《工程数学》教案 高教 王洋 第1章 行列式与矩阵

教案本

（一学年第2学期）

课程名称：工程数学

课程代码：

授课学时：64

授课班级：

授课教师：

教研室：

年月曰

课程学期课表

节次星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日

第一

二节

上

午

第三

四节

第五

六节

下

午

第七

八节

晚

上

教学进程第2周——第17周

检查记录

填写说明：课程学期课表只填该课程本期的授课班级、教学地点

教学设计

授课课题（学习情境/

二阶、三阶行列式

任务/项目/单元

授课时间第2周（1）课型理论课

教学

掌握用对角线法则计算二阶和三阶行列式

目标

教学重点二阶和三阶行列式的计算

教学难点二阶和三阶行列式的计算

教学准备（环境、资源、

多媒体

条件等）

导学过程设计

教学组

教师活动学生活动织与方时间

法

一.二阶与三阶行列式参与互动PPT展示

行列式的概念起源于解线性方程组,它是从二元与三元思考、联想40

戋性方程组的解的公式引出来的.因此我们首先讨论解方程做出选择讲授

且的问题.聆听、参考

殳有二元线性方程组别人意见

anxr+anxx=b]

+〃22%2=b[（]）

J可加减消元法容易求出未知量xl,x2的值，当alla22-

112a21W0时，有

_b&z_%2b2

一

_%也.

X2一

11。22—。12。21⑵

文就是一般二元线性方程组的公式解.但这个公式很不好记

1乙，应用时不方便，因此，我们引进新的符号来表示⑵这

「结果，这就是行列式的起源.我们称4个数组成的符号

21

“21。22

为二阶行列式.它含有两行，两列.横的叫行，纵的叫列.行

列式中的数叫做行列式的元素.从上式知，二阶行列式是这

样两项的代数和：一个是从左上角到右下角的对角线(又叫

行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一个是

从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的

乘积，取负号.

根据定义，容易得知(2)中的两个分子可分别写成

〃12bi

Z?]〃22Cl]2b2=6Z|—=

%a22

aua\2之

D=J12D2=

Dx=

如果记“2122，b?a??9。21b2

则当DWO时，方程组(1)的解⑵可以表示成

bxanbi

Z?2々22〃2i

X-2一_xb?

—2——

D2Dd-yj’^12

。21^^22々2ia22

象这样用行列式来表示解，形式简便整齐，便于记忆.

首先(3)中分母的行列式是从(1)式中的系数按其原有的

相对位置而排成的.分子中的行列式，xl的分子是把系数

行列式中的第1列换成⑴的常数项得到的，而x2的分子则

是把系数行列式的第2列换成常数项而得到的.

例1用二阶行列式解线性方程组

2再+4%=1

%1+3X2=2

24

D==2x3—4x1=2wO

解：这时13

14八21

。==1x3—4x2=—5D==2x2—1x1=3

1232212练习

因此，方程组的解是

D,-5D3

X,----------Xr.----2-———

D2,D2,

对于三元一次线性方程组

anxx+anx2+6Z13X3=bx

＜。21%1+〃22%2+〃23%3—b?

。31%1+〃32%2+〃33%3=

(4)

作类似的讨论，我们引入三阶行列式的概念.我们称符号

为1a12a13

a2\〃22a23=22a33+%2a23a31+%3a21a32

〃31a32a33一"11〃23a32-112〃21〃33一〃13〃22〃31

(5)

为三阶行列式，它有三行三列，是六项的代数和.这六项的聆听

和也可用对角线法则来记忆：从左上角到右下角三个元素的

乘积取正号，从右上角到左下角三个元素的乘积取负号.

212

-431

例2235

=2x3x5+lxlx2+(-4)x3x2-2x3x2-lx(-4)x5-2x3xl=

=30+2-24-12+20-6=10

an々12ai3

D=

々21

令a3\。32a33

bi%2〃]]b]%3

。13

D2=a21"2〃23

2=02。22〃23

3a32

的3。31”3“33

a

11。12向

D3=

a2122

b

a311323

当DWO时，(4)的解可简单地表示成

2

x-2%2=

J,D，D(6)

它的结构与前面二元一次方程组的解类似.

例3解线性方程组

211-X2+%3二0

<3%+2X2-5X3=1

+3X-2X二4

23练习

0-11

2-11

D=

D=32-5=28\12-5=13

43-2

解：13-2

2012-10

3=47D=321=21

。2=1-53

14-2134

D,13D247D3213

所以，1D28,2Z）28,3D284.

abQ

-ba0=0

例4已知101，问a,b应满足什么条件？（其中

a,b均为实数）.

ab0

—ba0—

解：1°1，若要a2+b2=0,则a与b须同时等

于零.因此，当a=0且b=0时给定行列式等于零.

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式,我们需要引入80

〃阶行列式的概念，为此，先介绍排列的有关知识.

二.排列

在〃阶行列式的定义中，要用到排列的某些知识，为此先介

绍排列的一些基本知识.

定义1由数码1,2,…，〃组成一个有序数组称为一个〃

级排列.

例如，1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而聆听

52341是一个5级排列.由数码1,2,3组成的所有3级排

列为：123,132,213,231,312,321共有3!=6个.

数字由小到大的〃级排列1234-/7称为自然序排列.

定义2在一个〃级排列，也…工中，如果有较大的数it排

在较小的数北的前面（九则称九与。构成一个逆序，

一个〃级排列中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记作

例如，在4级排列3412中，31,32,41,42,各构成一

个逆序数，所以，排列3412的逆序数为M3412）=4.同样

可计算排列52341的逆序数为M52341）=7.

容易看出，自然序排列的逆序数为0.

定义3如果排列，也…力的逆序数也…是奇数,则

称此排列为奇排列，逆序数是偶数的排列则称为偶排列.

例如，排列3412是偶排列.排列52341是奇排列.自然排

列123…〃是偶排列.

定义4在一个〃级排列，1…九…，中,如果其中某两

个数，与九对调位置，其余各数位置不变，就得到另一个

新的〃级排列…乙…，…，，这样的变换称为一个对换，

记作（工，i）.

如在排列3412中，将4与2对换,得到新的排列3214.并

且我们看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇

排列3214.反之，也可以说奇排列3214经过2与4的对

换后，变成了偶排列3412.

一般地，有以下定理：

定理1任一排列经过一次对换后，其奇偶性改变.

证明：首先讨论对换相邻两个数的情况，该排列为：

a、a「aiij&金…AQQ…c”

将相邻两个数i与J,作一次对换，则排列变为

3132',,a；jibi从…bmCiCz…a

显然对数囱，a2,•••a；,bx,b,…，4和eg…来说，并

不改变它们的逆序数.但当时，经过，与/的对换后，

排列的逆序数增加1个；当力/时，经过z.与/的对换后，

排列的逆序数减少1个.所以对换相邻两数后，排列改变了

奇偶性.

再讨论一般情况，设排列为

3132-a；i从也…hJc\C2…e®

将/与/作一次对换，则排列变为

3132,a；jbibi--'bJCiCz…金

这就是对换不相邻的两个数的情况.但它可以看成是先将i

与打对换，再与金对换，…，最后与4的对换，即，与它

后面的数作〃次相邻两数的对换变成排列

a#2…aibb…bdja…&

然后将数/与它前面的数人友…，4作研1次相邻两数的

对换而成.而对换不相邻的数，与负中间有必个数），相当

于作2研1次相邻两数的对换.由前面的证明知，排列的奇

偶性改变了2加1次，而2加1为奇数，因此，不相邻的两数

i,J.经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同.

定理2在所有的〃级排列中SN2）,奇排列与偶排列的个

n\

数相等，各为万个.

证明：设在〃!个〃级排列中，奇排列共有0个，偶排列共

有g个.对这夕个奇排列施以同一个对换，如都对换（1,2）,

则由定理1知0个奇排列全部变为偶排列，由于偶排列一共

只有g个，所以oWg；同理将全部的偶排列施以同一对换

（1,2）,则g个偶排列全部变为奇排列，于是又有

所以g=°,即奇排列与偶排列的个数相等.

nl

Cl—T）—

又由于〃级排列共有制个，所以g+p=〃!，2.

定理3任一n级排列z.5…工都可通过一系列对换与n级

自然序排列12-/7互变,且所作对换的次数与这个n级排列

有相同的奇偶性.

证明：对排列的级数用数学归纳法证之.

对于2级排列，结论显然成立.

假设对级排列，结论成立，现在证明对于〃级排列，

结论也成立.

若工=〃，则根据归纳假设，色…z…是〃-1级排列，可经过

一系列对换变成12…（77-1）,于是这一系列对换就把1x12'''

，变成12…〃.若i/n,则先施行，与〃的对换，使之变

成i；i；…T…,这就归结成上面的情形.相仿地，12-

〃也可经过一系列对换变成i\i厂,%因此结论成立.

因为12…A是偶排列，由定理1可知，当了也…工是奇（偶）

排列时，必须施行奇(偶)数次对换方能变成偶排列，所以，

所施行对换的次数与排列，也…，具有相同的奇偶性.

思考题：

1.决定3J,的值，使

(1)1245/6力7为奇排列；

(2)3972只5%为偶排列.

2.排列〃(A-1)5-2)…321经过多少次相邻两数对换变

成自然顺序排列？

ab

D=22=0

3.当a、5为何值时，行列式°b.

课后作业课后习题

学生在本次教学、实

训中主要存在的问题

填写说明：导学过程设计可参考“课程导入、学习目标、课前测试、交互式学习、课后测

试、小结的六步教学法进行。

授课课题(学习情境/任务/项

n阶行列式、行列式的性质

目/单元

授课时间第2周(2)课型理论课

教学

标

目掌握n阶行列式的定义及其行列式的性质

教学重点行列式的计算

教学难点n阶行列式的定义

教学准备(环境、资源、条件

多媒体

等)

导学过程设计

教学组

教师活动学生活动织与方时间

法

n阶行列式：PPT展示

参与互动

一.导课10

思考、联想

本节我们从观察二阶、三阶行列式的特征入手.引出〃阶行讲授

做出选择

列式的定义.

聆听、参考

已知二阶与三阶行列式分别为

别人意见

CLy।Cl-y2

^^21^^22

]^Z]2^^13

^^21^^22^^23^^331'^^13^^21^^32

〃31〃32Q3323a322a21〃33^13^22^31

其中元素a,.,的第一个下标，表示这个元素位于第，行，称为

行标，第二个下标j,表示此元素位于第/列，称为列标.40

二.行列式的定义

我们可以从中发现以下规律：

(1)二阶行列式是2!项的代数和，三阶行列式是3!项的代

数和；

(2)二阶行列式中每一项是两个元素的乘积，它们分别取自

不同的行和不同的列，三阶行列式中的每一项是三个元素的

乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；

(3)每一项的符号是：当这一项中元素的行标是按自然序排

列时，如果元素的列标为偶排列，则取正号；为奇排列，则

取负号.

作为二、三阶行列式的推广我们给出〃阶行列式的定义.

定义1由排成〃行〃列的“2个元素(，，户1,2,…，z?)

组成的符号

a

a\1"12…\n

。21〃22…。2n

an\an2ann

称为A阶行列式.它是〃!项的代数和，每一项是取自不同行

和不同列的〃个元素的乘积，各项的符号是：每一项中各元

素的行标排成自然序排列，如果列标的排列为偶排列时，则

取正号；为奇排列，则取负号.于是得

a\\an…a\n

〃21。22…a2n

..........y

。疝an2a1m=念j(-1)N5—%网方…a%

(1)

z一

其中JS…J"表不对所有的〃级排列J1J2…求和.

(1)式称为n阶行列式按行标自然顺序排列的展开

式.(一1严"…。矶称为行列式的一般项.

当〃=2、3时，这样定义的二阶、三阶行列式与上面§1.1中

用对角线法则定义的是一致的.当炉1时，一阶行列为|加1=

311.如

Q]]。12。13。14

a2]^^22^^23^^24

。31〃32。33。34

当炉4时，4阶行列式为1042043%4

表示4!=24项的代数和，因为取自不同行、不同列4个元素

的乘积恰为4!项.根据〃阶行列式的定义，4阶行列式为

Cl-y।j2^^13^^14

^^21^^22^^23^^24

“31〃32〃33〃34—十/

〃〃2JT)%—4

%]%2〃43%4J1J2--J4

例如血&3&西2行标排列为1234,元素取自不同的行;列标排

列为4312,元素取自不同的列，因为M4312)=5,所以该项

取负号，即-a4a23a31a«是上述行列式中的一项.

为了熟悉〃阶行列式的定义，我们来看下面几个问题.

例1在5阶行列式中，囱2a23a35&1a4这一项应取什么符号？

解：这一项各元素的行标是按自然顺序排列的，而列标的排

列为23514.

因M23514)=4,故这一项应取正号.

例2写出4阶行列式中，带负号且包含因子囱同3的项.

解：包含因子a“a23项的一般形式为

(T严”内g%%3a4%

按定义，工可取2或4,工可取4或2,因此包含因子囱血3的

项只能是

a11a23a32aM或a”a23a34a奖

但因Ml324)=1为奇数

M1342)=2为偶数

所以此项只能是-311323332344-

例3计算行列式

a1>00

cd00

xye于

uvgh

解.这是一个四阶行列式，按行列式的定义，它应有4!=24

项.但只有以下四项

adeh,adfg,bceh,bcfg

不为零.与这四项相对应得列标的4级排列分别为1234,1243,

2134和2143,而Ml234A0,M1243)=l,"(2134)=1和

M2143)=2,所以第一项和第四项应取正号，第二项和第三项

应取负号，即

ab00

cd00

xye/

11vg'，=adeh-adfg-bceh^bcfg

例4计算上三角形行列式

a\\"12…a\n

D_°a22…a2n

oo•••a1m

其中关0(7=1,2,•••,ri).

解：由〃阶行列式的定义，应有〃!项，其一般项为

"iMl/a?刀i2an”J：n

但由于。中有许多元素为零，只需求出上述一切项中不为零

的项即可.在〃中，第A行元素除碗外，其余均为0.所以

j”,在第1行中，除a"-"一和外，其余元素都是零，

因而只取〃-1、〃这两个可能，又由于与、位于同

一列，而所以只有这样逐步往上推，不

难看出，在展开式中只有囱血2…a“一项不等于零.而这项的

列标所组成的排列的逆序数是M12…〃)=0故取正号.因此，

由行列式的定义有

“11°12…a1n

0々22…a2n

u=

OO…=ana22---a,m

即上三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积.

同理可求得下三角形行列式

/10,•,0

〃21〃22***0

册，…ann=加侬…

特别地，对角形行列式

%]0…0

0g2…0

°°…=a11a22---a„„

上(下)三角形行列式及对角形行列式的值，均等于主对角线

上元素的乘积.

例5计算行列式

00­••0a1n

oo*o

“疝0-00

解这个行列式除了当他……这一项外，其余项均为零，

现在来看这一项的符号，列标的〃级排列为〃(〃-1)-21,

n-(n-l)

MLS—].)…21)=(77-1)+(刀一2)+…+2+1=2,所以

00...0%

0°…a2n-l°

n(n-l)

°…00=(-1)2•••«„1

同理可计算出

ailai2...........°•1,°ain

a2la22…02"-10||°…“2"-1ain

..............,,,..........…

000=41…a吁1am=

n(n-l')

(-1)2…%1

由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同的行不同

的列的〃个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行（列）

的元素全为0,则该行列式等于0.

在〃阶行列式中，为了决定每一项的正负号，我们把〃个元

素的行标排成自然序排列,即事实上，数的乘

法是满足交换律的，因而这〃个元素的次序是可以任意写的，

一般地，〃阶行列式的项可以写成

i/4-）\

hJl11J1lnJn（2）

其中】S…2",Ji质…”是两个〃阶排列，它的符号由下面的

定理来决定.

定理1〃阶行列式的一般项可以写成

（_］）阳桃"”）+阳府乜）..

u

（“与产匕八ijn（3）

其中iiiz…%J；耳…工都是〃级排列.

证明：若根据〃阶行列式的定义来决定⑵的符号，就要把这

〃个元素重新排一下，使得它们的行标成自然顺序，也就是排

成

aaa

lJi2j2'---nj„'（4）

于是它的符号是㈠严―

现在来证明⑴与⑶是一致的.我们知道从⑵变到⑷可经

过一系列元素的对换来实现.每作一次对换，元素的行标与

列标所组成的排列，也…工，工员…）；就同时作一次对换，也就

是也…工）与Nkj\jLj）同时改变奇偶性，因而它的和

Mii12-i^）+N（j、jz…j）

的奇偶性不改变.这就是说，对（2）作一次元素的对换不改变

（3）的值，因此在一系列对换之后有

（一1）N⑺2-iJ+Nkhh-J„）=（_DN（12…"）+N（*'上',••"）=（—l）N5'h'­•-；„'）

这就证明了⑴与⑶是一致的.

例如，a21a32al4a«3是4阶行列式中一项，它和符号应为（-

1严"4"也（一I），*工-1.如按行标排成自然顺序，就是

加的a32a43,因而它的符号是（-1）"⑷劫=（-1”=-1

同样，由数的乘法的交换律，我们也可以把行列式的一般项

%产2丁"%中元素的列标排成自然顺序123…〃,而此时相应

的行标的〃级排列为i盘…",则行列式定义又可叙述为

“11%2…a\n

仁物•••&"=£（_1了（衿&）…

n

'41，22ln

...............不2・此

〃山a〃2…

行列式的性质：

一.导课

当行列式的阶数较高时，直接根据定义计算n阶行列式的值

是困难的，本节将介绍行列式的性质，以便用这些性质把复

杂的行列式转化为较简单的行列式（如上三角形行列式等）来

计算.

将行列式。的行列互换后得到的行列式称为行列式。的转置

行列式，记作〃，即若

42…a\na21…anl

°21&2…a2n°12々22…22

D=DT=

an\a〃2…ami,则a\na2n…ann

反之，行列式。也是行列式加的转置行列式，即行列式。与

行列式加互为转置行列式.

二.行列式的性质

性质1行列式。与它的转置行列式〃的值相等.

证：行列式。中的元素助G,户1,2,…，〃）在加中位于

第/行第，列上，也就是说它的行标是j,列标是i,因此,80

将行列式加按列自然序排列展开，得

这正是行列式。按行自然序排列的展开式.所以了〃.

这一性质表明，行列式中的行、列的地位是对称的，即对于

“行”成立的性质，对“列”也同样成立，反之亦然.

性质2交换行列式的两行（列），行列式变号.

证：设行列式

a\\ana\n

%ai2a加a行）

D=

a

见2•••snG行）

aa

nln2a1m

将第，行与第s行互换后，得到行列式

a\\an%.

aslas2asna行）

%ai2•••a加（s行）

%•••a”,,

显然，乘积外力…%，…旬，…冬”在行列式。和〃中，都是取

自不同行、不同列的〃个元素的乘积，根据§3定理1,对

于行列式〃这一项的符号由

(_]严..•…+N(ji…力…人…力)

决定；而对行列式〃，这一项的符号由

/_])N(l—s—t—n)+N(j1……js…")

决定.而排列1…，…S…A与排列1…S…，…〃的奇偶性相反，

所以

(_])N(1…i…s…〃)+%(左.片…八…j.)…s…i.：n)+N(ji…[…js…j〃)

即〃中的每一项都是。中的对应项的相反数，所以y-〃.

例1计算行列式

429-30

63-571

D=50000

80040

70350

解：将第一、二行互换，第三、五行互换，得

63-571

429-30

Z)=(-l)270350

80040

50000

将第一、五列互换，得

13-576

029-34

3

D=(-1)00357=-1-2-3-4-5=-5!=-120

00048

00005

推论若行列式有两行(列)的对应元素相同，则此行列式的值

等于零.

证：将行列式。中对应元素相同的两行互换，结果仍是〃

但由性质2有

氏-〃所以氏0.

性质3行列式某一行(列)所有元素的公因子可以提到行列

式符号的外面.即

4nan…aXnaila!2…a\n

二

左4ik%[•••kaink即斯a加

an\a„2annan\an2ann

证：由行列式的定5（有

Z(-1严必jn）a日...(”…a矶

左端=hh…3

zZ（-1严,"31a矶

=右端.

此性质也可表述为：用数N乘行列式的某一行（列）的所有元

素，等于用数次乘此行列式.

推论：如果行列式中有两行（列）的对应元素成比例，则此行

列式的值等于零.

证：由性质3和性质2的推论即可得到.

性质4如果行列式的某一行（列）的各元素都是两个数的

和，则此行列式等于两个相应的行列式的和，即

ai2…aina\\a12…ain%an…aXn

+Cb+Cb

bn+Si3i1…inin=21*2…in+GiCi2…Cin

anlan2…annMlan2…anna〃2…ann

Z（T产5…3的方…（与+，）•・4„

证：左端=力力…办

'（lI）"""J"）aljia2hR-anJi

••a

njn

auan…a\n1412…由〃

bb

i\%in+Ci\Ci2…Cin

=an\an2…annanlan2…ann

=右端.

性质5把行列式的某一行（列）的所有元素乘以数N加到另

一行（列）的相应元素上，行列式的值不变.即

a\\an…a\n

4,行有总力"一%"

D=…到第•$行....

as\42…asn

an\an2…ann

a\\an…ain

ailai2…ain

kan+asikai2+as2kain+asn

anian2…rm

证：由性质4

%]“12…a\naU"12…a\n

ailai2'..ainail%2…〃加

ka”kai2•••kainaslas2•••asn

右端-anlan2,…ann+册1〃八2…^nn=Q

«ii“12…a\n

%%2,,,ain

anas2…asn

+%ia"2'"1a，"=左端

作为行列式性质的应用，我们来看下面几个例子.

例2计算行列式

3111

1311

D=

1131

1113

解：这个行列式的特点是各行4个数的和都是6,我们把第

2、3、4各列同时加到第1歹1J,把公因子提出，然后把第

1行x(-l)加到第2、3、4行上就成为三角形行列式.具

体计算如下：

611111111111

631113110200

D==6=6=6x23=48

613111310020

611311130002

例3计算行列式

0-1-12

1-102

D=

-12-10

2110

解：

0-1-12fj-102x1x(-Q1-102

1-102J-1-12

0-1-12xlx3

J

-12-10-12-10一01-12

21102110~031-4

1-1021-102

0-1-120-1-12

=-1x(-l)x(-2)x(-2)：=4

——00-241(-11)—。0-24

00-22000-2

labc+d

Ibca+d

D==0

leda+b

例4试证明：[&ab+c

证：把2、3列同时加到第4列上去，贝幅

laba+b+c+d1ab1

1bca+b+c+d1bc1

D-=(a+b+c+(%=Q

leda+b+c+bcd1

Idaa+b+c+d1dal

xaxa2an

%xa2an

D=a{a2xan

X

例5计算加i阶行列式外出的

解：将。的第2歹!)、第3歹h…、第〃灯列公;加到第1列上，

拉

X+Z%

然后从第1列提取公因子I得

1

1

_n

。二(%+X4)1

Z=1

1

x(—

XS一

x(—Cln)

100­••0

1x-a0•••0

nx

(X+却)

1a2-axx-a2…0

i=l

1〃2一%%—%…X-Cl

n

(%+£a,)(%-ax)(x-a2)--(x-an)

i=l

例6解方程

111•••11

11-x1…11

112-x•••11

=0

111•••(n-2)-x1

111•••1(〃一1)-X

解法一：

11111x(-D

11-x111

112-x11

111(n-2)-x1

1111(H-1)-%

111■­•11

00-x0•••00

00\-x•••00

=(-x)(l-%)•••[(«-3)-x][(n-2)-x]

000•••(?i-3)-x0

000•••0(n-2)-x

所以方程的解为禺=0,X2=l,…，x„-2=n-3,Xn-^n-2.

解法二：根据性质2的推论，若行列式有两行的元素相同，

行列式等于零.而所给行列式的第1行的元素全是1,第2

行，第3行，…第〃行的元素只有对角线上的元素不是1,

其余均为1.因此令对角线上的某个元素为1,则行列式必

等于零.于是得到

1-A=1

2-A=1

（77-2）-JV=1

（77-1）-A=1

有一成立时原行列式的值为零.所以方程的解为无二0,莅，

==-

1,Xn-i^n~~3,xn-i772.

例7计算刀阶行列式

X的a3…an

axXa3…a”

D=axa2x…a„xwa.a=i,2/-ri)

axa2a3…X

解：将第1行乘以（-1）分别加到第2、3、…、77行上得

X的a3…a”

ax-xx-a20…0

D=ax-x0x-a3…0

ax-x00…x一明

从第一列提出X-a,从第二提出x-a2,…，从第〃列提出x

-a”便得到

X。2。3a.

x-a{x-a2x-a3x-a

-110•••0

-101•••0

-100•1

X、a.

=1+,

由x-%x-%并把第2、第3、…、第〃列都加于第1

列,有

11.%a2(h…%

一明

/=1x-aix-a2x-a3x

0100

D=(x-<7)(x-tz)---(x-<2„)00]…

120

0001

Sa

=(x%)(xa,)…(xa„)(l+X1)

-i=ix-at

例8试证明奇数阶反对称行列式

062%.

D=~a'20"2'0

~ain—a2n0

0-«12~aln

JJT_a!20…—a2n

证：。的转置行列式为％0

从加中每一行提出一个公因子(-1),于是有

062•・，a\n

£)7=(—1)“一/20a2n=(-l)nD

—a2n•••0,但由性质1知道

U=D

庐(-1)幻

又由〃为奇数，所以有大-D,

即2大0,因此大0.

思考题：

1.证明下列各题：

1aa31aa2

1b/=(〃+/?+c)lbb2

1cc3Icc2

2.计算下列〃阶行列式：

-axa1000

0-a2a2•••00

000-anan

111・•・11

课后作业课后习题

学生在本次教学、实训中

主要存在的问题

授课课题（学习情境/任务/项

行列式的计算、克拉默法则

目/单元

授课时间第3周（1）课型理论课

教学掌握行列式的性质及按行（列）展开计算简单的”阶行列式

目标熟练应用克拉默法则

教学重点代数余子式的定义和性质

教学难点行列式的性质及按行（列）展开计算简单的〃阶行列式

教学准备（环境、资源、条件

多媒体

等）

导学过程设计

教学组

教师活动学生活动织与方时间

法

一.导课参与互动PPT

本节我们要研究如何把较高阶的行列式转化为较低阶行列式思考、联想展示

的问题，从而得到计算行列式的另一种基本方法一一降阶做出选择

法.为此，先介绍代数余子式的概念.聆听、参考讲授30

二.行列式按一行（列）展开公式别人意见

定义在〃阶行列式中，划去元素所在的第，行和第/列后，

余下的元素按原来的位置构成一个A-1阶行列式，称为元素

的余子式，记作元素的余子式〃前面添上符号（-

1严称为元素的代数余子式，记作即4产（

例如：在四阶行列式

Cl-y।^^13^^14

^^2]^^22^^23^^24^^12^^14

D—

^^31^^32^^33^^34^^31^^32^^34

041%2。43°44中a23的余子式是<=",I%2”44

%1〃12〃14

。31〃32〃34

而A,=（-l）2+U=%2«44是侬的代数余子式.

定理1n阶行列式。等于它的任意一行（列）的元素与其对应

的代数余子式的乘积之和，即

aaAi^'''^ainAin（i=L2,…，n）

或D=aijAlJ+a2jA2J+'''+anjAnj（j'=l,2,…，n）.

证明：只需证明按行展开的情形，按列展开的情形同理可证.

1°先证按第一行展开的情形.根据性质4有

%1"12…"]]+0+・・,+00+%2+0+,,,+0,••0卜•••+0+6〃

_〃21〃22,…a2n_。2122。2n

”——

a

an\an2.…ann册1%2…nn

0…0110a%…000,,,