11.4.1直线与平面垂直课件高一数学人教B版

第十一章立体几何初步直线与平面垂直人教B版

数学

必修第四册课程标准1.理解异面直线所成角的含义,结合实例概括出直线与平面垂直的定义,理解直线与平面垂直的性质.2.理解线面垂直的判定定理,能运用文字语言、图形语言和符号语言对该定理加以表述,初步学习运用该定理判定或论证直线与平面垂直问题.3.理解线面垂直的有关性质,并能运用这些性质进行论证.4.知道点到平面的距离的定义.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1直线与直线所成角一般地,如果a,b是空间中的两条异面直线,过空间中任意一点,分别作与a,b平行或重合的直线a',b',则a'与b'所成角的大小,称为

.

为了方便起见,规定空间中两条平行直线所成角的大小为0°,这样一来,空间中任意两条直线所成角的大小都是确定的.两条直线所成的角也称为这两条直线的夹角.特别地,空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,称l与m

,记作l⊥m.

此时,两条直线的位置关系可能相交,可能异面

显然,若a∥b且b⊥c,则一定有a⊥c.异面直线a与b所成角的大小

垂直

过关自诊1.[人教A版教材习题]判断下列说法是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直,那么另一条也与已知直线垂直.(

)(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.(

)√×2.[人教A版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'的各条棱所在直线中,(1)与直线AB垂直的直线有

条;

(2)与直线AB异面且垂直的直线有

条;

(3)与直线AB和A'D'都垂直的直线有

条;

(4)与直线AB和A'D'都垂直且相交的直线是直线

.

844AA'3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与A1B1所成角的余弦值为

.

解析

设棱长为1,因为A1B1∥C1D1,所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.知识点2直线与平面垂直1.直线l与平面α垂直,指的是直线l与平面α内

都垂直.

2.充要条件:由空间中两条直线相互垂直的定义可知,直线l与平面α垂直的充要条件是

.这可以用符号表示为l⊥α⇔∀m⊂α,l⊥m.

3.画法:通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直,如图所示.过它们公共点的所有直线

直线l与平面α内的任意直线都垂直

名师点睛对线面垂直定义的理解(1)定义中的“任何一条直线”的含义是所有,而不是无数,这里要避免两个错误:①一条直线垂直于一个平面内的一条直线,它就垂直于这个平面;②一条直线垂直于一个平面内的无数条直线,它就垂直于这个平面.(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情形,类似于平面内两条相交直线垂直是两直线相交的特殊情形.(3)由线面垂直的定义知,若直线垂直于平面,那么这条直线垂直于平面内的任一条直线,这是证明线线垂直的重要方法.过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若直线l垂直于平面α内任意直线,则有l⊥α.(

)(2)若直线l垂直于平面α内的一条直线,则l⊥α.(

)(3)若直线l垂直于平面α内的无数条直线,则l⊥α.(

)(4)若直线l垂直于平面α,则l垂直于平面α内的每一条直线.(

)√××√2.直线l⊥平面α,直线m⊂α,则l与m不可能(

)

A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直A解析

∵直线l⊥平面α,∴l与α相交,又m⊂α,∴l与m相交或异面,由直线与平面垂直的定义,可知l⊥m.故l与m不可能平行.知识点3直线与平面垂直的判定定理与推论1.判定定理

文字语言如果一条直线与一个平面内的

直线垂直,则这条直线与这个平面垂直

图形语言符号语言若m⊂α,n⊂α,m∩n≠⌀,l⊥m,l⊥n,则l⊥α两条相交

2.结论

体会平行关系中平移的应用

文字语言如果在两条平行直线中,有一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线

这个平面

图形语言符号语言若l∥m,l⊥α,则m⊥α也垂直于

3.性质定理

文字语言如果两条直线垂直于同一个平面,那么这两条直线

图形语言符号语言若l⊥α,m⊥α,则l∥m平行

名师点睛1.判定定理中三个条件:两个线线垂直和一个线线相交,缺一不可.此定理可简记为线线垂直⇒线面垂直.2.结论及性质定理将线线平行和线面垂直融合在一起,完成了平行与垂直关系的转化.过关自诊1.一条直线分别垂直于一个平面内的:①三角形的两条边;②梯形的两条边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边.其中不能保证该直线与平面垂直的是(

)

A.①③

B.②C.②④

D.①②④C解析

因为线面垂直的判定定理中平面内的两条直线必须相交,而②④中不能确定两条边是否相交,故不能保证该直线与平面垂直,故选C.2.[北师大版教材习题]判断下列说法是否正确,并说明理由:(1)两条异面直线不能垂直于同一平面;(2)如果一条直线上有两点到一个已知平面的距离相等,那么这条直线必与这个平面平行;(3)同一平面的两条垂线一定共面.解(1)正确.由线面垂直的性质定理可知,垂直于同一个平面的两条直线平行,所以不可能异面.(2)不正确.当这两点在平面的同侧时,可以得到直线和平面平行;当这两点在平面的不同侧时,直线和平面必定相交.不可能平行.(3)正确.根据线面垂直的性质定理,同一平面的两条垂线平行,由基本事实的推论3,这两条平行的垂线一定共面.3.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E∈平面ABCD,F∈平面A1B1C1D1,且EF⊥平面ABCD.求证:EF∥AA1.证明∵AA1⊥AB,AA1⊥AD,且AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴AA1⊥平面ABCD.又EF⊥平面ABCD,∴EF∥AA1.知识点4直线与平面所成的角定义:如果A是平面α外一点,B是平面α内一点,则AB⊥α时,AB是平面α的垂线段.类似地,如果C是平面α内一点,且AC与α不垂直,则称AC是平面α的

(相应地,直线AC称为平面α的

,称C为

).

因为B为A在平面α内的射影,所以直线BC称为直线AC在平面α内的射影.特别地,

称为直线AC与平面α所成的角.

结论:平面内垂直于射影的直线也垂直于

.

斜线段

斜线

斜足

∠ACB斜线

过关自诊1.如图所示,若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,则直线AB与平面α所成的角是(

)

A.60°

B.45°C.30°

D.120°A解析

∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB=2BO,所以cos∠ABO=,即∠ABO=60°.2.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于

.45°解析

因为PA⊥平面ABC,所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中,∠BAP=90°,PA=AB,所以∠PBA=45°,即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.重难探究·能力素养全提升探究点一直线与直线所成角【例1】

[人教A版教材例题]如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D'.(1)哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?(2)求直线BA'与CC'所成的角的大小.(3)求直线BA'与AC所成的角的大小.解(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A'所在直线分别与直线AA'垂直.(2)因为ABCD-A'B'C'D'是正方体,所以BB'∥CC',因此∠A'BB'为直线BA'与CC'所成的角.又因为∠A'BB'=45°,所以直线BA'与CC'所成的角等于45°.(3)如图,连接A'C'.因为ABCD-A'B'C'D'是正方体,所以AA'CC'.从而四边形AA'C'C是平行四边形,所以AC∥A'C'.于是∠BA'C'为异面直线BA'与AC所成的角.连接BC',易知△A'BC'是等边三角形,所以∠BA'C'=60°.从而异面直线BA'与AC所成的角等于60°.规律方法

求异面直线所成的角的一般步骤(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求.变式训练1(1)[2023浙江高一专题练习]如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都相等,D为棱AB的中点,则CD与AC1所成角的正弦值为(

)B解析

如图,取A1B1的中点E,连接AE,C1E,DE.设正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长为2,因为四边形AA1B1B为平行四边形,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1.因为D,E分别为AB,A1B1的中点,所以AD∥A1E,且AD=A1E,所以四边形AA1ED为平行四边形,则AA1∥DE,且AA1=DE.因为AA1∥CC1,且AA1=CC1,所以DE∥CC1,且DE=CC1,所以四边形CC1ED为平行四边形,所以CD∥C1E,所以直线CD与直线AC1所成的角即为直线C1E与直线AC1所成的角,∠AC1E即为所求.在△AC1E中,(2)在四面体A-BCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别是BC,AD的中点,求直线EF和AB所成的角.解如图,取BD的中点G,连接EG,FG.∵E,F,G分别是BC,AD,BD的中点,∴

,∴∠EGF(或∠EGF的补角)为AB与CD所成的角.又直线AB与CD成30°角,∴∠EGF=30°或150°.∵AB=CD,∴EG=GF,故由等腰三角形EGF知∠GFE=75°或15°.而由FG∥AB知,∠GFE就是直线EF和AB所成的角.从而直线EF和AB所成的角为75°或15°.探究点二线面垂直的判定【例2】

[人教A版教材习题]如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,SD⊥平面ABCD,求证:AC⊥平面SDB.证明因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD.因为SD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以SD⊥AC.又因为BD∩SD=D,BD⊂平面SDB,SD⊂平面SDB,所以AC⊥平面SDB.规律方法

利用直线与平面垂直的判定定理判定直线与平面垂直的技巧证明线面垂直时要注意分析几何图形,寻找隐含的和题目中推导出的线线垂直关系,进而证明线面垂直.三角形全等、等腰三角形、菱形或正方形的对角线、直角三角形中的勾股定理及其逆定理、线面垂直的定义等都是找线线垂直的方法.变式训练2如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,DD1=2,P为DD1的中点.求证:直线PB1⊥平面PAC.

探究点三线面垂直性质定理的应用【例3】

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,EF与异面直线AC,A1D都垂直相交,垂足分别为F,E.求证:EF∥BD1.证明如图所示,连接AB1,B1C,BD.因为DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以DD1⊥AC.又AC⊥BD,DD1∩BD=D,所以AC⊥平面BDD1.又BD1⊂平面BDD1,所以AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以BD1⊥平面AB1C.因为EF⊥AC,EF⊥A1D,A1D∥B1C,所以EF⊥B1C.又AC∩B1C=C,所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.变式训练3如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点,MN⊥平面A1DC.求证:(1)MN∥AD1;(2)M是AB的中点.证明(1)因为四边形ADD1A1为正方形,所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1,所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD=D,所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC,所以MN∥AD1.(2)如图,设AD1与A1D的交点为O,连接ON,在△A1DC中,A1O=OD,A1N=NC,所以

.所以ON∥AM.又因为MN∥OA,所以四边形AMNO为平行四边形.所以ON=AM.因为ON=,所以AM=.所以M是AB的中点.探究点四线面角【例4】

[北师大版教材例题]如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求D1A与底面ABCD所成的角;(2)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,求D1B与底面ABCD所成的角的余弦值.解(1)因为DD1⊥底面ABCD,所以∠D1AD是D1A与底面ABCD所成的角.因为侧面A1ADD1是正方形,所以∠D1AD=45°,即D1A与底面ABCD所成的角为45°.规律方法

求线面角的方法求直线和平面所成角的步骤:(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线;(2)连接垂足和斜足间得到斜线在平面上的射影,斜线与其射影所成的锐角或直角即为所求的角;(3)把该角归结在某个三角形中,通过解三角形,求出该角.变式训练4在正方体ABCD-A1B1C1D1中,(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值;(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.解(1)∵直线A1A⊥平面ABCD,∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角.(2)连接A1C1交B1D1于点O,连接OB,在正方形A1B1C1D1中,A1C1⊥B1D1,∵BB1⊥平面A1B1C1D1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,∴BB1⊥A1C1.又BB1∩B1D1=B1,∴A1C1⊥平面BDD1B1,垂足为点O.∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角,∴∠A1BO=30°,即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314151617181920212223A级必备知识基础练1.[探究点二·2023北京东城校级模拟]已知直线m,n和平面α,如果n⊂α,那么“m⊥n”是“m⊥α”的(

)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B解析

若n⊂α,m⊥n,则m⊥α或m⊂α,若m⊥α,n⊂α,则m⊥n,故“m⊥n”是“m⊥α”的必要不充分条件.故选B.12345678910111213141516171819202122232.(多选题)[探究点二·2023江苏高一专题练习]下列条件中能推出l⊥α的有(

)A.直线l与平面α内一个三角形的两边垂直B.直线l与平面α内一个梯形的两边垂直C.直线l与平面α内无数条直线垂直D.直线l与平面α内任意一条直线垂直AD解析

由线面垂直的判定定理知A,D正确;对于B,当梯形的两边平行时,不能推出l⊥α;对于C,当无数条直线相互平行时,不能推出l⊥α.故选AD.12345678910111213141516171819202122233.[探究点二·2023辽宁高一专题练习]设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则(

)A.若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥αB.若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥αC.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l⊥nD.若m⊂α,n⊥α,l⊥n,则l∥mB12345678910111213141516171819202122234.[探究点三]在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l与直线BB1不重合,且l⊥平面ABCD,则有(

)A.BB1⊥lB.BB1∥lC.BB1与l异面D.BB1与l相交B解析

因为l⊥平面ABCD,且BB1⊥平面ABCD,直线l与直线BB1不重合,所以BB1∥l.故选B.12345678910111213141516171819202122235.[探究点一·2023安徽高一课时练习]空间四边形ABCD的两对边AB=CD=3,E,F分别是AD,BC上的点,且EF=,AE∶ED=BF∶FC=1∶2,则直线AB与CD所成角大小为(

)A.30°

B.45° C.60°

D.90°C解析

作EG∥AB交BD于点G,如图,连接FG,1234567891011121314151617181920212223因为∠EGF是三角形内角,所以∠EGF=120°,所以直线AB与CD所成的角是60°.故选C.12345678910111213141516171819202122236.(多选题)[探究点二]如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下列结论正确的是(

)A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°ABC12345678910111213141516171819202122237.[探究点一]如图所示,M,N分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中BB1,B1C1的中点.则(1)MN与CD1所成的角为

.

(2)MN与AD所成的角为

.

60°45°解析

(1)由图易知MN∥AD1,∵△ACD1构成正三角形,∴AD1与CD1成60°角,∴MN与CD1成60°角.(2)AD1与AD成45°角,而MN∥AD1,∴MN与AD成45°角.12345678910111213141516171819202122238.[探究点四·2023天津高一专题练习]正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线A1B与平面ABC1D1所成角大小为

.

30°解析

如右图,由正方体性质知,AD1⊥A1D,且AD1∩A1D=O,即AD1⊥A1O.又AB⊥平面ADD1A1,A1O⊂平面ADD1A1,故AB⊥A1O.由AD1∩AB=A,AD1,AB⊂平面ABC1D1,故A1O⊥平面ABC1D1,所以∠A1BO为直线A1B与平面ABC1D1所成角的平面角,又0°≤∠A1BO≤90°,故∠A1BO=30°.12345678910111213141516171819202122239.[探究点二]如图,在三棱锥A-BCD中,CA=CB,DA=DB.作BE⊥CD于点E,作AH⊥BE于点H.求证:AH⊥平面BCD.1234567891011121314151617181920212223证明取AB的中点F,连接CF,DF(图略).∵CA=CB,DA=DB,∴CF⊥AB,DF⊥AB.∵CF∩DF=F,∴AB⊥平面CDF.∵CD⊂平面CDF,∴AB⊥CD.又CD⊥BE,AB∩BE=B,∴CD⊥平面ABE.∵AH⊂平面ABE,∴CD⊥AH.∵AH⊥BE,BE∩CD=E,∴AH⊥平面BCD.123456789101112131415161718192021222310.[探究点三·2023湖南高一专题练习]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.证明:AE∥MN.1234567891011121314151617181920212223证明因为AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,所以AE⊥AB.又AB∥CD,所以AE⊥CD.因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.1234567891011121314151617181920212223B级关键能力提升练11.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列说法中正确的有(

)①m⊥α,m⊥n⇒n∥α或n⊂α②n∥m,n⊥α⇒m⊥α③α∥β,m⊂α,n⊂β

⇒m∥n④m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β

⇒α∥βA.0个

B.1个

C.2个

D.3个C123456789101112131415161718192021222312.下列说法中,正确的有(

)①如果一条直线垂直于平面内的两条直线,那么这条直线和这个平面垂直.②过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l垂直.③如果三条共点直线两两垂直,那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面.④垂直于角的两边的直线必垂直于这个角所在的平面.⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内.A.2个

B.3个

C.4个

D.5个C解析

②③④⑤正确,①中当平面内的两条直线平行时,直线可能与平面平行、垂直或在平面内.123456789101112131415161718192021222313.

如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论错误的是(

)A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.三棱锥A-BEF的体积为定值D.△AEF的面积与△BEF的面积相等D123456789101112131415161718192021222314.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G分别为棱A1D1,A1A,A1B1的中点,下列结论正确的是(

)A.EF⊥B1CB.BC1∥平面EFGC.A1C⊥平面EFGD.异面直线FG,B1C所成角的大小为ABC123456789101112131415161718192021222315.在三棱柱ABC-A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是(

)A.30°

B.45°

C.60° D.90°C123456789101112131415161718192021222316.

如图,三条相交于点P的线段PA,PB,PC两两垂直,点P在平面ABC外,PH⊥平面ABC于点H,则垂足H是△ABC的(

)A.外心

B.内心C.垂心

D.重心C解析

∵PC⊥PA,PC⊥PB,PA∩PB=P,∴PC⊥平面PAB.又AB⊂平面PAB,∴AB⊥PC.∵AB⊥PH,PH∩PC=P,∴AB⊥平面PCH.∵CH⊂平面PCH,∴AB⊥CH.同理BC⊥AH,AC⊥BH.∴H为△ABC的垂心.123456789101112131415161718192021222317.[2023广州月考]如图,正方形SG1G2G3中,E,F分别是G1G2,G2G3的中点,D是EF的中点,沿SE,SF,EF将正方形折成一个四面体,使G1,G2,G3重合,重合后的点记为G,则在四面体S-EFG中(

)A.SG⊥平面EFG B.SD⊥平面EFGC.GF⊥平面SEF D.GD⊥平面SEFA123456789101112131415161718192021222318.[2023福建连江校级月考]设P是△ABC外一点,则使点P在此三角形所在平面内的射影是△ABC的外心的条件为

.

PA=PB=PC解析

如图,P是△ABC外一点,∵点P在此三角形所在平面内的射影O是△ABC的外心,∴AO=BO=CO,则△POA≌△POB≌△POC,∴PA=PB=PC.故使点P在此三角形所在平面内的射影是△ABC的外心的条件为PA=PB=PC.123456789101112131415161718192021222319.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F,G,H分别是棱A1A,B1B,C1C,D1D的中点,则与直线A1O垂直的立方体的截面为

.

(写出一个即可)GBD解析

如图所示,连接OG,A1C1,易知BD⊥AC,BD⊥AA1,故BD⊥平面ACC1A1,A1O⊂平面ACC1A1,故BD⊥A1O.设正方体边长为2,则故A1G2=A1O2+OG2,故A1O⊥OG,OG∩BD=O,故A1O⊥平面GBD.123456789101112131415161718192021222320.

如图,在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=13,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,M为AC的中点.(1)求证:PM⊥平面ABC;(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值.(1)证明∵PA=PC,M为AC的中点,∴PM⊥AC.①又∠ABC=90°,AB=8,BC=6,1234567891011121314151617181920212223∴PB2=MB2+PM2,∴PM⊥MB.②由①②可知PM⊥平面ABC.(2)解∵PM⊥平面ABC,∴MB为BP在平面ABC内的射影,∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角.123456789101112131415161718192021222321