对数与对数函数【12类题型】（老师版）

更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学更多见微信号：alarmact，微信号：abcshuxue，微信号：antshuxue微信号：AA-teacher更多见微信公众号：数学第六感；微信公众号：数学三剑客；微信公众号：ABC数学对数与对数函数近5年考情（2020-2024）考题统计考点分析考点要求2024年II卷第8题，5分从近四年的高考情况来看，对数运算与对数函数是高考的一个重点也是一个难点，常与二次函数、幂函数、指数函数、三角函数综合，考查数值大小的比较和函数方程问题.在利用对数函数的图像与性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算素养.（1）对数的概念及运算性质（2）对数函数的图象（3）对数函数的性质2024年北京卷第7题，4分2024年天津卷第5题，5分2023年北京卷第11题，5分2023年I卷第10题，5分2022年I卷I卷第7题，5分2022年浙江卷第7题，5分模块一模块一总览热点题型解读（目录）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【题型1】指数对数混合运算【题型2】换底公式的应用【题型3】对数函数的图象及应用【题型4】对数函数过定点问题【题型5】指对幂比较大小【题型6】解对数方程或不等式【题型7】对数函数模型的实际应用【题型8】对数型复合函数的单调问题【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题【题型11】反函数问题【题型12】对数函数的综合问题模块二模块二核心题型·举一反三【题型1】指数对数混合运算1、对数计算公式（1）同底对数加减运算：；（2）底数和真数是乘方数时：（3）对数恒等式：（4）倒数式：2、对数运算的常用技巧(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.本号资料全部来源于微*信公众号：数学第六感(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)指对互化：(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.化简下列各式：(1)；(2).【解析】（1）原式.（2）原式.【巩固练习1】化简的值为（）A．B．C．D．-1【答案】A【解析】【巩固练习2】求值（1）（2）（3）（4）【答案】（1）；；（2）0；；（3）3；；（4）13【解析】（1）原式=;（2）原式==;（3）原式=;（4）原式.【题型2】换底公式的应用换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．已知，，则（用，表示）【答案】【解答】解：因为，，所以，，，所以．故答案为：．已知，，则.（用表示）【答案】【解析】因为，所以，又，所以.已知，则．【答案】3【解析】依题意，，则．【巩固练习1】设，，（1）用含，的式子表示，形式为___________.（2）用含，的式子表示，形式为___________.【答案】（1），（2）【解析】（1）；（2）【巩固练习2】设，求的值．【解答】依题意有，，，【题型3】对数函数的图象及应用对数函数的图象（底大图低）a＞10＜a＜1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0＜x＜1时，y＜0；当x＞1时，y＞0当0＜x＜1时，y＞0；当x＞1时，y＜0单调性是(0，＋∞)上的增函数是(0，＋∞)上的减函数方法技巧：对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当时，对数函数的图像呈上升趋势；当时，对数函数的图像呈下降趋势.已知函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是（）A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】A【解析】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，则a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正确，D错误；又a＋d与b＋c的大小不确定，故B，C错误．故选A.函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先根据函数的奇偶性排除部分选项，再根据函数值的正负确定.【详解】解：，因为，所以是偶函数，故排除AD，当时，令，得或，当或时，，当时，已知函数f(x)=ln(x+a)的图象不经过第四象限，则a的取值范围是（）A．(0，1)B．(0，)C．(0，1]D．[1，+∞)【答案】D【解析】的图象是由的图象向左平移个单位所得．的图象过点，函数为增函数，因此．故选：D．【巩固练习1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数的大致图象不可能为（

）本号资料全部来源于微信*公众号*：数学第六感A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，为减函数，且过定点，故函数的大致图象不可能为BCD选项.【巩固练习2】已知函数（且，，为常数）的图象如图，则下列结论正确的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因为函数为减函数，所以又因为函数图象与轴的交点在正半轴，所以，即又因为函数图象与轴有交点，所以，所以，故选：D【巩固练习3】已知函数，若且，则的取值范围为.【答案】【解析】画出的图象如图：∵，且，∴且，，∴，即，∴，，由图象得在上为减函数，∴，∴的取值范围是.故答案为：.【题型4】对数函数过定点问题对数函数过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0；函数过定点函数

(且)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为对数函数(且)恒过定点，所以函数

(且)的图象必过定点.（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数恒过定点，则的最小值为（

）．A． B． C．3 D．【答案】A【解析】由题意可知，则，当且仅当，时，的最小值为【巩固练习1】已知函数f(x)=1+loga(2x−3) (a>0,a≠1)恒过定点(m,n)A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】令2x−3=1，即可求解f(x)恒过定点(2,1)，进而求解.【解答过程】令2x−3=1，解得x=2，此时f(2)=1+log所以f(x)恒过定点(2,1)，则m=2,n=1，本号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感所以m+n=3.【巩固练习2】已知直线经过函数图象过的定点（其中均大于0），则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】因为，所以函数图象过的定点为，将其代入直线方程得，即，又，所以，当且仅当即时，等号成立，故有最小值4.【巩固练习3】函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为（

）A．9 B．8 C． D．【答案】B【解析】当时，，所以，函数过定点，得，所以，，因为，，所以，，当且仅当，即时，等号成立，所以，的最小值为8.【题型5】指对幂比较大小1、常规法：比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1例1：和（倍数一致）简析：；，由图像可知例2：和（差一致）简析：；，由图像可知设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，则设，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，所以，故选:D.【巩固练习1】（2024·天津·二模）设，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，，.【巩固练习2】已知，，，则，，的大小关系是A． B． C． D．【解答】解：，，，则，，的大小关系为【巩固练习3】已知，，，则A． B． C． D．【解答】解：由对数运算公式得，，，，易知，．本号资料全部来源于*微信公众号：数学第六感故选：．【巩固练习4】设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据函数单调性得到，，对利用换底公式变形后作差，结合基本不等式，得到，从而得到答案.【详解】因为单调递减，所以，又与均单调递增，故，，其中，，，其中，故，其中，故，所以，即，故.【题型6】解对数方程或不等式【方法技巧】（1）对于形如的形式，利用转化；对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可．方程的解为________【答案】【解析】方程，化为：x设，则的取值范围是（）A．B．C．D．，【答案】C【解析】由，得：，因为，所以，取交集得：．所以的取值范围是，故选：C.不等式的解集为．【答案】【解析】设函数，则应有，解得，所以，定义域为.本号资#料全部来源于微信公众号：数学第六感又，所以，由，可得.因为以及均在上单调递增，所以，在上单调递增，所以，.综上所述，.所以，不等式的解集为.【巩固练习1】方程的解是（）A．1B．2C．eD．3【答案】D【解析】∵，∴，∴.【巩固练习2】已知，则的值为____．【答案】【解析】由，得，所以，即，所以，，所以．【巩固练习3】若实数x满足不等式，则实数x的取值范围是______．【答案】【解析】，，解得或.【巩固练习4】已知实数，且满足不等式，则不等式的解集为________．【答案】【解析】因为，所以，而，则，于是.【题型7】对数函数模型的实际应用本号资料全部来源于*微信公众号：数学第六感对数函数应用题的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析式，然后根据实际问题求解．(2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少10%，那么至少需要将块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的0.5倍．（参考数据：．）【答案】【分析】构造不等式，利用对数运算法则解不等式可求得结果.【详解】假设需要块这样的玻璃，则，，，至少需要7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过．据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少．那么此人在开车前至少要休息（参考数据：，A．4.1小时 B．4.2小时 C．4.3小时 D．4.4小时【解答】解：设经过小时，血液中的酒精含量为，则，由，得，则，因为，所以，所以开车前至少要休息4.2小时【巩固练习1】把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度可由公式：求得．其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数．现有的物体，放在的空气中冷却，5分钟以后物体的温度是，则约等于（参考数据：A．0.22 B．0.27 C．0.36 D．0.55【解答】解：由题意可得，，，，即，．【巩固练习2】2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则年我国人口将超过20亿．（，，）【答案】2037【分析】根据条件，列出不等式，再利用对数运算解不等式即可.【详解】由题意，列方程得：.∴，∴【巩固练习3】我们可以把看作每天的"进步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是.利用计算工具计算并回答下列问题：（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的10倍、100倍、1000倍？【解析】（1）.∴一年后“进步”的大约是“落后”的倍（2）由得∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.由得.∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.由得解得∴大约经过天“进步”的是“落后”的倍.【题型8】对数型复合函数的单调问题对数型复合函数的单调问题1、模板解决思路：判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.2、模板解决步骤第一步：求函数的定义域．第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知的定义域为，令，则，函数单调递增，当时，关于单调递减，关于单调递减，当时，关于单调递增，关于单调递增，故的递增区间为．故选：D．若函数在区间上是单调增函数，则实数a的取值范围是___．【答案】【解析】由函数在区间上是单调增函数，只需函数在上是单调增函数，且当时恒成立，所以满足解得．【巩固练习1】函数的单调增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，二次函数的对称轴为：，所以二次函数的单调递增区间为，递减区间为，而函数是正实数集上的减函数，根据复合函数的单调性质可知：函数的单调增区间为，故选：C【巩固练习2】已知函数在定义域上是增函数，则k的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为在定义域上是增函数，当时单调递增且，当时也单调递增，所以，即，所以，即；故选：B【巩固练习3】（2024·重庆·模拟预测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在上单调递增，所以，解得.【巩固练习4】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是.【答案】【分析】换元法转化为二次函数的给定区间的单调性求解.【详解】，令，为增函数，所以，所以在单调递减，所以，即，解得【题型9】对数型复合函数的最值与值域问题对数（型）函数的值域和单调性问题的解题策略利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.函数的最小值是（）．A．10B．1C．11D．【答案】B【解析】设，则，因为，所以，所以的最小值为1，故选：B已知函数的最大值为2，则．【答案】6【解析】因为函数由与复合而成，而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值，由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得．【巩固练习1】已知函数，则的值域为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选：D【巩固练习2】若函数的最大值为0，则实数a的值为___________.【答案】【解析】因为的最大值为0，所以应有最小值1，因此应有解得.【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上有最大值或最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】要使函数在区间上有最大值或最小值，由于开口向上，故需函数在区间上有最小值，且．该函数图像的对称轴为直线，所以，解得，所以，且，即实数的取值范围为．本号资料全#部#来源于微信公众号：数学第六感【题型10】对数型复合函数的奇偶性问题本号资料全部来源*于微*信公众号：数学第六感常见指对型函数奇偶模型（1）（2）（3）（4）（5）是偶函数，如，设函数，则使得成立的的取值范围为（）本号资料#全部来源于微信公众号：数学第六感A．B．C．D．【答案】D【解析】方法一:由得，则，解得或.方法二:根据题意，函数，其定义域为，有，即函数为偶函数，设，则，在区间上，为增函数且，在区间上为增函数，则在上为增函数，，解得或，故选：D．函数的部分图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析函数的奇偶性及其最小值，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意的，，则函数的定义域为，因为，，则函数为偶函数，排除CD选项，又因为，当且仅当时，等号成立，排除B选项.【巩固练习1】已知是定义在上的奇函数，且当时，．(1)求；(2)解不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数奇偶性和部分解析式即可求出，，则得到最后答案；（2）根据复合函数单调性函数奇偶性即可得到在上的单调性，则得到不等式，解出即可.【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，则，，则.（2）当时，，因为为单调增函数，根据复合函数单调性知为单调减函数，又因为为单调减函数，所以函数为单调减函数，又因为是定义在上的奇函数，所以是在为单调减函数，因为，所以，解得，所以不等式的解集为.【巩固练习2】设函数为偶函数．(1)求k的值；(2)写出函数的单调性（不需证明），并解不等式．本号资料全部来源#于微信公众号：#数学第六感【答案】(1)1(2)单调性见解析，不等式解集为【分析】（1）根据得到方程，求出；（2）根据定义法得到函数的单调性，并根据单调性解不等式.【详解】（1）∵为定义在R上的偶函数，∴，即，故，即，解得；（2）在上单调递减，在上单调递增，理由如下：，设任取，且，则，因为，且，所以，，故，所以在单调递增，由复合函数同增异减可得，在单调递增，本*号资料全部来源于微信公众号：数学第六感又在R上为偶函数，故在上单调递减，，∴，解得或，∴不等式解集为.【题型11】反函数问题指数函数（a>0且a≠1）与对数函数（a>0且a≠1）互为反函数（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程和方程的根分别为，设函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由得，由得，所以令，这3个函数图象情况如下图所示：本号资料*全部来源于微信公众号：数学第六感设交于点，交于点，由于的图象关于直线对称，而的交点为，所以，注意到函数的对称轴为直线，即，且二次函数的图象是开口向上的抛物线方程，从而.【巩固练习1】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数和的图象与直线交点