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等差数列的前n项和公式的应用

等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾复习回顾等差数列的前n项和性质:探究1:等差数列的前n项和公式的实际应用等差数列的前n项和公式的实际应用其实质是将实际问题转化为__________问题,构建已知与待求之间的内在联系.等差数列[大本例1]我国数学名著《增删算法统宗》中有如下问题:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来争三岁,共年二百又零七,借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”大致意思是:一个老人有九个儿子,若问他们的生年是不知道的,但从老大的年龄开始排列,后面一个儿子比前面一个儿子小3岁,九个儿子共207岁,问老大是多少岁?(

)A.38

B.35C.32 D.291.本题属于与等差数列前n项和有关的应用题,其关键在于构造合适的等差数列.

2.遇到与正整数有关的应用题时,可以考虑与数列知识联系,建立数列模型,具体解决要注意以下两点:(1)抓住实际问题的特征,明确是什么类型的数列模型.(2)深入分析题意,确定是求通项公式an,或是求前n项和Sn,还是求项数n.

1.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同,且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心石)(

)A.3699块 B.3474块C.3402块 D.3339块C

当d=0时,Sn的图象是一条直线上的均匀分布的点.

常数列你能画出它们的图像吗?递增或递减数列知识探究2:等差数列前n项和公式的函数特点

它的几何意义:是一条过坐标原点的抛物线上孤立的点

.(1)当d>0时,Sn的图象是一条开口向上

的过坐标原点的抛物线上孤立的点.(2)当d<0时,Sn的图象是一条开口向下

的过坐标原点的抛物线上孤立的点.

利用二次函数的对称轴,求得最值及取得最值时的n的值.由利用二次函数的对称轴,求得最值及取得最值时的n的值.1、数列{an}是有穷等差数列,则与首末两项等距离的两项之和都相等,且等于首末两项之和,即a1+an=

=…=ai+1+an-i=….a2+an-1a3+an-2知识探究2:倒序相加法2、倒序相加法如果一个数列{an}中,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可将正着写和倒着写的两个和式相加,就得到一常数列的和,这一求和方法叫做.倒序相加法[大本例4]已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1011,2).设数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=f(n),n∈N*,求S2021.知识探究3:等差数列前n项和的最值问题小大注意:当数列中有数值为0时,n应有两解.练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得∴d=-2∴当n=7时,Sn取最大值49.n113Sn练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=-2<0∴当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为(开口向下)n113Sn练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=-2∴当n=7时,Sn取最大值49.∴an=13+(n-1)×(-2)=-2n+15由得∴a7+a8=0练习1:已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得∴当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+……+a11=0而a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=-2<0,a1=13>0∴a7>0,a8<0[大本例2]在等差数列{an}中,a1=25,S8=S18,求前n项和Sn的最大值.归纳:求等差数列前n项和最值的方

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