2024秋高中数学章末评估验收二第二章随机变量及其分布达标练习含解析新人教A版选修2-3

PAGE1-章末评估验收(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．已知随机变量ξ听从正态分布N(0，σ2)，P(ξ＞2)＝0.023，则P(－2≤ξ≤2)＝()A．0.477 B．0.628C．0.954 D．0.977解析：因为P(ξ＞2)＝0.023，所以P(ξ＜－2)＝0.023，故P(－2≤ξ≤2)＝1－P(ξ＞2)－P(ξ＜－2)＝0.954，故选C.答案：C2.荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去(每次跳动时，均从一叶跳到另一叶)，而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跑的概率的两倍，如图所示．假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,9) D.eq\f(8,27)解析：青蛙跳三次要回到A只有两条途径：第一条：按A→B→C，P1＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)；其次条，按A→C→B，P2＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,27).所以跳三次之后停在A叶上的概率为P＝P1＋P2＝eq\f(8,27)＋eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).答案：A3．已知离散型随机变量ξ的概率分布列如下：ξ135P0.5m0.2则数学期望E(ξ)等于()A．1B．0.6C．2＋3mD．2.4解析：由题意得m＝1－0.5－0.2＝0.3，所以E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，故选D.答案：D4．某同学通过计算机测试的概率为eq\f(1,3)，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9) C.eq\f(4,27) D.eq\f(2,27)解析：连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为P＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9).答案：A5．已知随机变量X的方差D(X)＝m，设Y＝3X＋2，则D(Y)＝()A．9m B．3m C．m D．3m＋2解析：因为D(X)＝m，所以D(Y)＝D(3X＋2)＝32D(X)＝9D(X)＝9m.答案：A6．若某校探讨性学习小组共6人，安排同时参观某科普展，该科普展共有甲、乙、丙三个展厅，6人各自随机地确定参观依次，在每个展厅参观一小时后去其他展厅，全部展厅参观结束后集合返回，设事务A为：在参观的第一个小时时间内，甲、乙、丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人；事务B为：在参观的第一个小时时间内，该小组在甲展厅人数恰好为2人．则P(A|B)＝()A.eq\f(3,8) B.eq\f(1,8) C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,16)解析：由题意，A发生即甲，乙，丙三个展厅恰好分别有该小组的2个人的状况数有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90种；B发生，共有Ceq\o\al(2,6)·24＝240，P(A|B)＝eq\f(90,240)＝eq\f(3,8).答案：A7．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为eq\f(4,5)，乙及格的概率为eq\f(3,5)，丙及格的概率为eq\f(7,10)，三人各答一次，则三人中只有一人及格的概率为()A.eq\f(3,20) B.eq\f(42,135) C.eq\f(47,250) D．以上都不对解析：利用相互独立事务同时发生及互斥事务有一个发生的概率公式可得所求概率为eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,10)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))×eq\f(7,10)＝eq\f(47,250).答案：C8．若随机变量X听从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，则该随机变量的方差等于()A．10 B．100 C.eq\f(2,π) D.eq\r(\f(2,π))解析：由正态分布密度曲线上的最高点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))知eq\f(1,\r(2π)·σ)＝eq\f(1,2)，所以σ＝eq\f(\r(2),\r(π))，所以D(X)＝σ2＝eq\f(2,π).答案：C9．某班有14名学生数学成果优秀，假如从该班随机找出5名学生，那么其中数学成果优秀的学生数X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,4)))，则E(2X＋1)等于()A.eq\f(5,4) B.eq\f(5,2) C．3 D.eq\f(7,2)解析：因为X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,4)))，所以E(X)＝eq\f(5,4)，则E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2×eq\f(5,4)＋1＝eq\f(7,2).答案：D10．一批型号相同的产品，有2件次品，5件正品，每次抽一件测试，将2件次品全部区分出后停止，假定抽后不放回，则第5次测试后停止的概率是()A.eq\f(1,21) B.eq\f(5,21) C.eq\f(10,21) D.eq\f(20,21)解析：P＝eq\f(2,7)×eq\f(5,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(5,7)×eq\f(2,6)×eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(5,7)×eq\f(4,6)×eq\f(2,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(5,7)×eq\f(4,6)×eq\f(3,5)×eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(5,7)×eq\f(4,6)×eq\f(3,5)×eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(5,21).答案：B11．已知随机变量ξ听从正态分布N(2，σ2)，P(ξ≤4)＝0.84，则P(ξ＜0)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84解析：因为P(ξ≤4)＝0.84，μ＝2，所以P(ξ＜0)＝P(ξ＞4)＝1－0.84＝0.16.故选A.答案：A12．某次国际象棋竞赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员竞赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为c(a，b，c∈[0，1))，已知他竞赛一局得分的数学期望为1，则ab的最大值为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2) C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)解析：由条件知，3a＋b＝1，所以ab＝eq\f(1,3)(3a)·b≤eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3a＋b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,12)，等号在3a＝b＝eq\f(1,2)，即a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,2)时成立．答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．邮局工作人员整理邮件，从一个信箱中任取一封信，记一封信的质量为X(单位：克)，假如P(X<10)＝0.3，P(10≤X≤30)＝0.4，那么P(X>30)等于________．解析：依据随机变量的概率分布的性质，可知P(X<10)＋P(10≤X≤30)＋P(X>30)＝1，故P(X>30)＝1－0.3－0.4＝0.3.答案：0.314．黔东南州雷山西江千户苗寨，是目前中国乃至全世界最大的苗族聚居村寨，每年来自世界各地的游客川流不息．假设每天到西江苗寨的游客人数ξ是听从正态分布N(2000，10000)的随机变量．则每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为________．解析：因为听从正态分布N(μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率为0.6826，随机变量ξ听从正态分布N(2000，1002)，所以每天到西江苗寨的游客人数超过2100的概率为eq\f(1,2)×(1－0.6826)＝0.1587.答案：0.158715．一盒子中装有4只产品，其中3只一等品，1只二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样．设事务A为“第一次取到的是一等品”，事务B为“其次次取到的是一等品”，则P(B|A)＝________．解析：由条件知，P(A)＝eq\f(3,4)，P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,4))＝eq\f(1,2)，所以P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)16．某次学问竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．解析：此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，说明此选手第2个问题回答错误，第3、第4个问题均回答正确，第1个问题答对答错都可以．因为每个问题的回答结果相互独立，故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.答案：0.128三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某一射手射击所得环数X的分布列如下：X45678910P0.020.040.060.09m0.290.22(1)求m的值；(2)求此射手“射击一次命中的环数≥7”的概率．解：(1)由分布列的性质得m＝1－(0.02＋0.04＋0.06＋0.09＋0.29＋0.22)＝0.28.(2)P(射击一次命中的环数≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.18．(本小题满分12分)(2024·天津卷改编)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采纳分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠足够，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查．用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望．解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采纳分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)随机变量X的全部可能取值为0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,4)·Ceq\o\al(3－k,3),Ceq\o\al(3,7))(k＝0，1，2，3)．所以，随机变量X的分布列为：X0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)随机变量X的数学期望E(X)＝0×eq\f(1,35)＋1×eq\f(12,35)＋2×eq\f(18,35)＋3×eq\f(4,35)＝eq\f(12,7).19．(本小题满分12分)某校从学生会宣扬部6名成员(其中男生4人，女生2人)中，任选3人参与某省举办的“我看中国改革开放三十年”演讲竞赛活动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列；(2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事务A，“女生乙被选中”为事务B，求P(B)和P(B|A)．解：(1)ξ的全部可能取值为0，1，2，依题意得P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(1,5).所以ξ的分布列为：ξ012Peq\f(1,5)eq\f(3,5)eq\f(1,5)(2)设“甲、乙都不被选中”为事务C，则P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(4,20)＝eq\f(1,5).所以所求概率为P(C)＝1－P(C)＝1－eq\f(1,5)＝eq\f(4,5).(3)P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,6))＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)；P(B|A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).20．(本小题满分12分)某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用ξ表示，据统计，随机变量ξ的分布列如下表：ξ0123P0.10.32aa(1)求a的值和ξ的均值．(2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率．解：(1)由分布列的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2，所以ξ的分布列为：ξ0123P0.10.30.40.2所以E(ξ)＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7.(2)设事务A表示“两个月内共被投诉2次”；事务A1表示“两个月内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事务A2表示“两个月均被投诉1次”．则由事务的独立性得P(A1)＝Ceq\o\al(1,2)P(ξ＝2)P(ξ＝0)＝2×0.4×0.1＝0.08，P(A2)＝[P(ξ＝1)]2＝0.32＝0.09.所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17.故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17.21．(本小题满分12分)甲、乙两射击运动员进行射击竞赛，射击相同的次数，已知两运动员射击的环数X稳定在7，8，9，10环．他们的这次成果画成频率分布直方图分别如图1和图2所示：(1)依据这次竞赛的成果频率分布直方图推断乙击中8环的概率P(X乙＝8)，并求甲、乙同时击中9环以上(包括9环)的概率；(2)依据这次竞赛的成果估计甲、乙谁的水平更高．解：(1)由題图2可知：P(X乙＝7)＝0.2，P(X乙＝9)＝0.2，P(X乙＝10)＝0.35.所以P(X乙＝8)＝1－0.2－0.2－0.35＝0.25.同理P(X甲＝7)＝0.2，P(X甲＝8)＝0.15，P(X甲＝9)＝0.3.所以P(X甲＝10)＝1－0.2－0.15－0.3＝0.35.因为P(X甲≥9)＝0.3＋0.35＝0.65，P(X乙≥9)＝0.2＋0.35＝0.55.所以甲、乙同时击中9环以上(包含9环)的概率为P＝P(X甲≥9)