，箱子中放有白球个，红球个，调查结束后共收到张有效答卷，其中有张回答“是”，如果以频率估计概率，估计该校学生有在校使用手机的概率是（精确到）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意可知，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，回答问题的学生人数为，其中回答问题回答“是”的人数为，因此，估计该校学生有在校使用手机的概率是.故选：B.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．9.某学习小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生去参加知识竞赛，则下列说法正确的是（）A.事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件B.事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”是互斥事件C.事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”是对立事件D.事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件〖答案〗AD〖解析〗事件“恰有1名女生”等价于事件“一名男生和一名女生”，该事件与事件“恰有2名女生”不可能同时发生，故事件“恰有1名女生”与事件“恰有2名女生”是互斥事件，A正确；事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”都包含事件“一名男生和一名女生”，所以事件“至少有1名女生”与事件“至少有1名男生”不是互斥事件，B错误；事件“恰有2名男生”发生时，事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”都没发生，所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”和事件不是必然事件，所以事件“恰有1名男生”与事件“恰有2名女生”不是对立事件，C错误；事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”不可能同时发生，故两事件互斥，又它们的和事件为必然事件，所以事件“至少有1名女生”与事件“全是男生”是对立事件，D正确.故选：AD.10.在中，，，，则可能的取值有（）A. B.2 C.3 D.4〖答案〗BD〖解析〗在中，，，，则由余弦定理得，，整理得，解得或.故选：BD.11.已知复平面内复数对应的点为，复数对应的点为，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A.若与关于实轴对称，则为实数B.若与关于实轴对称，则C.若，则D.若，则：〖答案〗ABD〖解析〗若与关于实轴对称，则复数与虚部互为相反数，设，所以，所以，所以选项A、B正确；若，设，则，，则，所以，可得，而，无法判定，选项C错误；，，所以，选项D正确.故选：ABD.12.如图，在直三棱柱中，底面为等边三角形，，，分别为，的中点，记过，，三点的平面与的交点为，则下列说法正确的是（）A.为的中点 B.三棱锥的体积为C.截面的周长为 D.截面的面积为24〖答案〗BCD〖解析〗延长交于点，因为平面，，所以平面，又平面，所以平面，连接，则直线和的交点为平面和直线的交点，故该点为，因为点为的中点，，所以，又，所以，即，又，所以，又点为线段的中点，所以，因为，所以，A错误；由已知，中，，所以，中，，所以，中，，所以，中，，所以，所以截面的周长为，C正确；连接，中，，所以，因为，，所以为以为底边的等腰三角形，且边上的高为，所以的面积为，因为，，所以为以为底边的等腰三角形，且边上的高为，所以的面积为，所以截面的面积为，D正确；三棱锥的体积，因为，为的中点，所以的面积，所以，B正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把〖答案〗填在答题卡的相应位置上．13.已知与为互斥事件，且，，则________．〖答案〗〖解析〗因为与为互斥事件，则，因此，.故〖答案〗为：.14.某射击运动员在射击测试中射靶10次，命中环数分别为：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4，则该运动员本次射击测试命中环数的第百分位数为______.〖答案〗〖解析〗将命中的环数从小到大排列为：4，4，5，7，7，7，8，9，9，10，因为，所以第百分位数为数据从小到大排列的第、两个数的平均数，即.故〖答案〗为：.15.已知是虚数，是实数，则________．〖答案〗〖解析〗依题意，设，则是实数，故，又，所以，故.故〖答案〗为：.16.已知正方体的棱长为1，从正方体的8个顶点中选出4个点构成一个体积大于的三棱锥，则这4个点可以是________．（写出一组即可）〖答案〗或（写出一组即可）〖解析〗若从正方体的某一面的四个顶点中任选3个顶点，再从余下的点中选一个与它们不共面的点，例如选，则由正方体性质可得平面，，，所以三棱锥的体积，不满足要求，若选某一面的一条对角线的端点，再选与其平行的平面中与前一条对角线不平行的对角线的端点，例如，设正方体的体积为，则，则三棱锥的体积，满足要求，同理可得，选也满足要求，故〖答案〗为：或（写出一组即可）.四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的〖答案〗无效．17.已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．解：（1）因为，，（为外接圆的半径），又因为，所以，即，所以，由余弦定理得，因为，所以．（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以的周长为6.18.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设事件“第一次的点数大于3”，事件“两次点数之和为奇数”．（1）求事件的概率（2）判断事件与事件是否相互独立，并说明理由．解：（1）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，每次有6种等可能的结果，用数字表示第一次骰子出现的点数，数字表示第二次骰子出现的点数，则数组表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样本空间，其中共有36个样本点，由于骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，这个试验是古典概型，因为，其中共有18个样本点，所以.（2）因为，其中共有18个样本点，所以，因为，其中共有9个样本点，所以，因为，所以事件与事件相互独立19.如图，在矩形中，点是的中点，点是的三等分点.（1）用，表示，；（2）如果，，求的面积．解：（1）因为是的三等分点，所以，因