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文档简介
第一章数列3.2等比数列前n项和第2课时等比数列前n项和的综合应用北师大版
数学
选择性必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.掌握等比数列前n项和的性质及其应用.2.能够运用学过的数列知识解决等差与等比数列的综合问题.3.能够运用等比数列的知识解决有关实际问题.基础落实·必备知识一遍过知识点
等比数列前n项和的性质公比为q的等比数列{an}的前n项和为Sn,关于Sn的性质常考的有以下四类:(1)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠-1).限制q≠-1是因为当q=-1且m是偶数时,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m都等于0,不是等比数列(2)当n是偶数时,S偶=S奇·q;当n是奇数时,S奇=a1+S偶·q.(3)Sn+m=Sm+qmSn=Sn+qnSm.(4)数列{an}为公比不为1的等比数列⇔Sn=A-Aqn,A≠0,q≠0且q≠1;当公比q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,Sn是n的正比例函数.思考辨析1.在公比q≠1的等比数列{an}的前n项和公式中,qn的系数与常数项有何关系?提示
互为相反数.2.若{an}是公比为q≠-1的等比数列,S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和,在其前2n+1项中,你能得出S奇与S偶有何内在关系?自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等比数列{an}的前n项和Sn不可能等于2n.(
)(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2n-1,则数列{an}为等比数列.(
)(3)若{an}的公比为q,则a1+a2+a3,a2+a3+a4,a3+a4+a5的公比也为q.(
)(4)等比数列{an}是递增数列,前n项和为Sn,则{Sn}也是递增数列.(
)√√√×2.[人教B版教材例题]某工厂去年1月份的产值为a元,且月平均增长率为p(p>0),求这个工厂去年全年产值的总和.重难探究·能力素养速提升探究点一等比数列前n项和性质的应用角度1.连续n项之和问题【例1】
(1)设等比数列{an}前n项和为Sn,若S3=8,S6=24,则a10+a11+a12=(
)A.32 B.64 C.72 D.216B解析
由于S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等比数列,S3=8,S6-S3=16,故其公比为2,所以S9-S6=32,S12-S9=64,即a10+a11+a12=S12-S9=64.(2)已知等比数列{an}的前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n,(方法二)根据等比数列的性质有S2n=Sn+qnSn=Sn(1+qn),S3n=Sn+qnSn+q2nSn,规律方法
处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式,要注意公比q=1和q≠1两种情形,在解有关的方程(组)时,通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.变式训练1在等比数列{an}中,已知Sn=48,S2n=60,求S3n.解
∵S2n=60≠0,∴数列{an}的公比q≠-1.∵数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是等比数列,∴(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n).又Sn=48,S2n=60,∴(60-48)2=48(S3n-60),解得S3n=63.【例2】
数列{an}的前n项和Sn=3n-2,求{an}的通项公式,并判断{an}是不是等比数列.解
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1.当n=1时,a1=S1=31-2=1不适合上式.(方法一)由于a1=1,a2=6,a3=18,显然a1,a2,a3不是等比数列,即{an}不是等比数列.(方法二)当等比数列{an}的公比q≠1时的前n项和Sn=A·qn+B满足的条件为A=-B,对比可知Sn=3n-2,-2≠-1,故{an}不是等比数列.角度2.对数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1)(A≠0,q≠0,q≠1)的应用
规律方法
1.已知Sn,通过求通项公式an,应特别注意当n≥2时,an=Sn-Sn-1.2.若数列{an}的前n项和Sn=A(qn-1),其中A≠0,q≠0且q≠1,则{an}是等比数列.变式训练2若{an}是等比数列,且前n项和为Sn=3n-1+t,则t=
.
探究点二等比数列的实际应用【例3】
王某2017年12月31日向银行贷款100000元,银行贷款年利率为5%,若此贷款分十年还清(2027年12月31日还清),每年年底等额还款(每次还款金额相同),设第n年末还款后此人在银行的欠款额为an元.(1)设每年的还款额为m元,请用m表示出a2;(2)求每年的还款额(精确到1元).解
(1)由题意得,a2=100
000×(1+5%)2-m(1+5%)-m=110
250-2.05m.(2)因为100
000×(1+5%)10=1.059m+1.058m+…+m,所以100
000×1.0510=,解得m≈12
950.规律方法
分期付款问题的求解策略分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,此类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同.解决这类问题通常有两种处理方法,一是按欠款数计算,由最后欠款为0列出方程求解;二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列方程求解.变式训练3某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年减少
.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增长
.求n年内的总投入与n年内旅游业的总收入.本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列前n项和性质的应用.(2)等比数列的实际应用.2.方法归纳:整体代换的方法.3.常见误区:等比数列的性质混用;不能正确的建立数列模型.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练181.[探究点一]已知数列{an}是递减的等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a3+a4=9,a2a5=18,则S2·a6=(
)A.54 B.36
C.27
D.18C1234567891011121314151617182.[探究点一]已知等比数列{an}的前n项和为Sn,S4=1,S8=3,则a9+a10+a11+a12等于(
)A.8 B.6 C.4 D.2C解析
显然{an}的公比不是-1.由S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,即1,2,a9+a10+a11+a12成等比数列,∴a9+a10+a11+a12=4.1234567891011121314151617183.[探究点一]一个项数为偶数的等比数列,它的偶数项和是奇数项和的2倍,又它的首项为1,且中间两项的和为24,则此等比数列的项数为(
)A.6 B.8 C.10 D.12B解析
设等比数列的项数为2n项,所有奇数项之和为S奇,所有偶数项之和为S偶,则q==2,又它的首项为1,所以通项为an=2n-1,中间两项的和为an+an+1=2n-1+2n=24,解得n=4,所以项数为8.1234567891011121314151617184.[探究点一]设Sn为等比数列{an}的前n项和,a2-8a5=0,则
的值为(
)C123456789101112131415161718B1234567891011121314151617186.[探究点一]已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且(a1+a3+…+a2n-1)-(a2+a4+…+a2n)=80,则公比q=
.
2解析
设数列{an}的前2n项中,奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶.由题意知S奇+S偶=-240,S奇-S偶=80,∴S奇=-80,S偶=-160,∴q==2.1234567891011121314151617187.[探究点二]为迎接国庆节的到来,某单位要在办公楼外部挂灯笼进行装饰,此办公楼高五层,若在楼的顶层挂4盏灯笼,且相邻的两层中,下一层的灯笼数是上一层灯笼数的两倍,则五层楼一共需要挂
盏灯笼.
124解析
由题意知,各层灯笼数从上到下排成一列构成等比数列{an}(n∈N+,n≤5),由题意知a1=4,公比q=2,所以前5项和为S5==4×(25-1)=124,所以五层楼一共需要挂124盏灯笼.1234567891011121314151617188.[探究点一]已知Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=,S6-S3=14,则a9=
.
641234567891011121314151617189.[探究点一]设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)求a2+a4+…+a2n.
123456789101112131415161718(2)①当c=1时,a2+a4+…+a2n=0.②当c≠1时,数列是以a2为首项,c2为公比的等比数列,123456789101112131415161718B级关键能力提升练10.已知等差数列{an}的前n项和Sn=n2+bn+c,等比数列{bn}的前n项和Tn=3n+d,则向量a=(c,d)的模为(
)A解析
由等差数列与等比数列的前n项和公式知,c=0,d=-1,所以向量a=(c,d)的模为1.123456789101112131415161718A12345678910111213141516171812.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且S10=2,S30=14,则S40=(
)A.20 B.30 C.40 D.50B12345678910111213141516171813.若数列{xn}满足lgxn+1=1+lgxn(n∈N+),且x1+x2+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值等于(
)A.200 B.120
C.110
D.102D12345678910111213141516171814.(多选题)在公比为q的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1=1,a5=27a2,则下列说法正确的是(
)A.q=3B.数列{Sn+2}是等比数列C.S5=121D.2log3an=log3an-2+log3an+2(n≥3)ACD12345678910111213141516171815.
设Sn为等比数列{an}的前n项和.已知,则log2a3+log2a5=
.
212345678910111213141516171816.
在北京冬奥会开幕式上,由所有参赛国家和地区的引导牌“小雪花”与橄榄枝编织而成的主火炬台“大雪花”给全世界留下了深刻印象,以独特浪漫的方式彰显了“一起向未来”的北京冬奥主题和“更高、更快、更强、更团结”的奥林匹克格言.1904年,瑞典数学家科赫把雪花的六角结构理想化,构造出了“雪花曲线”:从一个正三角形开始,把每条边分成三等份,然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形,再去掉底边(如图).反复进行这一过程就可以得到“雪花曲线”.设原正三角形(图①)的边长为1,则图③中的图形比图②中的图形新增的面积为
,如果这个操作过程可以一直继续下去,那么所得图形的面积将趋近于
.
12345678910111213141516171817.
已知数列{an}满足a1=1,an+1=2an+2.(1)证明数列{an+2}是等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)求数列{an}落入区间(10,2023)的所有项的和.
123456789101112131415161718解
(1)由an+1=2an+2,得an+1+2=2(an+2),又因为a1+2=3,所以
=2.所以{an+2}是首项为3,公比为2的等比数列.所以an+2=3×2n-1,an=3×2n-1-2.(2)由题意得10<an<2
023,即10<3×2n-1-2<2
023,解得4<2n-1<675,即3<n≤10,故{an}落入区间(10,2
023)的项为a4,a5,a6,a7,a8,a9,a10,所以其和S=a4+a5+a6+a7+a8+a9+a10=3×(23+24+…+29)-2×7=3×-14=3
034.12345678910111213141516171818.(多选题)如果有
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