第50讲、外接球、内切球、棱切球（学生版）

第50讲外接球、内切球、棱切球知识梳理知识点一：正方体、长方体外接球1、正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2、长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3、补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．（3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．（4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图4知识点二：正四面体外接球如图，设正四面体的的棱长为，将其放入正方体中，则正方体的棱长为，显然正四面体和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为，即正四面体外接球半径为．知识点三：对棱相等的三棱锥外接球四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类问题．如图，设长方体的长、宽、高分别为，则，三式相加可得而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为，则，所以．知识点四：直棱柱外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出知识点五：直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：=1\*GB3①；=2\*GB3②．知识点六：正棱锥与侧棱相等模型1、正棱锥外接球半径：．2、侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点．解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：，解出．知识点七：侧棱为外接球直径模型方法：找球心，然后作底面的垂线，构造直角三角形．知识点八：共斜边拼接模型如图，在四面体中，，，此四面体可以看成是由两个共斜边的直角三角形拼接而形成的，为公共的斜边，故以“共斜边拼接模型”命名之．设点为公共斜边的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的结论可知，，即点到，，，四点的距离相等，故点就是四面体外接球的球心，公共的斜边就是外接球的一条直径．知识点九：垂面模型如图1所示为四面体，已知平面平面，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．图1图2知识点十：最值模型这类问题是综合性问题，方法较多，常见方法有：导数法，基本不等式法，观察法等知识点十一：二面角模型如图1所示为四面体，已知二面角大小为，其外接球问题的步骤如下：（1）找出和的外接圆圆心，分别记为和．（2）分别过和作平面和平面的垂线，其交点为球心，记为．（3）过作的垂线，垂足记为，连接，则．（4）在四棱锥中，垂直于平面，如图2所示，底面四边形的四个顶点共圆且为该圆的直径．知识点十二：坐标法对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长．坐标的引入，使外接球问题的求解从繁琐的定理推论中解脱出来，转化为向量的计算，大大降低了解题的难度．知识点十三：圆锥圆柱圆台模型1、球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为．通常在中，由勾股定理建立方程来计算．如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部．和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断．由图、图可知，或，故，所以．2、球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足．3、球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高．知识点十四：锥体内切球方法：等体积法，即知识点十五：棱切球方法：找切点，找球心，构造直角三角形必考题型全归纳题型一：外接球之正方体、长方体模型例1．（2024·云南昆明·高一校考期末）正方体的表面积为96，则正方体外接球的表面积为例2．（2024·吉林·高一校联考期末）已知正方体的顶点都在球面上，若正方体棱长为，则球的表面积为．例3．（2024·全国·高一专题练习）已知长方体的顶点都在球表面上，长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为2，3，4则球的表面积是变式1．（2024·湖南长沙·高一长郡中学校考期中）长方体的外接球的表面积为，，，则长方体的体积为.变式2．（2024·天津静海·高一校考期中）在长方体中，，，，则长方体外接球的表面积为．题型二：外接球之正四面体模型例4．（2024·湖北宜昌·宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABCD的表面积为，且A，B，C，D四点都在球O的球面上，则球O的体积为．例5．（2024·浙江·高二校联考期中）正四面体的所有顶点都在同一个表面积是36π的球面上，则该正四面体的棱长是．例6．（2024·全国·高三专题练习）棱长为的正四面体的外接球体积为.变式3．（2024·全国·高一假期作业）正四面体和边长为1的正方体有公共顶点，，则该正四面体的外接球的体积为.变式4．（2024·安徽池州·高二池州市第一中学校考期中）正四面体中，其侧面积与底面积之差为，则该正四面体外接球的体积为.题型三：外接球之对棱相等的三棱锥模型例7．（2024·高一单元测试）在四面体中，若，，，则四面体的外接球的表面积为（）A． B． C． D．例8．（2024·河南·开封高中校考模拟预测）已知四面体ABCD中，，，，则四面体ABCD外接球的体积为（

）A． B． C． D．例9．（2024·广东揭阳·高二校联考期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（

）A． B． C． D．变式5．（2024·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的体积为（

）A． B． C． D．题型四：外接球之直棱柱模型例10．（2024·陕西安康·统考三模）已知矩形ABCD的周长为36，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为．例11．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔市第八中学校校考阶段练习）设直三棱柱的所有顶点都在一个表面积是的球面上，且，则此直三棱柱的表面积是（

）A． B． C． D．例12．（2024·全国·高三专题练习）在直三棱柱中，为等腰直角三角形，若三棱柱的体积为32，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A．12π B．24π C．48π D．96π变式6．（2024·湖北咸宁·高二鄂南高中校考阶段练习）已知正三棱柱的体积为，则其外接球表面积的最小值为（）A．12π B．6π C．16π D．8π变式7．（2024·全国·高三专题练习）在三棱柱中，已知，侧面，且直线与底面所成角的正弦值为,则此三棱柱的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．变式8．（2024·新疆昌吉·高三校考期末）已知正三棱柱所有棱长都为6，则此三棱柱外接球的表面积为（

）A． B．60 C． D．题型五：外接球之直棱锥模型例13．（2024·安徽宣城·高一统考期末）在三棱锥中，△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱PA⊥平面ABC，且，则三棱锥的外接球表面积为．例14．（2024·江苏南京·高二统考期末）在三棱锥中，面，为等边三角形，且，则三棱锥的外接球的表面积为．例15．（2024·四川成都·高一成都七中校考阶段练习）已知三棱锥，其中平面，则三棱锥外接球的表面积为.变式9．（2024·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）在三棱锥中，为等边三角形，平面，若，则三棱锥外接球的表面积的最小值为.变式10．（2024·陕西榆林·高二校考阶段练习）已知三棱锥中，平面，，异面直线与所成角的余弦值为，则三棱锥的外接球的表面积为．变式11．（2024·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为.变式12．（2024·四川绵阳·绵阳中学校考二模）在四棱锥中，平面BCDE，，，，且，则该四棱锥的外接球的表面积为.变式13．（2024·广东韶关·高二统考期末）三棱锥中,平面,,,,则三棱锥外接球的体积是．题型六：外接球之正棱锥、正棱台模型例16．（2024·山东滨州·高一校考期中）已知正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6，则该四棱锥的外接球的体积为．例17．（2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末）已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为例18．（2024·河南商丘·高一商丘市第一高级中学校联考期末）在正三棱锥中，点D在棱上，且满足，，若，则三棱锥外接球的表面积为.变式14．（2024·云南保山·高一统考期末）已知正三棱锥的侧棱与底面所成的角为，高为，则该三棱锥外接球的表面积为.变式15．（2024·广东佛山·高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥中，，，该三棱锥的外接球体积为．变式16．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）如图，在正三棱台中，，，，则正三棱台的外接球表面积为（

）

A．64 B． C． D．变式17．（2024·辽宁·高三校联考期末）正四棱台高为2，上下底边长分别为2和4，所有顶点在同一球面上，则球的表面积为（

）A． B． C． D．变式18．（2024·贵州六盘水·高一校考阶段练习）已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为．变式19．（2024·山西晋中·高三祁县中学校考阶段练习）在正四棱锥中，，若四棱锥的体积为，则该四棱锥外接球的体积为．变式20．（2024·湖北·高三统考阶段练习）在正四棱台中，，．当该正四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．题型七：外接球之侧棱相等的棱锥模型例19．（2024·安徽安庆·校联考模拟预测）三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的表面积为．例20．（2024·江苏常州·高三华罗庚中学校考阶段练习）在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为．例21．（2024·河北承德·高一校联考阶段练习）已知三棱锥的各侧棱长均为，且，则三棱锥的外接球的表面积为.变式21．（2024·吉林长春·高一长春市解放大路学校校考期末）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，，△ABC是边长为的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，，则球O的体积为.变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知在三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为A． B． C． D．变式23．（2024·全国·高一专题练习）如图，在三棱锥中，，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．变式24．（2024·全国·高三专题练习）在四面体中，，，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C．s D．题型八：外接球之圆锥、圆柱、圆台模型例22．（2024·浙江台州·高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1，母线长为2，则该圆锥的外接球的体积为.例23．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为.例24．（2024·河北石家庄·高二校考阶段练习）一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为.变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为和，球的体积为，则该圆台的侧面积为（

）

A． B． C． D．变式26．（2024·云南·高三校联考开学考试）已知圆台的上下底面圆的半径分别为3，4，母线长为，若该圆台的上下底面圆的圆周均在球O的球面上，则球O的体积为（

）A． B． C． D．变式27．（2024·陕西西安·高一校考期中）如图所示，一个球内接圆台，已知圆台上､下底面的半径分别为3和4，球的表面积为，则该圆台的体积为（

）A． B． C． D．题型九：外接球之垂面模型例25．（2024·江西九江·高一校考期末）如图，三棱锥中，平面平面BCD，是边长为2的等边三角形，，.若A，B，C，D四点在某个球面上，则该球体的表面积为.

例26．（2024·四川乐山·高二期末）已知正边长为1，将绕旋转至，使得平面平面，则三棱锥的外接球表面积为．例27．（2024·河南平顶山·高一统考期末）在三棱锥中，平面平面，点是的中点，，则三棱锥的外接球的表面积为.变式28．（2024·江苏·高一专题练习）如图，在直三棱柱中，．设D为的中点，三棱锥的体积为，平面平面，则三棱柱外接球的表面积为．变式29．（2024·河南开封·开封高中校考模拟预测）如图,在三棱锥中,平面平面ABC,,,,为等边三角形,则三棱锥外接球的表面积为．变式30．（2024·湖北十堰·高一统考期末）如图，在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，连接，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为.

变式31．（2024·河南安阳·高一统考期末）在三棱锥中，平面平面，，且，是等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为．变式32．（2024·云南临沧·高二校考期中）如图，已知矩形中，，现沿折起，使得平面平面，连接，得到三棱锥，则其外接球的体积为．

变式33．（2024·全国·高三校联考开学考试）在三棱锥中，平面平面，底面是边长为3的正三角形，若该三棱锥外接球的表面积为，则该三棱锥体积的最大值为.变式34．（2024·四川乐山·统考三模）在三棱锥中，，平面平面ABC，则三棱锥的外接球表面积的最小值为．变式35．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）在平面四边形中，，沿对角线将折起，使平面平面，得到三棱锥，则三棱锥外接球表面积的最小值为.题型十：外接球之二面角模型例28．（2024·广东阳江·高三统考开学考试）在三棱锥中，，，二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积的最小值为（

）A． B．C． D．例29．（2024·浙江丽水·高二统考期末）在四面体PABC中，，是边长为2的等边三角形，若二面角的大小为，则四面体的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例30．（2024·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥平面，二面角的大小为.若点均在球的表面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．变式36．（2024·福建·高一福建师大附中校考期末）在四面体中，与都是边长为6的等边三角形，且二面角的大小为，则四面体外接球的表面积是（

）A．52π B．54π C．56π D．60π变式37．（2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）图1为两块大小不同的等腰直角三角形纸板组成的平面四边形ABCD，其中小三角形纸板的斜边AC与大三角形纸板的一条直角边长度相等，小三角形纸板的直角边长为a，现将小三角形纸板ACD沿着AC边折起，使得点D到达点M的位置，得到三棱锥，如图2．若二面角的大小为，则所得三棱锥M－ABC的外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．变式38．（2024·全国·高三专题练习）如图1，在中，，，，，沿将折起，使得二面角为60°，得到三棱锥，如图2，若，则三棱锥的外接球的表面积为（

）

A． B． C． D．变式39．（2024·湖南岳阳·统考三模）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，二面角的大小为，若球的表面积等于，则三棱锥的体积等于（

）A． B．C． D．变式40．（2024·全国·高一专题练习）在三棱锥中，，二面角为，则三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．题型十一：外接球之侧棱为球的直径模型例31．（2024·贵州黔东南·高二凯里一中校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为（

）A． B． C． D．例32．（2024·四川巴中·高三统考期末）已知三棱锥的体积为，，，若是其外接球的直径，则球的表面积为（

）A． B． C． D．例33．（2024·重庆九龙坡·高二重庆市育才中学校考期中）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上,为球的直径,是边长为的等边三角形,三棱锥的体积为,则球的表面积为(

)A． B． C． D．变式41．（2024·重庆·校联考一模）已知三棱锥各顶点均在球上，为球的直径，若，，三棱锥的体积为4，则球的表面积为A． B． C． D．变式42．（2024·河北唐山·统考三模）三棱锥的四个顶点都在球面上，是球的直径，，，则该球的表面积为A． B． C． D．变式43．（2024·河南南阳·统考模拟预测）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，是球的直径.若平面平面，，，三棱锥的体积为，则球的体积为A． B． C． D．变式44．（2024·福建莆田·高三统考期中）三棱锥的各顶点均在球上，为该球的直径，，三棱锥的体积为，则球的表面积为A． B． C． D．变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知三棱锥的四个顶点均在某球面上，为该球的直径，是边长为4的等边三角形，三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．变式46．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知是球的直径，是球球面上的两点，且，若三棱锥的体积为，则球的表面积为A． B． C． D．题型十二：外接球之共斜边拼接模型例34．（2022·江西·高二阶段练习（理））如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是菱形，底面ABCD，是对角线与的交点，若，，则三棱锥的外接球的体积为（

）A． B． C． D．例35．（2022·安徽·芜湖一中高二期中）已知三棱锥中，，，，，，则此三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例36．（2022·江西赣州·高二期中（理））在三棱锥中，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外球的体积为（

）A． B． C． D．变式47．在矩形中，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积为（）A．B．C．D．变式48．三棱锥中，平面平面，，，，则三棱锥的外接球的半径为题型十三：外接球之坐标法模型例37．（2024·浙江·高二校联考阶段练习）空间直角坐标系中，则四面体ABCD外接球体积是（）A． B． C． D．例38．（2024·贵州·统考模拟预测）如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2（单位：）的正方体截去四个相同的三棱锥（截面为等腰三角形）后得到.若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为例39．（2024·河南开封·开封高中校考一模）如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为.变式49．（2024·全国·高三专题练习）如图①，在中，，，D，E分别为，的中点，将沿折起到的位置，使，如图②.若F是的中点，则四面体的外接球体积是（

）A． B． C． D．变式50．（2024·湖北武汉·高一武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）期末）如图，已知四棱锥，底面是边长为3的正方形，面，，，，若，则四棱锥外接球表面积为（

）

A． B． C． D．变式51．（2024·河南郑州·模拟预测）在长方体中中，，AD＝2，M是棱的中点，过点B，M，的平面交棱AD于点N，点P为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为．变式52．（2024·湖南郴州·高二统考期末）如图，棱长为2的正方体中，E，F分别为棱､的中点，G为面对角线上一个动点，则三棱锥的外接球表面积的最小值为.变式53．（2024·广东阳江·高三阳春市第一中学阶段练习）已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则三棱锥的外接球半径的取值范围为．题型十四：外接球之空间多面体例40．（2024·全国·高三专题练习）自2015年以来，贵阳市着力建设“千园之城”，构建贴近生活、服务群众的生态公园体系，着力将“城市中的公园”升级为“公园中的城市”．截至目前，贵阳市公园数量累计达到1025个．下图为贵阳市某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个正方体截去八个一样的四面体得到的，如果被截正方体的的棱长为，则石凳所对应几何体的外接球的表面积为．例41．（2024·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图所示，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体，则该截角四面体的外接球表面积为.例42．（2024·宁夏银川·银川二中校考一模）把一个棱长都是6的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是正方形的中心）每条棱三等分，沿与正四棱锥顶点相邻的三等分点做截面，将正四棱锥截去四个小正四面体和一个小正四棱锥（如图所示），则剩下的几何体的外接球的表面积等于．变式54．（2024·山东济南·高一山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当n=4时，得到如图所示棱长均为2的“四角反棱柱”，则该“四角反棱柱”外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．题型十五：与球有关的最值问题例43．（2024·江西抚州·统考模拟预测）如图，直三棱柱中，，棱柱的侧棱足够长，点P在棱上，点在上，且，则当△的面积取最小值时，三棱锥的外接球的体积为.例44．（2024·全国·学军中学校联考二模）如图，直三棱柱中，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为.例45．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为.变式55．（2024·广东深圳·高三深圳中学校考开学考试）如图，直三棱柱中，⊥，，，点P在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为．变式56．（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考期末）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为.变式57．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考阶段练习）已知四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB＝3，则当四棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为．变式58．（2024·湖南长沙·高三宁乡一中校考阶段练习）在三棱锥中，底面，，，为的中点，若三棱锥的顶点均在球的球面上，是球上一点，且三棱锥体积的最大值是，则球的体积为.变式59．（2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测）点，，，在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则这个球的表面积为.题型十六：内切球之正方体、正棱柱模型例46．（2024·广东肇庆·高一校考阶段练习）棱长为2的正方体的内切球的球心为，则球的体积为（

）A． B． C． D．例47．（2024·河北邯郸·高一大名县第一中学校考阶段练习）已知直三棱柱存在内切球，若，则该三棱柱外接球的表面积为（

）A． B． C． D．例48．（2024·山西太原·高一校考阶段练习）已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的体积为（

）A．4 B．16 C．8 D．64变式60．（2024·全国·高一专题练习）若一个正三棱柱存在外接球与内切球，则它的外接球与内切球体积之比为（

）A． B． C． D．变式61．（2024·辽宁·高二沈阳二中校联考开学考试）在正三棱柱中，D是侧棱上一点，E是侧棱上一点，若线段的最小值是﹐且其内部存在一个内切球（与该棱柱的所有面均相切），则该棱柱的外接球表面积为（

）A． B． C． D．变式62．（2024·全国·高一专题练习）若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为（

）A． B． C． D．变式63．（2024·全国·高三专题练习）已知点O到直三棱柱各面的距离都相等，球O是直三棱柱的内切球，若球O的表面积为，的周长为4，则三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．题型十七：内切球之正四面体模型例49．（2024·高一课时练习）边长为的正四面体内切球的体积为（

）A． B． C． D．例50．（2024·全国·高三专题练习）已知正四面体的棱长为，则其内切球的表面积为（）A． B．C． D．例51．（2024·江苏·高一专题练习）正四面体的棱长为，则它的内切球与外接球的表面积之比为（

）A． B． C． D．题型十八：内切球之棱锥模型例52．（2024·安徽·高二马鞍山二中校联考阶段练习）已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（

）A． B． C． D．例53．（2024·广西·高二校联考期中）已知四棱锥的各棱长均为2，则其内切球表面积为（

）

A． B．C． D．例54．（2024·湖北武汉·高二校联考阶段练习）如图，在三棱锥中，，，若三棱锥的内切球的表面积为，则此三棱锥的体积为（

）A． B． C． D．变式64．（2024·河南濮阳·高一濮阳一高校考阶段练习）在三棱锥中，平面，且，若球在三棱锥的内部且与四个面都相切（称球为三棱锥的内切球），则球的表面积为（

）A． B． C． D．变式65．（2024·福建龙岩·统考模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体为正八面体，则该正八面体的内切球表面积为（

）A． B． C． D．变式66．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，且，则其内切球表面积为（

）A． B． C． D．题型十九：内切球之圆锥、圆台模型例55．（2024·全国·高三专题练习）在Rt中，.以斜边为旋转轴旋转一周得到一个几何体，则该几何体的内切球的体积为（

）A． B． C． D．例56．（2024·天津·统考二模）已知一个圆锥的高为，底面直径为，其内有一球与该圆锥的侧面和底面都相切，则此球的体积为（

）A． B． C． D．例57．（2024·全国·高一专题练习）已知某圆锥的母线长为2，其轴截面为直角三角形，则下列关于该圆锥的说法中错误的是（

）A．圆锥的体积为 B．圆锥的表面积为C．圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形 D．圆锥的内切球表面积为变式67．（2024·贵州贵阳·高二校考阶段练习）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（

）A． B． C． D．变式68．（2024·全国·高一专题练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为（

）A． B． C． D．变式69．（2024·安徽宣城·高二校联考开学考试）如图，正四棱台的上､下底面边长分别为分别为，的中点，8个顶点构成的十面体恰有内切球，则该内切球的表面积为（

）A． B． C． D．变式70．（2024·湖北咸宁·高二统考期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（

）

A． B． C．2 D．题型二十：棱切球之正方体、正棱柱模型例58．（2024·山东菏泽·高一山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）已知球与一正方体的各条棱相切，同时该正方体内接于球，则球与球的表面积之比为（

）A．2：3 B．3：2 C． D．例59．（2024·全国·高三专题练习）已知正三棱柱的体积为18，若存在球O与三棱柱的各棱均相切，则球O的表面积为（

）A． B． C． D．例60．（2024·全国·高三专题练习）已知球与棱长为的正方体的各条棱都相切，则球内接圆柱的侧面积的最大值为（

）A． B． C． D．变式71．（吉林省吉林市2024届高三第四次数学（理）调研试题）已知正三棱柱(底面为正三角形且侧棱与底面垂直)，它的底面边长为2，若存在一个球与此正三棱柱的所有棱都相切，则此正三棱柱的侧棱长为.变式72．（福建省三明市2024届高三上学期期末质量检测数学试题）已知直三棱柱的侧棱长为，底面为等边三角形.若球O与该三棱柱的各条棱都相切，则球O的体积为.变式73．已知正三棱柱，若有一半径为4的球与正三棱柱的各条棱均相切，则正三棱柱的侧棱长为.变式74．（广东省茂名市五校联盟2024届高三上学期第二次联考数学试题）已知正三棱柱的高等于1.一个球与该正三棱柱的所有棱都相切，则该球的体积为（

）A． B． C． D．题型二十一：棱切球之正四面体模型例61．（2024·全国·高一期中）已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（

）A． B． C． D．例62．（2024·陕西西安·高一校联考期中）所有棱长均相等的三棱锥构成一个正四面体，则该正四面体的内切球与外接球的体积之比为（

）A． B． C． D．例63．（2024·江西南昌·高二进贤县第一中学校考期中）球与棱长为的正四面体各条棱都相切，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．变式75．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知球的表面积为，若球与正四面体的六条棱均相切，则此四面体的体积为（

）A．9 B． C． D．变式76．（2024·全国·高三专题练习）正四面体P-ABC的棱长为4，若球O与正四面体的每一条棱都相切，则球O的表面积为（

）A．2π B．8π C． D．12π题型二十二