第63讲、直线与圆的综合（学生版）

第63讲直线与圆的综合必考题型全归纳题型一：距离的创新定义例1．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点，当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等均为120°，根据以上性质，已知，P为内一点，记，则的最小值为，此时.例2．（2024·全国·高三专题练习）闵氏距离（）是衡量数值点之间距离的一种非常常见的方法，设点、坐标分别为，，则闵氏距离.若点、分别在和的图像上，则的最小值为（

）A． B． C． D．例3．（2024·全国·高三专题练习）17世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小．现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点．根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量，且，则的最小值是（）A． B．C． D．变式1．（2024·全国·高三专题练习）闵可夫斯基距离又称为闵氏距离，是两组数据间距离的定义.设两组数据分别为和，这两组数据间的闵氏距离定义为，其中q表示阶数.现有下列四个命题：①若，则；②若，其中，则；③若，其中，则；④若，其中，则的最小值为.其中所有真命题的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4变式2．（2024·全国·高三专题练习）费马点是指三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角均小于120°时，费马点与三个顶点连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对的三角形三边的张角相等且均为120°.根据以上性质，.则的最小值为（

）A．4 B． C． D．变式3．（2024·全国·高三专题练习）点是内部或边界上的点，若到三个顶点距离之和最小，则称点是的费马点（该问题是十七世纪法国数学家费马提出）.若，，时，点是的费马点，且已知在轴上，则的大小等于.变式4．（2024·全国·高三专题练习）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得的最小值为．题型二：切比雪夫距离例4．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为．例5．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”．若点P到点（2014，2015）的切比雪夫距离为2，则点P的轨迹长度之和为．例6．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点,称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:①对任意三点，都有②已知点和直线则③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；其中真命题的是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③变式5．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作.（1）求证：对任意三点、、，都有；（2）已知点和直线，求；（3）定点，动点满足（），请求出点所在的曲线所围成图形的面积.变式6．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及直线上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列三个命题：①对任意三点、、，都有；②已知点和直线，则；③定义，动点满足，则动点的轨迹围成平面图形的面积是4；其中真命题的个数（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式7．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，定义为两点AB的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作,给出下列三个命题：①对任意三点A、B、C，都有②已知点P(2,1)和直线,则③定点动点P满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点.其中真命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3变式8．（2024·全国·高三专题练习）在平面直线坐标系中,定义为两点的“切比雪夫距离”，又设点P及上任意一点Q,称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”记作给出下列四个命题:（

）①对任意三点A、B、C，都有②已知点P(3,1)和直线则③到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；④定点动点满足则点P的轨迹与直线(为常数)有且仅有2个公共点．其中真命题的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1题型三：曼哈顿距离、折线距离、直角距离问题例7．（2024·福建泉州·统考模拟预测）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知，，则的最大值近似等于（

）（参考数据：，．）A．0.052 B．0.104 C．0.896 D．0.948例8．（2024·安徽·校联考二模）在平面直角坐标系中，定义两点间的折线距离，该距离也称曼哈顿距离．已知点，若，则的最小值与最大值之和为（

）A．0 B． C． D．例9．（2024·全国·高三专题练习）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（

）A． B． C． D．变式9．（2024·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”也叫“出租车距离”，是19世纪德国犹太人数学家赫尔曼·闵可夫斯基首先提出来的名词，用来表示两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，即在直角坐标平面内，若，，则，两点的“曼哈顿距离”为，下列直角梯形中的虚线可以作为，两点的“曼哈顿距离”是（

）A． B．C． D．变式10．（2024·全国·高三专题练习）“曼哈顿距离”是19世纪的赫尔曼·闵可夫斯基所创之间，定义如下：在直角坐标平面上任意两点，的曼哈顿距离为：.在此定义下，已知点，满足的点M轨迹围成的图形面积为（

）A．2 B．1 C．4 D．题型四：圆的包络线问题例10．（2024·全国·高三专题练习）设直线系M：，则下列命题中是真命题的个数是（

）①存在一个直线与所有直线相交；②M中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等.A．0 B．1 C．2 D．3例11．（2024·全国·高三专题练习）设直线系（），则下列命题中是真命题的个数是（）①存在一个圆与所有直线相交；②存在一个圆与所有直线不相交；③存在一个圆与所有直线相切；④中所有直线均经过一个定点；⑤不存在定点不在中的任一条直线上；⑥对于任意整数，存在正边形，其所有边均在中的直线上；⑦中的直线所能围成的正三角形面积都相等．A．3 B．4 C．5 D．6例12．（2024·全国·高三专题练习）设直线系，对于下列四个结论：（1）当直线垂直于轴时，或；（2）当时，直线倾斜角为；（3）中所有直线均经过一个定点；（4）存在定点不在中任意一条直线上．其中正确的是（

）A．①② B．③④ C．②③ D．②④变式11．（多选题）（2024·辽宁葫芦岛·高二校考开学考试）设有一组圆：（）.下列四个命题中真命题的是A．存在一条定直线与所有的圆均相切B．存在一条定直线与所有的圆均相交C．存在一条定直线与所有的圆均不相交D．所有的圆均不经过原点变式12．（多选题）（2024·全国·高二专题练习）已知圆，直线，下面五个命题，其中正确的是（

）A．对任意实数与，直线和圆有公共点B．对任意实数与，直线与圆都相离C．存在实数与，直线和圆相离D．对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知直线与圆相切，则满足条件的直线有（）条A．1 B．2 C．3 D．4题型五：阿波罗尼斯圆问题、反演点问题、阿波罗尼斯球问题例13．（2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（

）A． B． C． D．例14．（2024·高二单元测试）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B．C． D．例15．（2024·福建泉州·高二统考期末）已知平面内两个定点，及动点，若（且），则点的轨迹是圆.后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，直线，直线，若为，的交点，则的最小值为（

）A．3 B． C． D．变式14．（2024·全国·高二专题练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．下面，我们来研究与此相关的一个问题：已知圆上的动点和定点，，则的最小值为（

）A． B． C． D．变式15．（2024·高二单元测试）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．4变式16．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知平面，，A、B是直线l上的两点，C、D是平面内的两点，且，，，，．P是平面上的一动点，且直线PD，PC与平面所成角相等，则二面角的余弦值的最小值是（

）A． B． C． D．1变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，底面为等边三角形，，，点为的中点，点为的中点.若点、是空间中的两动点，且，，则（）A．3 B．4 C．6 D．8变式18．（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约公元前年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，已知、分别是圆，圆上的动点，是坐标原点，则的最小值是．变式19．（2024·全国·高三专题练习）点为圆：上一动点，为圆：上一动点，为坐标原点，则的最小值为.变式20．（2024·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，，点在线段上，且，点是正方体表面上的一动点，点是空间两动点，若且，则的最小值为.题型六：圆中的垂直问题例16．（2024·海南·统考模拟预测）已知直线，直线过点且与直线相互垂直，圆，若直线与圆C交于M，N两点，则．例17．（2024·江苏南通·统考一模）在平面直角坐标系中，圆的方程为．若直线上存在一点，使过所作的圆的两条切线相互垂直，则实数的取值范围是．例18．（2024·全国·模拟预测）已知AC，BD为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则的最大值为．变式21．（2024·全国·高三专题练习）过定点作两条相互垂直的直线、，设原点到直线、的距离分别为、，则的最大值是．变式22．（2024·全国·高三专题练习）过点作两条相互垂直的直线分别交圆于、和、两点，则四边形面积的最大值为．变式23．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，圆.已知过原点且相互垂直的两条直线和，其中与圆相交于，两点，与圆相切于点.若，则直线的斜率为.题型七：圆的存在性问题例19．（2024·河南·河南省实验中学校考模拟预测）已知圆和两点，.若圆上存在点，使得，则的最大值为．例20．（2024·内蒙古赤峰·高三赤峰二中校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知动圆的方程为，则圆心的轨迹方程为．若对于圆上的任意点，在圆：上均存在点，使得，则满足条件的圆心的轨迹长度为．例21．（2024·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习）设点的坐标为，若在圆上存在点，使得，则实数的取值范围为．变式24．（2024