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文档简介
考研数学二分类模拟207一、选择题1.
设函数f(u)连续,区域D={(x,y)|x2+y2≤2y},则
A.
B.
C.
D.正确答案:D[解析]积分区域D={(x,y)|x2+y2≤2y}(如图)。在直角坐标系下,有
故排除A、B两个选项。
在极坐标系下有
故选D。
2.
设函数f(x,y)连续,则二次积分
A.
B.
C.
D.正确答案:B[解析]由题设可知,,sinx≤y≤1,可转化为0≤y≤1,π-arcsiny≤x≤π。故选B。
注意,当时,y=sinx的反函数是x=π-arcsiny。
3.
累次积分可写成______
A.
B.
C.
D.正确答案:C[解析]原积分域为直线y=x,x+y=2与y轴围成的三角形区域。故选C。
4.
设函数f(x,y)连续,则
A.
B.
C.
D.正确答案:C[解析]的积分区域为两部分(如图)
D1={(x,y)|1≤x≤2,x≤y≤2},
D2={(x,y)|1≤y≤2,y≤x≤4-y},
将其写成一个积分区域为D={(x,y)|1≤y≤2,1≤x≤4-y}。
所以二重积分可以表示为故选C。
5.
设D是第一象限由曲线2xy=1,4xy=1与直线y=x,围成的平面区域,函数f(x,y)在D上连续,则
A.
B.
C.
D.正确答案:B[解析]先作出积分区域的图形,如图所示:
可知θ的取值范围为,r的取值范围为,另外需要注意极坐标和直角坐标之间的变换公式为dxdy=rdθdr。故选B。
本题在极坐标下,计算第一象限内的积分时,r的取值范围应该是从4xy=1到直线2xy=1上,将这两条曲线的方程分别化为极坐标可得4r2sinθcosθ=1和2r2sinθcosθ=1,解得,所以积分下限是,积分上限是。
6.
设函数f(x)连续,若其中区域Duv为图中阴影部分,则
A.vf(u2)
B.
C.vf(u)
D.正确答案:A[解析]题干图形中所示区域用极坐标表示为
0≤θ≤v,1≤r≤u。
因此可知
根据变限积分求导可得故选A。
7.
设f(x)为连续函数,则F'(2)=______A.2f(2)B.f(2)C.-f(2)D.0正确答案:B[解析]交换累次积分的积分次序,得
于是F'(t)=(t-1)f(t),从而F'(2)=f(2)。故选B。
8.
A.1
B.
C.
D.e-1正确答案:B[解析]积分区域如图所示
交换积分次序
故选B。
二、填空题1.
正确答案:[解析]积分区域如图,则
2.
交换积分次序正确答案:[解析]由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D(如图)-1≤y≤0,1-y≤x≤2。则有
交换积分次序
3.
正确答案:1-sin1[解析]积分区域D如图所示,则有
4.
交换积分次序正确答案:[解析]由题干可知,积分区域如图所示,则有
5.
设f(x),g(x)是连续函数,正确答案:[解析]因为于是
从而有
6.
将化为极坐标下的二次积分为______。正确答案:[解析]如图所示,则有
7.
已知极坐标系下的累次积分其中a>0为常数,则I在直角坐标系下可表示为______。正确答案:[解析]先将I表示成用D的极坐标表示
因此可知区域如图所示。
如果按照先y后x的积分次序,则有
因此可得
三、解答题1.
计算二重积分其中D是由x轴,y轴与曲线所围成的区域,a>0,b>0。正确答案:解:积分区域D如图的阴影部分所示。
因此
令有x=a(1-t)2,dx=-2a(1-t)dt,故
2.
计算其中D:x2+y2≤2x。正确答案:解:由于积分区域关于x轴对称,3exsiny关于y为奇函数,故
对该积分利用极坐标进行计算可得
3.
计算二重积分其中区域D由曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成。正确答案:解:由题意
令u=cosθ得,原式=
4.
计算二重积分其中
正确答案:解:将极坐标转化为直角坐标,可得积分区域如图所示。
D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤x},
则有
利用换元法,记x=sint,则上式
5.
求二重积分其中D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}。正确答案:解:本题所示的积分区域是
D={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2≤2,y≥x}。
由(x-1)2+(y-1)2≤2,得r≤2(sinθ+cosθ),
[解析]适合用极坐标计算的二重积分:区域上,一般为圆域或是与圆相关;函数上,一般形如f(x2+y2)或至少含有x2+y2。若上述两个条件都满足,则必然要使用极坐标进行计算;如果仅满足一个,原则上直角坐标和极坐标都可以使用,但从考试的要求来看,一般还是推荐使用极坐标。
6.
求二重积分其中D是由曲线r=2(1+cosθ)的上半部分与极轴所围成的区域。正确答案:解:积分区域D如图所示,D的极坐标表示是0≤θ≤π,0≤r≤2(1+cosθ),因此
7.
计算其中D={(x,y)|0≤y≤min{x,1-x}}。正确答案:解:积分区域如图所示,在极坐标中
8.
正确答案:解:设有
因此
9.
计算二重积分其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}。正确答案:解:D是正方形区域(如图)。因在D上被积函数可表示为
于是要用分块积分法,用y=x将D分成两块:
D=D1∪D2,D1=D∩{y≤x},
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