第77讲、定点、定值问题（教师版）

第77讲定点、定值问题知识梳理1、定值问题解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下：（1）变量选择适当的量为变量．（2）函数把要证明为定值的量表示成变量的函数．（3）定值化简得到的函数解析式，消去变量得到定值．2、求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值．常用消参方法：①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数．②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值．③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉．④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如：，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用．3、求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明．一般解题步骤：①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个．②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉．③参数无关找定点：找到和没有关系的点．必考题型全归纳题型一：面积定值例1．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知椭圆过点两点，椭圆的离心率为，为坐标原点，且.(1)求椭圆的方程；(2)设P为椭圆上第一象限内任意一点，直线与y轴交于点M，直线与x轴交于点N，求证：四边形的面积为定值.【解析】（1）根据题意可知，又，即可得，结合，解得；即椭圆的方程为.（2）证明：由（1）可知，如下图所示：设，且；易知直线的斜率，所以的直线方程为；同理直线的斜率，所以的直线方程为；由题意解得；所以可得，四边形的面积又，可得，故，即四边形的面积为定值.例2．（2024·陕西汉中·高三统考阶段练习）已知双曲线：的焦距为，且焦点到近线的距离为1.(1)求双曲线的标准方程；(2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于两点，为坐标原点，证明：的面积为定值.【解析】（1）依题意得，，一条渐近线为，即，右焦点为，所以，即，，所以，所以，所以双曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，若动直线与双曲线恰有1个公共点，则直线经过双曲线的顶点，不妨设，又渐近线方程为，将代入，得，将代入，得，则，.当直线的斜率存在，设直线，且，联立，消去并整理得，因为动直线与双曲线恰有1个公共点，所以，得，设动直线与的交点为，与的交点为，联立，得，同理得，则因为原点到直线的距离，所以，又因为，所以，即，故的面积为定值，且定值为.例3．（2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习）已知双曲线，渐近线方程为，点在上；

(1)求双曲线的方程；(2)过点的两条直线，分别与双曲线交于，两点（不与点重合），且两条直线的斜率，满足，直线与直线，轴分别交于，两点，求证：的面积为定值.【解析】（1），，依题意，，所以双曲线的方程为.（2）依题意可知斜率存在，设方程为，，，，，①，，整理得.1），，过舍去，2），，过点，此时，将代入①得，与交于点，故（定值）变式1．（2024·四川·成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模）设椭圆过点，且左焦点为．(1)求椭圆的方程；(2)内接于椭圆，过点和点的直线与椭圆的另一个交点为点，与交于点，满足，证明：面积为定值，并求出该定值．【解析】（1）由题意得，解得，所以椭圆C的方程为．（2）设点的坐标分别为，，．由题设知，，，均不为零，记，则且又四点共线，从而，于是，，，从而①，②，又点在椭圆上，即③，④，①＋②×2并结合③、④得，即点总在定直线上．∴所在直线为上．由消去y得，，设，则，于是，又到的距离，∴∴面积定值为．变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知，既是双曲线：的两条渐近线，也是双曲线：的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍.

(1)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线，交于点，，，求的值；(2)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作，的平行线交于，两点，证明：的面积为定值，并求出该定值.【解析】（1）依题意，根据双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍，可得，即，故双曲线：，不妨设：，则设：，联立，可得，联立可得，联立可得，从而,所以（2）如图，延长，分别交渐近线于，两点，由（1）可知，则，设，则：，联立，解得，而：，联立，解得，从而，设的倾斜角为，则，而，故，则，因此.变式3．（2024·四川成都·高二树德中学校考阶段练习）已知椭圆，是椭圆上的两个不同的点，为坐标原点，三点不共线，记的面积为.

(1)若，求证：；(2)记直线的斜率为，当时，试探究是否为定值并说明理由.【解析】（1）设的夹角为，则，所以，则；（2）由可知，，所以，设直线的方程分别为：，设.则，所以.题型二：向量数量积定值例4．（2024·新疆昌吉·高二统考期中）已知椭圆，，是C的左、右焦点，过的动直线l与C交于不同的两点A，B两点，且的周长为，椭圆的其中一个焦点在抛物线准线上，(1)求椭圆的方程；(2)已知点，证明:为定值.【解析】（1）由可得准线为，所以椭圆的左焦点，所以椭圆的半焦距，因为的周长为，所以，故.所以，所求椭圆的方程为.（2）如图所示：①当直线斜率不存在时，的方程为，将代入可得，所以，，此时，，则，②当直线斜率存在时，设直线的方程为，设，，由，得，则，，，，所以，，，，综上所述，为定值，且定值为.例5．（2024·江西萍乡·高二萍乡市安源中学校考期末）已知是抛物线上一点，且M到C的焦点的距离为5.

(1)求抛物线C的方程及点M的坐标；(2)如图所示，过点的直线l与C交于A，B两点，与y轴交于点Q，设，，求证：是定值.【解析】（1）由抛物线的定义，得，解得p＝2.所以抛物线C的方程为，M的坐标为或.（2）由题意知直线l的斜率存在且不为0，设l的方程为x＝ty＋1（t≠0），则.将x＝ty＋1代入得.设，，则，.由，得；由，得.所以，故是定值1.例6．（2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考开学考试）已知点到的距离是点到的距离的2倍.(1)求点的轨迹方程；(2)若点与点关于点对称，过的直线与点的轨迹交于，两点，探索是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）设点，由题意可得，即，化简可得.（2）设点，由（1）点满足方程:，，代入上式消去可得，即的轨迹方程为，当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为，由，消去，得，显然，设，则，，又，，则.当直线的斜率不存在时，，，.故是定值，即.变式4．（2024·全国·高二校联考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，点在E上．(1)求椭圆E的标准方程；(2)过点F的直线l与椭圆E交于A，B两点，点Q为椭圆E的左顶点，直线QA，QB分别交于M，N两点，O为坐标原点，求证：为定值．【解析】（1）由题意得，又点在椭圆上，则，解得，故所求椭圆E的标准方程为.（2）由题意知直线的斜率不为，可设方程为，联立，消得，则，设由韦达定理得，，则，且，又则直线的方程为：，令得，，同理可得，，故，由，则，则.即为定值.变式5．（2024·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2.(1)求椭圆C的方程；(2)已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.①若，求k的值；②若点Q的坐标为，求证：为定值.【解析】（1），，代入得.又椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形的面积为2，即，即，以上各式联立解得，则椭圆方程为.（2）①直线与轴交点为，与轴交点为，联立消去得:，设，则解得:.由得;②证明：由①知，为定值.题型三：斜率和定值例7．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知，．(1)证明：总与和相切；(2)在（1）的条件下，若与在y轴右侧相切于A点，与在y轴右侧相切于B点．直线与和分别交于P，Q，M，N四点.是否存在定直线使得对任意题干所给a，b，总有为定值？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，代入椭圆方程得：，由，化简得：，所以，把代入，得：，于是，则椭圆的切线斜率为，切线方程为，整理得到，其中，故，即，当时，此时或，当时，切线方程为，满足，当时，切线方程为，满足，所以椭圆在处的切线方程为；上一点的切线方程为，理由如下：设过点的切线方程为，与联立得，，由，化简得，因为，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因为，，所以，联立，两式相乘得，，从而，故，即，令，则，即，解得，即，所以上一点的切线方程为，综上：在点的切线方程为.故曲线且在点的切线方程为．当时，，联立得，，解得，则，当时，，，满足，当时，，，满足，即曲线C与相切，而此时且．故总与和相切．（2）设直线．设与交于和，联立得，由韦达定理得，，由题意，，代入整理得，因为为定值对任意a，b均成立，故为定值与a无关，为定值与b无关．当时，必有，此时．故有，代入解得，矛盾．当时，且时成立．此时直线，由（1）知与曲线仅有1个交点，矛盾．故不存在，使为定值对任意a，b均成立．例8．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知抛物线与抛物线在第一象限交于点.(1)已知为抛物线的焦点，若的中点坐标为，求；(2)设为坐标原点，直线的斜率为.若斜率为的直线与抛物线和均相切，证明为定值，并求出该定值.【解析】（1）由得，设，因为的中点坐标为，所以，解得.（2）联立，解得或，所以，所以直线的斜率.设直线的方程为.联立，消去得，因为直线与抛物线相切，所以，即，若，则，不符合题意，所以，即，①联立，消去得，因为直线与抛物线相切，所以，即，②由①②可得，所以，故为定值，该定值为0.例9．（2024·河南许昌·高二统考期末）已知的两个顶点A，B的坐标分别是且直线PA，PB的斜率之积是，设点P的轨迹为曲线H.(1)求曲线H的方程；(2)经过点且斜率为k的直线与曲线H交于不同的两点E，F（均异于A，B），证明：直线BE与BF的斜率之和为定值.【解析】（1）设，则由直线PA，PB的斜率之积是可得，化简可得（2）设直线方程为：，则与椭圆方程联立可得：，则，故或，设，则，.故.变式6．（2024·河南商丘·高二校考阶段练习）已知是椭圆的顶点（如图），直线l与椭圆交于异于顶点的两点，且，若椭圆的离心率是，且，

(1)求此椭圆的方程；(2)设直线和直线的斜率分别为，证明为定值.【解析】（1）由已知可得椭圆的离心率，，∴，∴椭圆方程为；（2）如图，由（1）可知：，，，且，所以直线的斜率，设直线的方程为，设，联立得：，，∴，则，又，，，，∴，，为定值.变式7．（2024·云南昆明·高二云南师范大学实验中学校考阶段练习）过点的直线为为圆与轴正半轴的交点.(1)若直线与圆相切，求直线的方程：(2)证明：若直线与圆交于两点，直线的斜率之和为定值.【解析】（1）由已知可得，圆心，半径.当直线斜率不存在时，方程为，此时直线与圆不相切；当直线斜率存在时，设直线斜率为，则方程为，即.由直线与圆相切，可知圆心到直线的距离，整理可得，，解得或.所以，直线的方程为或.综上所述，直线的方程为或.（2）由题设得到点，当直线斜率不存在时，方程为，此时直线与圆的交点为，，则；当直线斜率存在时，设直线方程为，代入圆的方程可得.设点，则.所以，，则.综上所述，与的斜率之和为定值.故与的斜率之和为定值.题型四：斜率积定值例10．（2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切．(1)求C的方程；(2)直线与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，且平分，设直线的斜率为（O为坐标原点），判断是否为定值？并说明理由．【解析】（1）由椭圆的离心率为，得，即有，由以C的短轴为直径的圆方程为，由与直线相切得：，联立解得，∴C的方程为；（2）为定值，且，理由如下：由题意，直线AP，BP的斜率互为相反数，即，设，由，消去y得：，∴，而，∴，即，∴，∴，化简得，又∵在椭圆上，∴，∴，∴，∴，又∵不在直线，则有，即，∴为定值，且.例11．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）已知点，动点满足直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．【解析】（1）由题设得，化解得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）设直线的斜率为，则其方程为．由得，记，则，，．于是直线的斜率为，方程为．由得．①设，则和是方程①的解，则，故，由此得．从而直线的斜率，所以．所以直线与的斜率之积为定值．例12．（2024·江苏南通·高三统考开学考试）在直角坐标系中，点到点的距离与到直线：的距离之比为，记动点的轨迹为.(1)求的方程；(2)过上两点，作斜率均为的两条直线，与的另两个交点分别为，.若直线，的斜率分别为，，证明：为定值.【解析】（1）设，由题意可知，所以的方程为；（2）设，，∴方程：代入椭圆方程，∴，∴，∴，∴，∴同理设，，∴，∴为定值.变式8．（2024·全国·高二随堂练习）已知椭圆的离心率为，点在C上，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.【解析】证明：由题意可得，解得，故椭圆方程为，由题意可设直线l的方程为，设，则，则，两式相减得，即，即，又M为线段AB的中点，即有,即，即直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.题型五：斜率比定值例13．（2024·福建厦门·高二厦门一中校考期中）已知双曲线：实轴长为4（在的左侧），双曲线上第一象限内的一点到两渐近线的距离之积为.(1)求双曲线的标准方程；(2)设过的直线与双曲线交于，两点，记直线，的斜率为，，请从下列的结论中选择一个正确的结论，并予以证明.①为定值；②为定值；③为定值【解析】（1）设是上的一点，与是的两条渐近线，到两条渐近线的距离之积，依题意，，故，双曲线的标准方程为；（2）正确结论：③为定值.证明如下：由（1）知，，设，，因为，不与，重合，所以可设直线：，与联立：，消去整理可得：故，，，所以，，，①，，不是定值，②，，不是定值，③，所以是定值.例14．（2024·四川成都·高二校考期中）已知椭C：，为其左右焦点，离心率为，(1)求椭圆C的标准方程；(2)设点P，点P在椭圆C上，过点P作椭圆C的切线l，斜率为，，的斜率分别为，，则是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）由已知条件可得，，解得，椭圆；（2）是定值，证明：因为点，，过点作椭圆的切线，斜率为，且，与联立消得，由题设得，即，因为点在椭圆上，，代入上式得，而，定值），是定值；例15．（2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知双曲线的实轴长为，左右两个顶点分别为，经过点的直线交双曲线的右支于两点，且在轴上方，当轴时，.(1)求双曲线方程.(2)求证：直线的斜率之比为定值.【解析】（1）由题意可得，当轴时，直线，则，又，所以；（2）由题意可知，不妨设：,，易知，联立双曲线方程得，则，且，不难发现由斜率公式可知，则，故是定值.题型六：线段定值例16．（2024·浙江·高二校联考期中）已知圆：与圆：.(1)若圆与圆内切，求实数的值；(2)设，在轴正半轴上是否存在异于A的点，使得对于圆上任意一点，为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（1）因为：，即，故圆的圆心坐标为，半径长，且圆：，故圆的圆心坐标为，半径长，若圆与圆内切，则，即，且，所以.（2）设点，则，于是，即，同理，可得，要使为定值，则，解得或（舍去），故存在点使得为定值，此时.例17．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知P为平面上的动点，记其轨迹为Γ.(1)请从以下三个条件中选择一个，求对应的Γ的方程；①以点P为圆心的动圆经过点，且内切于圆；②已知点，直线，动点P到点T的距离与到直线l的距离之比为；③设E是圆上的动点，过E作直线EG垂直于x轴，垂足为G，且.(2)在（1）的条件下，设曲线Γ的左、右两个顶点分别为A，B，若过点的直线m的斜率存在且不为0，设直线m交曲线Γ于点M，N，直线n过点且与x轴垂直，直线AM交直线n于点P，直线BN交直线n于点Q，则线段的比值是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）选①，则由得，由椭圆的定义得长轴为4，焦距为2，所求轨迹Γ的方程为.选②，设，由，化简得即所求轨迹Γ的方程为.选③，设，由，得，代入圆O的方程，得，即所求轨迹Γ的方程为（2）已知直线m的斜率存在且不为0，设过点K的直线m的方程为，设，与方程联立得：，∴.且直线AM的方程为，∴.同理，，∴其中，，将代入可得，，∴.例18．（2024·江西九江·统考一模）如图，已知椭圆()的左右焦点分别为，，点为上的一个动点(非左右顶点)，连接并延长交于点，且的周长为，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆的长轴端点为，且与的离心率相等，为与异于的交点，直线交于两点，证明：为定值．【解析】（1）的周长为，由椭圆的定义得，即，又面积的最大值为2，，即，，，，解得，椭圆的标准方程为.（2）由（1）可知，，椭圆的离心率，设椭圆的方程为，则有，，解得，椭圆的标准方程为，设，，，点在曲线上，，依题意，可设直线，的斜率分别为，则的方程分别为，，于是，联立方程组，消去整理，得，，，，同理可得：，，，为定值.变式9．（2024·湖南·高三临澧县第一中学校联考开学考试）已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且．(1)求的值；(2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值．【解析】（1）由题意知，，所以，解得．（2）由（1）知，．设直线，，，，，根据题意结合图形可知，且．联立，得，则，同理联立，得，则．由可得，，又，，所以，即，化简得，即，又因为，，所以，再由，得．联立，解得，所以，，．故，所以为定值.变式10．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线（为常数，）.点是抛物线上不同于原点的任意一点.(1)若直线与只有一个公共点，求；(2)设为的准线上一点，过作的两条切线，切点为，且直线，与轴分别交于，两点.①证明：②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）将直线与抛物线联立，消去可得，由题意可知该方程只有一个实数根，所以，又点在抛物线上，即；可得，解得（2）①易知抛物线的准线方程为；不妨设，切点，如下图所示：将求导可得，则切线的斜率，切线的方程为，又，的方程可化为；同理可得的方程可化为；又两切线交于点，所以，因此可得是方程的两根，因此；所以；因此②设直线和的倾斜角为，直线的倾斜角为，所以；又；；；所以，将代入可得，则可得，即；又，所以，可得，则为定值.变式11．（2024·山东淄博·高二校联考阶段练习）已知圆：与直线相切.(1)若直线与圆交于，两点，求；(2)已知，，设为圆上任意一点，证明：为定值.【解析】（1）由题意，圆心到直线的距离：，圆与直线相切，∴，圆方程为:，∵圆心到直线的距离:，∴.（2）由题意及（1）证明如下设,则，∴，即为定值.变式12．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知，分别是椭圆：的右顶点和上顶点，，直线的斜率为.(1)求椭圆的方程；(2)直线，与，轴分别交于点，，与椭圆相交于点，.（i）求的面积与的面积之比；（ⅱ）证明：为定值.【解析】（1）∵、是椭圆，的两个顶点，且，直线的斜率为，由，，得，又，解得，，∴椭圆的方程为；（2）设直线的方程为，则，，联立方程消去，整理得，，得设，，∴，.（i），，∴，∴的面积与的面积之比为1；（ii）证明：综上，.变式13．（2024·四川巴中·高二四川省通江中学校考期中）已知圆过点，，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于，两点.(1)求圆的方程；(2)若点的坐标为，求证：无论的位置如何变化恒为定值；(3)对于（2）中的定值，使恒为该定值的点是否唯一？若唯一，请给予证明；若不唯一，写出满足条件的点的集合.【解析】（1）显然，两点的中点为，直线斜率为，线段的垂直平分线的方程为：，由，解得，，因此圆心，半径，所以圆的方程为：.（2）如图，若斜率不存在，则，，；若斜率存在，设直线的方程为，由消去整理得，设，，则，，，同理，，所以不论的斜率是否存在，恒为定值.（3）设，当过的直线斜率存在时，设其方程为，由消去y得，设，，则，，则，同理，于是，当过的直线斜率不存在时，其方程为，由，解得，于是，即，因此，而点在圆外，即有，则，所以满足条件的点不唯一，点的集合.变式14．（2024·云南·校联考模拟预测）已知点到定点的距离和它到直线：的距离的比是常数．(1)求点的轨迹的方程；(2)若直线：与圆相切，切点在第四象限，直线与曲线交于，两点，求证：的周长为定值．【解析】（1）设，由条件可知：，等号的两边平方，整理后得：；（2）由（1）的结论知：曲线C是方程为的椭圆，设，依题意有：，则，所以直线l的方程为：，联立方程：，得：，

设，则，，，由条件可知：，，的周长，即定值为10；综上，曲线C的方向为，的周长.题型七：直线过定点例19．（2024·全国·高三专题练习）已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.(1)若的面积为，求直线的方程；(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.【解析】（1）因的周长为8，由椭圆定义得，即，而半焦距，又，则，椭圆的方程为，依题意，设直线的方程为，由消去x并整理得，设，，则，，，因此，解得，所以直线的方程为或.（2）由（1）知，，则，，设直线与交点为，则，，而，，则，，两式相加得：，而，则，因此，两式相减得：，而，则，即，所以直线与交于定点.例20．（2024·江西南昌·高三校联考阶段练习）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点为椭圆上任意一点，面积最大值为.(1)求椭圆的方程；(2)过轴上一点的直线与椭圆交于两点，过分别作直线的垂线，垂足为，两点，证明：直线，交于一定点，并求出该定点坐标.【解析】（1）设椭圆半焦距为，∵离心率为，∴.由椭圆性质可知，当为短轴端点时，面积最大.∴，∴.又，解得，，.∴椭圆的方程为：；（2）设与轴交于点，则，当的斜率为0时，显然不适合题意；当的斜率不存在时，直线为，∵四边形为矩形，∴，交于线段的中点.当直线的斜率存在且不为0时，设，，直线为：，联立，得，，∴，，设，，则，，联立，得，将，代入整理得.将代入，得.综上，直线、交于定点.例21．（2024·江西南昌·高二南昌市外国语学校校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆C：(a>b>0)过点，离心率为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点K(2，0)作与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，过A，B点作直线l：x＝的垂线，其中c为椭圆C的半焦距，垂足分别为A1，B1，试问直线AB1与A1B的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意得⇒所以椭圆C的标准方程为.(2)①当直线AB的斜率不存在时，直线l：x＝，AB1与A1B的交点是.②当直线AB的斜率存在时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB为y＝k(x－2)，由⇒(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝，A1，B1，所以lAB1：，lA1B：y＝，联立解得x＝，代入上式可得＝＝0.综上，直线AB1与A1B过定点．变式15．（2024·甘肃天水·高二统考期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点在E上．(1)求E的方程；(2)过点作互相垂直且与x轴均不重合的两条直线分别交E于点A，B和C，D，若M，N分别是弦AB，CD的中点，证明：直线MN过定点．【解析】（1）因为该椭圆的离心率，所以有，又，所以有，因为点在E上，所以，联立，解得，所以E的方程为；（2）由（1）知，由题意知直线AB和直线CD的斜率都存在且不为0，设直线AB方程为：，与E的方程联立，消去x并整理，得，且，设，则，所以，所以点M的坐标为，因为，则直线CD的方程为，同理得，当，即时，直线MN的斜率，所以直线MN的方程为，所以，因为，所以直线MN的方程即为，显然直线MN过定点；当，即时，则或，此时直线MN的方程为，也过点.综上所述，直线MN过定点.变式16．（2024·黑龙江鹤岗·高二鹤岗一中校考期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右顶点分别为、，点是椭圆的右焦点，，．(1)求椭圆的方程；(2)不过点的直线交椭圆于、两点，记直线、、的斜率分别为、、.若，证明直线过定点，并求出定点的坐标．【解析】（1）由题意知，，，，∵，，∴，解得，从而，∴椭圆的方程为.（2）设直线的方程为，，．直线不过点，因此．由，得，时，，，∴，由，可得，即，故的方程为，恒过定点．变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知A､B分别为椭圆E∶的右顶点和上顶点､椭圆的离心率为，F1､F2为椭圆的左､右焦点，点P是线段AB上任意一点，且的最小值为.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l是圆C∶x2+y2=9上的点处的切线，点M是直线l上任一点，过点M作椭圆C的切线MG，MH，切点分别为G，H，设切线的斜率都存在.试问∶直线GH是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.【解析】解∶（1）由.知，，则椭圆方程为，设，线段AB的方程为则，又因为，所以的最小值为，解得a2=9，所以，故椭圆E的方程为.（2）由题意可知，直线l的方程为，即，设G(x1，y1)，H(x2，y2)，M(x3，y3)，由题知，设直线MG的方程为，，.，化简得所以，因为方程只有一解，所以，故直线MG的方程为，化简得，同理可得直线MH的方程为，又因为两切线都经过点M(x3，y3)，所以所以直线GH的方程为，又因为，所以直线GH的方程为，.令，得所以直线GH恒过定点.变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．(1)求椭圆C的标准方程．(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为．（2）设，，显然直线l的斜率存在．直线l的方程为，联立方程组消去y得，由，得，所以，．因为点，所以直线AD的方程为．又，所以直线AD的方程可化为，即，所以直线AD恒过点（1，0）．（方法二）设，，直线l的方程为，联立方程组消去x得，由，得或，所以，．因为点，则直线AD的方程为．又，所以直线AD的方程可化为，此时直线AD恒过点（1,0），当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．综上，直线AD恒过点（1，0）．题型八：动点在定直线上例22．（2024·江苏南通·高二校考阶段练习）已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6.(1)求点的轨迹的方程.(2)已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，试问：当点变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.【解析】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6，所以，故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以的轨迹的方程为；（2）设直线的方程为：，，，联立方程得：，则，，所以，又直线的方程为：，又直线的方程为：，联立方程，解得，把代入上式得：，所以当点运动时，点恒在定直线上例23．（2024·上海·高二专题练习）已知双曲线的两焦点为，为动点，若.（1）求动点的轨迹方程；（2）若，设直线过点，且与轨迹交于两点，直线与交于点.试问：当直线在变化时，点是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【解析】（1）双曲线的两焦点为，设动点，因为，且，所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆.因为，所以的轨迹方程；.（2）由题意设直线的方程为，取，得，直线的方程是，直线的方程是，交点为.若，由对称性可知：交点为.若点在同一条直线上，则该直线只能为.以下证明对任意的，直线与交点均在直线上.由得，设，由韦达定理得：设直线与交点为，由，得.设直线与交点为，由，得，因为，.所以与重合.所以当直线在变化时，点恒在直线上.例24．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆的离心率，长轴的左、右端点分别为(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于两点，直线与交于点，试问：当变化时，点是否恒在一条直线上？若是，请写出这条直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由.【解析】（1）设椭圆的标准方程为，根据题意，可得且，所以，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）根据题意，可设直线的方程为，取，可得，可得直线的方程为，直线的方程为，联立方程组，可得交点为；若，由对称性可知交点，若点在同一直线上，则直线只能为；以下证明：对任意的，直线与直线的交点均在直线上，由，整理得，设，则，设与交于点，由，可得，设与交于点，由，可得，因为，因为，即与重合，所以当变化时，点均在直线上，.变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点．(1)求的取值范围；(2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由．【解析】（1）设，联立方程，消去y得：，由题意可得，解得，故的取值范围为.（2）内心恒在一条定直线上，该直线为，∵，即点在椭圆上，若直线过点，则，解得，即直线不过点，故直线的斜率存在，由（1）可得：，设直线的斜率分别为，则，∵，即，则的角平分线为，故的内心恒在直线上.变式20．（2024·浙江台州·高二校联考期中）已知直线l：与圆C：交于A､B两点.(1)若时，求弦AB的长度；(2)设圆C在点A处的切线为，在点B处的切线为，与的交点为Q.试探究：当m变化时，点Q是否恒在一条定直线上？若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【解析】（1），圆心，半径，点C到直线的距离，∴；（2）设点，由题意得：Q､A､B､C四点共圆，且圆的方程为：，即，与圆C的方程C：联立，消去二次项得：，即为直线l的方程，因为直线l：过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上.变式21．（2024·全国·高二专题练习）已知直线，圆.(1)证明：直线与圆相交；(2)设直线与的两个交点分别为、，弦的中点为，求点的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，设圆在点处的切线为，在点处的切线为，与的交点为.证明：Q，A，B，C四点共圆，并探究当变化时，点是否恒在一条定直线上?若是，请求出这条直线的方程；若不是，说明理由.【解析】（1）证明：如图所示，圆，化成标准方程为，圆心，半径为2，直线过定点，定点到圆心距离为1，即在圆内，故直线l与圆C相交；（2）l与C的两个交点分别为A、B，弦AB的中点为M，设点，由垂径定理得，即，整理得，直线l不过圆心C，则，所以点M的轨迹方程为；（3）依题意有，，四边形QACB对角互补，所以Q，A，B，C四点共圆，且QC为圆的直径，设，则圆心坐标为，半径为，则圆的标准方程为，整理得，与圆C的方程联立，消去二次项得∶，即为直线l的方程，因为直线过定点，所以，解得：，所以当m变化时，点Q恒在直线上．变式22．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆的左、右顶点分别为、，短轴长为，点上的点满足直线、的斜率之积为．(1)求的方程；(2)若过点且不与轴垂直的直线与交于、两点，记直线、交于点．探究：点是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．【解析】（1）设，则，且，所以，，则，故①，又②，

联立①②，解得，，故椭圆的方程为．（2）结论：点在定直线上．

由（1）得，、，设，设直线的方程为，设点、，联立，整理得，，，

直线的方程为，直线的方程为，所以，，可得

，解得，因此，点在直线上.变式23．（2024·高二课时练习）已知椭圆：（）过点，且离心率为．(1)求椭圆的方程；(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程．【解析】（1）由椭圆过点，且离心率为，所以，解得故所求的椭圆方程为．（2）由题意得，，直线的方程，设，联立，整理得，∴，．由求根公式可知，不妨设，，直线的方程为，直线的方程为，联立，得代入，得，解得，即直线与的交点在定直线上．题型九：圆过定点例25．（2024·陕西西安·高二西安市铁一中学校考期末）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，抛物线的焦点F恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆C的方程；（2）已知圆M：的切线l(直线l的斜率存在且不为零)与椭圆相交于两点，求证：以为直径的圆是否经过坐标原点.【解析】（1）由题意可知，离心率，抛物线的焦点为，即该椭圆的一个顶点为，故，故，所以椭圆C的方程为；（2）直线l的斜率存在且不为零，故设直线为，依题意，圆M：，圆心为，半径，由直线l与圆M：相切，得圆心到直线l的距离，化简得，即.设，联立方程，得，则，，故，则，故，即，故以为直径的圆经过坐标原点.例26．（2024·四川宜宾·校考模拟预测）已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为、，抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点.（1）求椭圆的方程；（2）已知圆的切线（直线的斜率存在且不为零）与椭圆相交于、两点，那么以为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.【解析】（1）因为椭圆的离心率,所以,即.因为抛物线的焦点恰好是该椭圆的一个顶点,所以,所以.所以椭圆的方程为.（2）因为直线的斜率存在且不为零.故设直线的方程为.由消去,得,所以设,则.所以.所以.①因为直线和圆相切,所以圆心到直线的距离,整理,得,②将②代入①,得,显然以为直径的圆经过定点综上可知,以为直径的圆过定点.例27．（2024·辽宁葫芦岛·统考二模）已知直线l1:过椭圆C:的左焦点，且与抛物线M:相切.(1)求椭圆C及抛物线M的标准方程;(2)直线l2过抛物线M的焦点且与抛物线M交于A，B两点，直线OA，OB与椭圆的过右顶点的切线交于M，N两点.判断以MN为直径的圆与椭圆C是否恒交于定点P，若存在，求出定点P的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）由，得，因为直线与抛物线只有1个公共点，所以，解得，故抛物线的方程为.由直线过椭圆C的左焦点得得所以，，3，所以椭圆C的方程为.（2）如图1，设，，当直线l2斜率存在时，可设直线方程：由得，所以，，.

所以，，直线的方程为，同理可得，直线的方程为，令得，，，假设椭圆C上存在点，恒有.则即，即，即，令，可得或.由于点不在椭圆C上，点在椭圆上，所以椭圆C上存在点，使恒成立如图2，当直线斜率不存在时，直线过抛物线的右焦点，则直线方程为，与抛物线交于，，则直线OA方程为：，直线OB方程为：，椭圆的过右顶点的切线方程为，切线方程与直线OA交于，与直线OB交于，由上面斜率存在可知恒过，经验证满足，所以当斜率不存在时候也满足以MN为直径的圆恒过定点.变式24．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，动点M到直线的距离等于点M到点的距离的2倍，记动点M的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程；(2)已知斜率为的直线l与曲线C交于A、B两个不同点，若直线l不过点，设直线的斜率分别为，求的值；(3)设点Q为曲线C的上顶点，点E、F是C上异于点Q的任意两点，以为直径的圆恰过Q点，试判断直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．【解析】（1）不妨设点的坐标为，由题意可知，，化简可得，，故曲线C的方程为.（2）不妨设直线的方程：，，，因为直线l不过点，易知，由可得，，由且可得，或，由韦达定理可知，，，因为，，，，所以，将，代入上式得，，故的值为0.（3）由椭圆方程可知，点坐标为，因为以为直径的圆恰过Q点，所以，结合椭圆特征可知，直线的斜率存在，不妨设直线方程：，且，，，由可得，，由可得，，由韦达定理可知，，，因为，，，，所以，将，代入上式并化简可得，，故直线方程：，易知直线必过定点，从而直线经过定点，定点坐标为.变式25．（2024·广西·高三象州县中学校考阶段练习）在直角坐标系中，动点M到定点的距离比到y轴的距离大1．(1)求动点M的轨迹方程；(2)当时，记动点M的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于P，Q两点，直线OP，OQ与直线分别交于A，B两点，试判断以AB为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）动点M到定点的距离比到y轴的距离大1，当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线，设抛物线方程为，，，当时，满足条件.综上所述：轨迹方程为：时，；时，（2）设直线的方程为，，联立，整理得：，，，直线的方程为，同理：直线的方程为，令得，，设中点的坐标为，则，，所以.，圆的半径为.所以为直径的圆的方程为.展开可得，令，可得，解得或.所以以为直径的圆经过定点和变式26．（2024·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期末）已知双曲线：经过点A，且点到的渐近线的距离为．(1)求双曲线C的方程；(2)过点作斜率不为的直线与双曲线交于M，N两点，直线分别交直线AM，AN于点E，F．试判断以EF为直径的圆是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；反之，请说明理由．【解析】（1）由题意得：因为双曲线C的渐近线方程为，所以有：解得：因此，双曲线C的方程为：（2）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为由可得：设、，则由：，由直线AM方程，令，得点由直线AN方程，令，得点则以EF为直径的圆的方程为：令，有：将，代入上式，得可得：解得：，或即以EF为直径的圆经过点和；②当直线l的斜率不存在时，点E、F的坐标分别为、，以EF为直径的圆方程为，该圆经过点和综合可得，以EF为直径的圆经过定点和题型十：角度定值例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B分别是椭圆