高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第二册)高一下册数学期中模拟卷(第六章至第八章8.3)(原卷版+解析)

高一下册数学期中模拟卷（人教A版（2019）必修第二册第六章至第八章8.3）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（

）A．2 B． C． D．2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A． B．1 C． D．3．已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．4．如图，一辆汽车从点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在点南偏东方向距点500千米且与海岸距离为300千米的海上处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少以下哪个速度行驶，才能把物品递送到司机手中.（

）A．40 B．50 C．60 D．705．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C．6 D．6．在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（

）A． B． C． D．47．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．8．已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（

）A． B． C． D．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．下列说法不正确的是（

）A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台B．绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥C．用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱10．若是关于的方程的一个复数根，则（

）A．B．C．的共轭复数为D．，在复平面内对应的两点之间的距离为11．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（

）A．4 B．5 C．7 D．1012．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（

）A．为定值B．的取值范围是C．当时，为定值D．时，的最大值为12三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．14．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______．15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.16．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（1）已知，a，b为实数．若，求；（2）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合．18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC的面积．19．如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．20．如图，在平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且．(1)以，为基底表示向量与；(2)若，，，求与的夹角．21．如图，某小区有一块空地，其中AB=50，AC=50，∠BAC=90°，小区物业拟在中间挖一个小池塘，E，F在边BC上（E，F不与B，C重合，且E在B，F之间），且.(1)若，求EF的值；(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得的面积取得最小值，并求出面积的最小值.22．已知的内角的对边分别为，其面积为，且(1)求角A的大小；(2)若的平分线交边于点，求的长.高一下册数学期中模拟卷（人教A版（2019）必修第二册第六章至第八章8.3）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的运算得，再由共轭复数定义得即可解决.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个平面图形的面积是（）A． B．1 C． D．【答案】A【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得．【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边，∴，∴，∴原平面图形的面积是.故选：A．3．已知向量，，且，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量平行的坐标表示求参数，再应用向量线性运算的坐标表示求的坐标.【详解】由题设，故，则.故选：C4．如图，一辆汽车从点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在点南偏东方向距点500千米且与海岸距离为300千米的海上处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少以下哪个速度行驶，才能把物品递送到司机手中.（

）A．40 B．50 C．60 D．70【答案】C【分析】题目中用了“至少速度”的字样，表示在M处的快艇到达ON路上的用时要比汽车少或者等于汽车的用时，据此原则，运用余弦定理构造方程求解.【详解】设快艇从处以千米/时的速度出发，沿方向航行，小时后与汽车相遇（即快艇最慢的速度）.在中，，，，设，由题意，知，则，由余弦定理，知，即，整理，得，当，即时，，所以，即快艇至少须以60千米/时的速度行驶，故选：C.5．如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）A． B． C．6 D．【答案】B【分析】画出圆锥的侧面展开图，则蚂蚁爬行的最短距离为，在中，解三角形即可.【详解】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点的最短距离为，设，圆锥底面周长为，所以，所以，在中，由，得故选：B．6．在中，，点D为边BC上靠近B的三等分点，则的值为（

）A． B． C． D．4【答案】B【分析】利用、表示向量、，利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.【详解】如下图所示：，由平面向量数量积的定义可得，因此，.故选：B.7．已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由向量模与夹角的公式得，进而结合向量的夹角范围求解即可.【详解】因为是单位向量，且的夹角为，所以，又，所以，又，所以，所以.故选：C.8．已知某棱长为的正四面体的各条棱都与同一球面相切，则该球与此正四面体的体积之比为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】将正四面体放置于棱长为2的正方体中，则所求的球即为正方体的内切球，进而再计算体积求解即可.【详解】解：如图，正方体中，棱长为，所以，四面体是棱长为的正四面体，当正四面体的各条棱都与同一球面相切时，该球为正方体的内切球，半径为，所以，该球的体积为，因为正四面体的体积为，所以，该球与此正四面体的体积之比为.故选：A选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得09．下列说法不正确的是（

）A．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台B．绕直角三角形任一边旋转所得几何体为圆锥C．用任何一个平面截球面，得到的截面都是圆D．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱【答案】BD【分析】根据空间几何体的结构特征判断即可.【详解】AC选项根据圆锥、圆台、球的结构特征即可得到是正确的；B选项需要绕直角三角形的直角边旋转得到的才是圆锥，故B错；D选项有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱，如下图：故选：BD.10．若是关于的方程的一个复数根，则（

）A．B．C．的共轭复数为D．，在复平面内对应的两点之间的距离为【答案】BCD【分析】根据条件求出a和b，再根据复数的有关定义逐项分析.【详解】由题意得，得，解得；A选项错误，B选项正确；的共轭复数为，C选项正确；，在复平面内对应的两点之间的距离为，D选项正确；故选：BCD.11．在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（

）A．4 B．5 C．7 D．10【答案】BC【分析】由题意画出图形，可知，求出的范围，根据选项，得出结果即可.【详解】解：如图：要使有两个解，则，即，解得：，故选：BC12．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是（

）A．为定值B．的取值范围是C．当时，为定值D．时，的最大值为12【答案】ACD【分析】根据所给定义可判断A，利用数量积的运算律和向量的加法运算可判断B，利用数量积的运算律和所给定义可判断C，利用基本不等式可判断D.【详解】如图，设直线PO与圆O于E，F．则，故A正确．取AC的中点为M，连接OM，则，而故的取值范围是故B错误；当时，，故C正确．当时，圆O半径取AC中点为，中点为，则，最后等号成立是因为，不等式等号成立当且仅当，故D正确．故选:ACD.三．填空题本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________．【答案】【分析】根据投影向量的定义求解.【详解】因为，，所以向量在方向的投影向量为.故答案为：14．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______．【答案】【分析】先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可.【详解】接下来的一个扇形半径为，故围成的圆锥母线长为，因为扇形的圆心角为90°，所以其弧长为，也即底面圆周长，所以底面圆半径为，则圆锥的高为，所以圆锥的体积为故答案为：+15．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.【答案】【分析】根据正弦定理边角互化，计算求值.【详解】根据正弦定理可知，，所以，而，所以.故答案为：16．根据祖暅原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．如图1所示，一个容器是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两个容器的容积相等．若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同．如图2，一个圆柱形容器的底面半径为，高为，里面注入高为的水，将一个半径为的实心球缓慢放入容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为______．（注：）【答案】【分析】根据祖暅原理，建立体积等量关系，代入体积运算公式求解即可.【详解】设铁球沉到容器底端时，水面的高度为h，由图2知，容器内水的体积加上球在水面下的部分体积等于圆柱的体积，由图1知相应圆台的体积加上球在水面下的部分体积也等于圆柱的体积，故容器内水的体积等于相应圆台的体积，因为容器内水的体积为，相应圆台的体积为，所以，解得，故答案为：四．解答题：本题共6小题，17题10分，剩下每题12分。共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（1）已知，a，b为实数．若，求；（2）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数m的集合．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据复数的四则运算化简复数，由模长公式即可求解，（2）根据第一象限对应点的坐标特征，列不等式即可求解.【详解】（1），所以，（2）由题意可知，由于对应的点在第一象限，所以满足，解得故实数m的集合是18．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）将条件整理然后代入余弦定理计算即可；（2）先利用正弦定理将角化边，然后结合条件求出，再利用三角形的面积公式求解即可.【详解】（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.19．如图，已知正三棱锥S﹣ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO＝1．(1)求正三棱锥S﹣ABC的体积；(2)求正三棱锥S﹣ABC表面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．【详解】（1）在正三棱锥S﹣ABC中，,所以.（2）连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，如图所示，所以，在直角三角形SOE中，，在△ABS中，SA＝SB，所以SE⊥AB，所以，则表面积为：．20．如图，在平行四边形ABCD中，，，H，M分别是AD，DC的中点，F为BC上一点，且．(1)以，为基底表示向量与；(2)若，，，求与的夹角．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据图形和平面向量的线性运算即可求解；（2）由（1）得，进而，结合平面数量积