4.2.4等差数列前n项和应用（课件）高二数学课件（人教A版2019选择性）

等差数列的前n项和公式的应用

等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾复习回顾等差数列的前n项和性质:探究1：等差数列的前n项和公式的实际应用等差数列的前n项和公式的实际应用其实质是将实际问题转化为__________问题，构建已知与待求之间的内在联系．等差数列[大本例1]我国数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”大致意思是：一个老人有九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的年龄开始排列，后面一个儿子比前面一个儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？(

)A．38

B．35C．32 D．291.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列．

2．遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型．(2)深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n.

1.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)A．3699块 B．3474块C．3402块 D．3339块C

当d=0时，Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.

常数列你能画出它们的图像吗？递增或递减数列知识探究2:等差数列前n项和公式的函数特点

它的几何意义：是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点

.（1）当d>0时，Sn的图象是一条开口向上

的过坐标原点的抛物线上孤立的点.（2）当d<0时，Sn的图象是一条开口向下

的过坐标原点的抛物线上孤立的点.

由

利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.由利用二次函数的对称轴，求得最值及取得最值时的n的值.1、数列{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝

＝

＝…＝ai＋1＋an－i＝….a2＋an－1a3＋an－2知识探究2:倒序相加法2、倒序相加法如果一个数列{an}中，与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和，可将正着写和倒着写的两个和式相加，就得到一常数列的和，这一求和方法叫做．倒序相加法[大本例4]已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1011,2)．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f(n)，n∈N*，求S2021.知识探究3:等差数列前n项和的最值问题小大注意：当数列中有数值为0时，n应有两解.练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.n113Sn练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=－2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为(开口向下)n113Sn练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=－2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=－2n+15由得∴a7+a8=0练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=－2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0[大本例2]在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．归纳:求等差数列前n项和最值的方