北京市怀柔区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷 含解析

怀柔区2023--2024学年度第二学期高二质量检测数学2024.7注意事项：1．考生要认真填写姓名和考号．2．本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题），共150分，考试时间120分钟．3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡的对应位置，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答．4．考试结束后，考生应将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回．第一部分选择题（共40分）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意求集合A，再结合交集运算求解.【详解】由题意可知：，所以.故选：A.2.等比数列，，，，……，则数列的第七项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】观察等比数列的前几项，确定该数列的首项和公比，由此确定第7项.【详解】设该等比数列为，数列的公比为，由已知，，，所以，所以数列的通项公式为，所以.故选：A.3.在二项式的展开式中，常数项为（）A.20 B. C.80 D.【答案】D【解析】【分析】利用二项式的通项解决问题.【详解】二项式的通项为，要使其常数，则，即，故常数项为.故选：D4.已知函数，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对函数求导后，将代入导函数中计算即可.【详解】由，得，所以.故选：B5.某次考试学生甲还有四道单选题不会做，假设每道题选对的概率均为，则四道题中恰好做对2道的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用独立重复试验的概率公式列式计算即得.【详解】依题意，四道题中恰好做对2道概率.故选：C6.2021年7月20日，公布了《中共中央、国务院关于优化生育政策促进人口长期均衡发展的决定》，决定实施一对夫妻可以生育三个子女的政策及配套的支持措施．假设生男、生女的概率相等，如果一对夫妻计划生育三个小孩，在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】列出前两个孩子是男孩的所有基本事件，再由古典概型求解即可.【详解】这个家庭已经有两个男孩的下，计划生育三个小孩的所有可能为（男男女）、（男男男），所以在已经生育了两个男孩的情况下，第三个孩子是女孩的概率为.故选：D7.已知函数的图象如图所示，则下列各式中正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义及函数图象判断即可.【详解】设，，，则表示函数在点处的切线的斜率，则表示函数在点处的切线的斜率，表示，两点连线的斜率，又在上单调递增，且增长趋势越来越快，则函数在点、的切线与过、的直线的草图如下所示：由图可知，所以.故选：C8.若是公比为的等比数列，其前项和为，，则“”是“单调递增”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】结合等比数列性质判断“”和“单调递增”之间的逻辑关系，即可得答案.【详解】由题意可知是公比为的等比数列，当，时，则，由于，，且随n的增大而减小，故单调递增，当，时，也单调递增，推不出，故“”是“单调递增”充分而不必要条件，故选：A9.设函数，曲线在点处的切线方程为，则值分别为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】对函数求导后，由题意可得，得到关于的方程，再由得到关于的方程，解方程组可得结果.【详解】由，得，因为曲线在点处的切线方程为，所以，，解得.故选：B10.若函数，则根据下列说法选出正确答案是（）①当时，在上单调递增；②当时，有两个极值点；③当时，没有最小值．A.①② B.②③ C.①③ D.①②③【答案】D【解析】【分析】求出导函数，结合导数与函数的单调性的关系，极值与导数的关系验证各命题.【详解】，设，，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以，当时，，即，所以函数在上单调递增，则没有最小值，①③正确；当时，，即，设，由上面的研究可知，当时，，单调递减，时，，单调递增，所以，且当时，，且，时，，所以此时方程有两个解，即有两个零点，所以有两个极值点，②正确，所以正确答案是①②③.故选：D【点睛】关键点点睛：本题考查由函数的极值点个数求参数范围，用导数证明不等式．解题关键是问题的转化，极值点的个数问题转化为方程的实根的个数，再转化为函数的性质（函数图象）．第二部分非选择题（共110分）二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分．）11.已知等差数列的前项和，若，则________；前项和的最大值为______．【答案】①.②.16【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值.【详解】设等差数列的公差为，则，解得，所以，，当时，的最大值为,故答案为：，16.12.若随机变量X的分布列为（如表），X123则______；若随机变量Y=2X+1，则随机变量Y的数学期望E(Y)=__________．（用数字作答）【答案】①.##0.5②.##【解析】【分析】利用概率和等于1以及数学期望的计算公式、性质求解.【详解】Y=2X+1.故答案为：；.13.若，则=______.【答案】32【解析】【分析】利用赋值法求解.【详解】根据题意，，令，得，令，得，两式相加得：，所以.故答案为：32.14.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．例如图（1）是一个边长为1的正三角形，将每边3等分，以中间一段为边向外作正三角形，并擦去中间一段，得到图（2），如此继续下去，得到图（3），则第三个图形的边数________；第个图形的周长________．【答案】①.48②.【解析】【分析】根据已知，结合图形，寻找规律，再利用等比数列的通项公式求解.【详解】由题知，下个图形的边长是上一个图形的，边数是上一个图形4倍，因为第1个图形的边数3，所以第2个图形的边数12，第3个图形的边数48.设第个图形的周长为，则周长之间的关系为，所以数列是首先为3，公比为的等比数列，所以.故答案为：48；.15.已知数列的通项公式，则下列各项说法正确的是________．(填写所有正确选项的序号)①当时，数列的前n项和；②若数列是单调递增数列，则；③，数列的前n项积既有最大值又有最小值；④若恒成立，则．【答案】①④【解析】【分析】对于①，利用裂项相消求和法求解判断，对于②，由求解的范围，对于③，举例判断，对于④，由题意得，利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】对于①，当时，，所以，所以，所以①正确，对于②，若数列是单调递增数列，则，即，所以，所以，因为，所以，所以②错误，对于③，当时，，则数列的前n项积没有最大值，所以③错误，对于④，由，得，得，因为，当且仅当时取等号，所以的最小值为2，所以，所以④正确.故答案为：①④三、解答题（本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16.某学校对食堂饭菜质量进行满意度调查，随机抽取了200名学生进行调查，获取数据如下：满意度性别满意不满意弃权男生803010女生502010（1）用频率估计概率，该校学生对食堂饭菜质量满意的概率；（2）用分层抽样的方法从上表中不满意的50人中抽取5人征求整改建议，再从这5个人中随机抽取2人参与食堂的整改监督，则抽取的2人中女生的人数X，求X的分布列和期望．【答案】（1）.（2）分布列见解析；期望为.【解析】【分析】（1）根据已知，计算该校学生对食堂饭菜质量满意的的频率即可.（2）根据已知，利用超几何分布计算公式、期望的计算公式求解.【小问1详解】设“对食堂饭菜质量满意”为事件A．在200人中对饭菜质量满意的有130人，.【小问2详解】分层抽取比例男生抽取人，女生抽取人抽取的2人中女生人数X的所有可能为0，1，2---X012P随机变量X的数学期望.17.已知等差数列的前项和为，且.（1）求等差数列的通项公式；（2）若各项均为正数的数列其前项和为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，设，求数列的通项公式和数列的前项和.条件①：；条件②：；条件③：且都有成立，.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）设出首项和公差，建立方程求解基本量，求出通项公式即可.（2）条件①利用数列前项和和通项公式的关系求出，再利用分组求和法求和即可，条件②利用等比数列的定义求出，再利用分组求和法求和即可，条件③设出首项和公比，求出，再利用分组求和法求和即可.【小问1详解】已知等差数列中，满足.设首项为，公差为，得到，解得，【小问2详解】选条件①.当时，，当时，，当时，，，是以2为首项，3为公比的等比数列，设的前项和为，.选条件②，是以2为首项，3为公比的等比数列，，设的前项和为，.选条件③且都有成立，是等比数列，且设公比为，，，(负根舍去)，是以2为首项，3为公比的等比数列，，设的前项和为，.18.设函数，（1）求曲线y=在点（0，）处的切线方程；（2）求函数在区间上的最大值与最小值；（3）若方程在有三个不同的根，求的取值范围．【答案】（1）（2）最大值为10；最小值为（3）【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义及直线的点斜式方程求解.（2）根据导数与函数单调性的关系，求出区间端点处的函数值、极值进行比较.（3）利用导数确定函数的单调性以及求出函数的极值、最值，把函数的根的个数问题转化为两个函数的交点个数问题.【小问1详解】代入得到，即切点坐标（0，1）由，得．-所以曲线y=在点（0，）处的切线方程为.【小问2详解】由，得．令，得，解得或与在区间上的情况如下：-4-31（1，3）3

↗10↘↗10所以在区间上，当x=-3或x=3时，最大值为10；当x=1时，最小值为．【小问3详解】若方程在上有三个不同的根，可得y=的图象与直线y=有3个交点由（2）可知：-3（-3，1）1↗10↘↗又当；当所以时，方程有三个不同根．-19.为了了解高三学生的睡眠情况，某校随机抽取了部分学生，统计了他们的睡眠时间，得到以下数据（单位：小时）：男生组：5，5.5，6，7，7，7.5，8，8.5，9；女生组：5.5，6，6，6，6.5，7，7，8．用频率估计概率，且每个学生的睡眠情况相互独立．（1）世界卫生组织建议青少年每天最佳睡眠时间应保证在8-10（含8小时）小时，估计该校高三学生睡眠时间在最佳范围的概率；（2）现从该校的男生和女生中分别随机抽取1人，表示这2个人中睡眠时间在最佳范围的人数，求的分布列和数学期望；（3）原女生组睡眠时间的样本方差为，若女生组中增加一个睡眠时间为6.5小时的女生，并记新得到的女生组睡眠时间的样本方差为，写出与的大小关系．（结论不要求证明）【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为（3）【解析】【分析】（1）直接计算该校高三学生睡眠时间在最佳范围的频率；（2）的所有可能取值为0，1，2，求出分布列，再由期望公式求解；（3）直接判断写出与的大小关系．【小问1详解】设“该校高三学生的睡眠时间在最佳范围”为事件A，在随机抽取的17人中有4人的睡眠时间在最佳范围，所以；【小问2详解】由题意，“从男生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件B，则，“从女生中随机选出1人，其睡眠时间在最佳范围”为事件C，，由条件可知，的所有可能取值为0，1，2，，，，所以的分布列为：012；【小问3详解】．20.已知函数，其中（1）求函数的单调区间；（2）当曲线在点处切线与直线垂直时，若函数的图象总在函数图象的上方，则的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意，对函数进行求导，分别讨论当和这两种情况，进而根据导函数符号可得函数的单调区间；（2）对函数进行求导，利用导数的几何性质求出，设出切点坐标，构造函数，得到切点坐标，进而可得的取值范围．【小问1详解】因为，所以函数的定义域为当时，对任意的恒成立，所以函数的增区间为，无减区间；-当时，令，得舍负，—极小值所以的减区间为，增区间为．综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为．【小问2详解】，曲线在点的切线与直线垂直，，是一条过原点的直线，假设直线与曲线相切，设切点坐标，则所以，令则恒成立，在单调递增，，所以有且仅有一解，即切点坐标，当直线与曲线相切时，切