考研数学二分类模拟207

考研数学二分类模拟207一、选择题1.

设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，则

A．

B．

C．

D．正确答案：D[解析]积分区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}(如图)。在直角坐标系下，有

故排除A、B两个选项。

在极坐标系下有

故选D。

2.

设函数f(x，y)连续，则二次积分

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]由题设可知，，sinx≤y≤1，可转化为0≤y≤1，π-arcsiny≤x≤π。故选B。

注意，当时，y=sinx的反函数是x=π-arcsiny。

3.

累次积分可写成______

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]原积分域为直线y=x，x+y=2与y轴围成的三角形区域。故选C。

4.

设函数f(x，y)连续，则

A．

B．

C．

D．正确答案：C[解析]的积分区域为两部分(如图)

D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}，

D2={(x，y)|1≤y≤2，y≤x≤4-y}，

将其写成一个积分区域为D={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4-y}。

所以二重积分可以表示为故选C。

5.

设D是第一象限由曲线2xy=1，4xy=1与直线y=x，围成的平面区域，函数f(x，y)在D上连续，则

A．

B．

C．

D．正确答案：B[解析]先作出积分区域的图形，如图所示：

可知θ的取值范围为，r的取值范围为，另外需要注意极坐标和直角坐标之间的变换公式为dxdy=rdθdr。故选B。

本题在极坐标下，计算第一象限内的积分时，r的取值范围应该是从4xy=1到直线2xy=1上，将这两条曲线的方程分别化为极坐标可得4r2sinθcosθ=1和2r2sinθcosθ=1，解得，所以积分下限是，积分上限是。

6.

设函数f(x)连续，若其中区域Duv为图中阴影部分，则

A．vf(u2)

B．

C．vf(u)

D．正确答案：A[解析]题干图形中所示区域用极坐标表示为

0≤θ≤v，1≤r≤u。

因此可知

根据变限积分求导可得故选A。

7.

设f(x)为连续函数，则F'(2)=______A.2f(2)B.f(2)C.-f(2)D.0正确答案：B[解析]交换累次积分的积分次序，得

于是F'(t)=(t-1)f(t)，从而F'(2)=f(2)。故选B。

8.

A．1

B．

C．

D．e-1正确答案：B[解析]积分区域如图所示

交换积分次序

故选B。

二、填空题1.

正确答案：[解析]积分区域如图，则

2.

交换积分次序正确答案：[解析]由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D(如图)-1≤y≤0，1-y≤x≤2。则有

交换积分次序

3.

正确答案：1-sin1[解析]积分区域D如图所示，则有

4.

交换积分次序正确答案：[解析]由题干可知，积分区域如图所示，则有

5.

设f(x)，g(x)是连续函数，正确答案：[解析]因为于是

从而有

6.

将化为极坐标下的二次积分为______。正确答案：[解析]如图所示，则有

7.

已知极坐标系下的累次积分其中a＞0为常数，则I在直角坐标系下可表示为______。正确答案：[解析]先将I表示成用D的极坐标表示

因此可知区域如图所示。

如果按照先y后x的积分次序，则有

因此可得

三、解答题1.

计算二重积分其中D是由x轴，y轴与曲线所围成的区域，a＞0，b＞0。正确答案：解：积分区域D如图的阴影部分所示。

因此

令有x=a(1-t)2，dx=-2a(1-t)dt，故

2.

计算其中D：x2+y2≤2x。正确答案：解：由于积分区域关于x轴对称，3exsiny关于y为奇函数，故

对该积分利用极坐标进行计算可得

3.

计算二重积分其中区域D由曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成。正确答案：解：由题意

令u=cosθ得，原式=

4.

计算二重积分其中

正确答案：解：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图所示。

D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，

则有

利用换元法，记x=sint，则上式

5.

求二重积分其中D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}。正确答案：解：本题所示的积分区域是

D={(x，y)|(x-1)2+(y-1)2≤2，y≥x}。

由(x-1)2+(y-1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，

[解析]适合用极坐标计算的二重积分：区域上，一般为圆域或是与圆相关；函数上，一般形如f(x2+y2)或至少含有x2+y2。若上述两个条件都满足，则必然要使用极坐标进行计算；如果仅满足一个，原则上直角坐标和极坐标都可以使用，但从考试的要求来看，一般还是推荐使用极坐标。

6.

求二重积分其中D是由曲线r=2(1+cosθ)的上半部分与极轴所围成的区域。正确答案：解：积分区域D如图所示，D的极坐标表示是0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此

7.

计算其中D={(x，y)|0≤y≤min{x，1-x}}。正确答案：解：积分区域如图所示，在极坐标中

8.

正确答案：解：设有

因此

9.

计算二重积分其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。正确答案：解：D是正方形区域(如图)。因在D上被积函数可表示为

于是要用分块积分法，用y=x将D分成两块：

D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，