1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系（第2课时）课件高二上学期数学人教A版选择性

第一章空间向量与立体几何用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的垂直人教A版

数学

选择性必修第一册课程标准1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法证明必修内容中有关直线、平面垂直关系的判定定理.3.能用向量方法证明空间中直线、平面的垂直关系.基础落实·必备知识全过关知识点空间中直线、平面垂直的向量表示位置关系向量表示线线垂直设直线l1,l2的方向向量分别为μ1,μ2,则l1⊥l2⇔μ1⊥μ2⇔μ1·μ2=0

可判定相交垂直,也可判定异面垂直线面垂直设直线l的方向向量为μ,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔

⇔

面面垂直设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔

⇔

μ∥n∃λ∈R,使得μ=λnn1⊥n2n1·n2=0过关自诊1.怎样用语言叙述利用直线的方向向量与平面的法向量判断垂直关系?提示

(1)若证线线垂直,则证直线的方向向量垂直;(2)若证线面垂直,则证直线的方向向量与平面的法向量平行;(3)若证面面垂直,则证两平面的法向量垂直.2.[北师大版教材习题]已知l为直线l的方向向量,n为平面α的法向量,且l⊄α,判断直线l与平面α的位置关系是平行还是垂直.(1)l=(-1,1,1),n=(1,4,-3);(2)l=(-1,3,2),n=(2,-6,-4).解

(1)l·n=(-1,1,1)·(1,4,-3)=(-1)×1+1×4+1×(-3)=0,所以l⊥n,所以l∥α.3.[人教B版教材习题]已知四面体ABCD中,AB=AC,DB=DC,点M为棱BC的中点,指出平面ADM的一个法向量.哪两个平面互相垂直?为什么?互相垂直的平面有两组:平面ADM⊥平面ABC,平面ADM⊥平面BCD.原因:在△ABC中,因为AB=AC,M为棱BC的中点,所以AM⊥BC.同理在△BCD中,DM⊥BC.因为AM∩DM=M,所以BC⊥平面ADM,因为BC⊂平面ABC,BC⊥平面ADM,所以平面ABC⊥平面ADM,同理平面BCD⊥平面ADM.4.[北师大版教材例题]已知:如图,AB⊥α,垂足为点B,AC∩α=C,l⊂α,且l⊥BC.求证:l⊥AC.重难探究·能力素养全提升探究点一利用向量方法证明线线垂直【例1】

如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,F是PB的中点,点E在棱BC上移动.求证:无论点E在棱BC上的何处,都有PE⊥AF.思路分析

只需证明直线PE与AF的方向向量互相垂直即可.证明

(方法1)以A为原点,以AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设AD=a,变式探究

本例条件不变,求证:AF⊥BC.规律方法

利用向量方法证明线线垂直的方法

坐标法建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直基向量法利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律,结合图形,将两直线所在的向量用基向量表示,然后根据数量积的运算律证明两直线所在的向量的数量积等于0,从而证明两条直线的方向向量互相垂直变式训练1在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AC的中点.求证:(1)BD1⊥AC;(2)BD1⊥EB1.证明

以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,探究点二利用向量方法证明线面垂直【例2】

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M分别为棱AB,BC,B1B的中点.求证:D1M⊥平面EFB1.(方法2)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.(方法3)以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,规律方法

利用空间向量证明线面垂直的方法

变式训练2[北师大版教材习题]如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱长AB=AD=2,AA'=3,点E是平面BCC'B'上的动点,点F是CD的中点.试确定点E的位置,使D'E⊥平面AB'F.探究点三利用向量方法证明面面垂直【例3】

如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB1=1,点E为BB1的中点,证明:平面AEC1⊥平面AA1C1C.证明

由题意得AB,BC,B1B两两垂直.以点B为原点,BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.令x1=1,得y1=1.∴n1=(1,1,0).设平面AEC1的法向量为n2=(x2,y2,z2),令z2=4,得x2=1,y2=-1.∴n2=(1,-1,4).∵n1·n2=1×1+1×(-1)+0×4=0,∴n1⊥n2,∴平面AEC1⊥平面AA1C1C.规律方法

证明面面垂直的两种方法(1)常规法:利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明.(2)向量法:证明两个平面的法向量互相垂直.变式训练3如图,在五面体ABCDEF中,FA⊥平面ABCD,AD∥BC∥FE,AB⊥AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=AD.求证:平面AMD⊥平面CDE.证明

如图,建立空间直角坐标系,点A为坐标原点,AB,AD,AF所在直线分别为x轴、y轴、z轴.因此CE⊥AM,CE⊥AD.又AM∩AD=A,∴CE⊥平面AMD.又CE⊂平面CED,∴平面AMD⊥平面CDE.本节要点归纳1.知识清单:(1)直线与直线垂直的向量表示;(2)直线与平面垂直的向量表示;(3)平面与平面垂直的向量表示.2.方法归纳:转化法、法向量法.3.常见误区:容易混淆直线的方向向量、平面的法向量之间的关系与线面间的垂直关系的对应.成果验收·课堂达标检测1234567891011121314A级必备知识基础练1.[探究点三]若平面α与β的法向量分别是a=(2,4,-3),b=(-1,2,2),则平面α与β的位置关系是(

)A.平行

B.垂直C.相交但不垂直 D.无法确定B解析

a·b=(2,4,-3)·(-1,2,2)=-2+8-6=0,∴a⊥b,∴平面α与平面β垂直.1234567891011121314C12345678910111213143.[探究点一](多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM(

)A.和AC垂直B.和AA1垂直C.和MN垂直D.与AC,MN都不垂直AC1234567891011121314解析

以D为原点,DA,DC,DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为2a,则D(0,0,0),D1(0,0,2a),M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a).12345678910111213144.[探究点三]已知平面α的一个法向量a=(x,1,-2),平面β的一个法向量b=.若α⊥β,则x-y=

.

-1解析

因为α⊥β,所以a⊥b,所以-x+y-1=0,得x-y=-1.12345678910111213145.[探究点二]已知空间四点A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则P的坐标为

.

(-1,0,2)12345678910111213146.[探究点三][2023山东枣庄月考]如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形,PA=AD=2,M,N分别是AB,PC的中点.求证:平面MND⊥平面PCD.1234567891011121314证明

∵PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,∴AB,AD,AP两两垂直.如图所示,分别以AB,AD,AP所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系,可得A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1),∴m=(-2,-1,1)是平面MND的一个法向量,同理可得n=(0,1,1)是平面PCD的一个法向量.∵m·n=-2×0+(-1)×1+1×1=0,∴m⊥n,即平面MND的法向量与平面PCD的法向量互相垂直,可得平面MND⊥平面PCD.12345678910111213147.[探究点二]如图,在四棱锥P

-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.证明

如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).1234567891011121314∴CD⊥AE,CD⊥AP.∵AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.12345678910111213148.[探究点一][北师大版教材习题]已知:如图,△ABC为正三角形,AE和CD都垂直于平面ABC,且AE=AB=2CD,点F是BE的中点.(1)求证:DF∥平面ABC;(2)求证:AF⊥BD.123456789101112131412345678910111213141234567891011121314B级关键能力提升练B123456789101112131410.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,P是AA1的中点,点M在侧面AA1B1B(含边界)内,若D1M⊥CP,则△BCM面积的最小值为(

)D1234567891011121314ABC1234567891011121314123456789101112131412.[北师大版教材习题]已知:如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D',,AA'=1,点E是C'D'的中点.求证:平面AA'E⊥平面BB'E.1234567891011121314令x=1,则y=1.所以n1=(1,1,0).同理可求得平面BB'E的一个法向量为n2=(1,-1,0).所以n1·n2=1×1+1×(-1)+0=0.所以n1⊥n2,即平面AA'E⊥平面BB'E.123456789101112131413.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=AD.(1)求证:CD⊥平面PAC.(2)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,求出点E的位置并证明;若不存在,请说明理由.1234567891011121314解

因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.∠BAD=