2019-2023历年高考真题分类专题03 导数及其应用(选填题)(文科)(解析版)_第1页
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资料收集整理【淘宝店铺:向阳百分百】资料收集整理【淘宝店铺:向阳百分百】五年(2019-2023)年高考真题分项汇编专题03导数及应用(选填小题)函数导数应用是高考必考知识点考点01利用导数求函数单调性,极值最值1.(2023年全国新高考Ⅱ卷数学)已知函数在区间上单调递增,则a的最小值为(

).A. B.e C. D.【答案】C【分析】根据在上恒成立,再根据分参求最值即可求出.【详解】依题可知,在上恒成立,显然,所以,设,所以,所以在上单调递增,,故,即,即a的最小值为.故选:C.2.(2023年全国高考乙卷数学(文)试题)函数存在3个零点,则的取值范围是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】写出,并求出极值点,转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】,则,若要存在3个零点,则要存在极大值和极小值,则,令,解得或,且当时,,当,,故的极大值为,极小值为,若要存在3个零点,则,即,解得,故选:B.3.(2023年全国高考甲卷数学(文)试题)曲线在点处的切线方程为(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】先由切点设切线方程,再求函数的导数,把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率,代入所设方程即可求解.【详解】设曲线在点处的切线方程为,因为,所以,所以所以所以曲线在点处的切线方程为.故选:C4.(2022年全国高考甲卷数学(文)试题)当时,函数取得最大值,则(

)A. B. C. D.1【答案】B【分析】根据题意可知,即可解得,再根据即可解出.【详解】因为函数定义域为,所以依题可知,,,而,所以,即,所以,因此函数在上递增,在上递减,时取最大值,满足题意,即有.故选:B.5.(2021年全国高考甲卷数学(文)试题)设,若为函数的极大值点,则(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】先考虑函数的零点情况,注意零点左右附近函数值是否变号,结合极大值点的性质,对进行分类讨论,画出图象,即可得到所满足的关系,由此确定正确选项.【详解】若,则为单调函数,无极值点,不符合题意,故.有和两个不同零点,且在左右附近是不变号,在左右附近是变号的.依题意,为函数的极大值点,在左右附近都是小于零的.当时,由,,画出的图象如下图所示:

由图可知,,故.当时,由时,,画出的图象如下图所示:

由图可知,,故.综上所述,成立.故选:D6.(2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题)若过点可以作曲线的两条切线,则(

)A. B.C. D.【答案】D【分析】解法一:根据导数几何意义求得切线方程,再构造函数,利用导数研究函数图象,结合图形确定结果;解法二:画出曲线的图象,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.【详解】在曲线上任取一点,对函数求导得,所以,曲线在点处的切线方程为,即,由题意可知,点在直线上,可得,令,则.当时,,此时函数单调递增,当时,,此时函数单调递减,所以,,由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示:

由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.故选:D.解法二:画出函数曲线的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选:D..7.(2019年全国高考Ⅱ卷(文)数学试题)若x1=,x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点,则=A.2 B.C.1 D.【答案】A【分析】从极值点可得函数的周期,结合周期公式可得.【详解】由题意知,的周期,得.故选A.【点睛】本题考查三角函数的极值、最值和周期,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取公式法,利用方程思想解题.8.(2019年全国高考Ⅱ卷(文)数学试题)曲线y=2sinx+cosx在点(π,–1)处的切线方程为A. B.C. D.【答案】C【分析】先判定点是否为切点,再利用导数的几何意义求解.【详解】当时,,即点在曲线上.则在点处的切线方程为,即.故选C.【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程,渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养.采取导数法,利用函数与方程思想解题.学生易在非切点处直接求导数而出错,首先证明已知点是否为切点,若是切点,可以直接利用导数求解;若不是切点,设出切点,再求导,然后列出切线方程.9.(2019年全国高考Ⅲ卷(文)数学试题)已知曲线在点处的切线方程为,则A. B. C. D.【答案】D【解析】通过求导数,确定得到切线斜率的表达式,求得,将点的坐标代入直线方程,求得.【详解】详解:,将代入得,故选D.【点睛】本题关键得到含有a,b的等式,利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系.二、填空题10.(2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题)若曲线有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________________.【答案】【分析】设出切点横坐标,利用导数的几何意义求得切线方程,根据切线经过原点得到关于的方程,根据此方程应有两个不同的实数根,求得的取值范围.【详解】∵,∴,设切点为,则,切线斜率,切线方程为:,∵切线过原点,∴,整理得:,∵切线有两条,∴,解得或,∴的取值范围是,故答案为:11.(2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题)函数的最小值为______.【答案】1【分析】由解析式知定义域为,讨论、、,并结合导数研究的单调性,即可求最小值.【详解】由题设知:定义域为,∴当时,,此时单调递减;当时,,有,此时单调递减;当时,,有,此时单调递增;又在各分段的界点处连续,∴综上有:时,单调递减,时,单调递增;∴故答案为:1.12.(2022年全国高考Ⅰ卷(文)数学试题)曲线的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为______________.【答案】【分析】设切线的切点坐标为,对函数求导,利用,求出,代入曲线方程求出,得到切线的点斜式方程,化简即可.【详解】设切线的切点坐标为,,所以切点坐标为,所求的切线方程为,即.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,属于基础题.13.(2019年全国高考Ⅲ卷(文)数学试题)设函数.若,则a=_________.【答案】1【分析】由题意首先求得导函数的解析式,然后得到关于实数a的方程,解方程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得:,则:,据此可得:,整理可得:,解得:.故答案为:.【点睛】本题主要考查导数的运算法则,导数的计算,方程的数学思想等知识,属于中等题.14.(2019年全国高考Ⅰ卷(文)数学试题)曲线在点处的切线方程为___________.【答案】.【分析】本题根据导数的几何意义,通过求导数,确定得到切线的斜率,利用直线方程的点斜式求得切线方程【详解】详解:所以,所以,曲线在点处的切线方程为,即.【点睛】准确求导数是进一步计算的基础,本题易因为导数的运算法则掌握不熟,二导致计算错误.求导要“慢”,计算要准,是解答此类问题的基本要求.考点02构造函数利用导数求单调性比较大小1.(2023年全国高考甲卷数学(文)试题)已知函数.记,则(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小,再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令,则开口向下,对称轴为,因为,而,所以,即由二次函数性质知,因为,而,即,所以,综上,,又为增函数,故,即.故选:A.2.(2022年全国高考甲卷数学(文)试题)已知,则(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】法一:根据指对互化以及对数函数的单调性即可知,再利用基本不等式,换底公式可得,,然后由指数函数的单调性即可解出.【详解】[方法一]:(指对数函数性质)由可得,而,所以,即,所以.又,所以,即,所以.综上,.[方法二]:【最优解】(构造函数)由,可得.根据的形式构造函数,则,令,解得,由知.在上单调递增,所以,即,又因为,所以.故选:A.【点评】法一:通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较,方法直接常用,属于通性通法;法二:利用的形式构造函数,根据函数的单调性得出大小关系,简单明了,是该题的最优解.3.(2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题)设,则(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】构造函数,导数判断其单调性,由此确定的大小.【详解】方法一:构造法设,因为,当时,,当时,所以函数在单调递减,在上单调递增,所以,所以,故,即,所以,所以,故,所以,故,设,则,令,,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增,又,所以当时,,所以当时,,函数单调递增,所以,即,所以故选:C.方法二:比较法解:,,,①,令则,故在上单调递减,可得,即,所以;②,令则,令,所以,所以在上单调递增,可得,即,所以在上单调递增,可得,即,所以故4.(2021年全国高考Ⅱ卷(文)数学试题)已知,,,则下列判断正确的是(

)A. B. C. D.【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系,由此可得出结论.【详解】,即.故选:C.5.(2020年全国高考Ⅱ卷(文)数学试题)若,则(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】将不等式变为,根据的单调性知,以此去判断各个选项中真数与的大小关系,进而得到结果.【详解】由得:,令,为上的增函数,为上的减函数,为上的增函数,,,,,则A正确,B错误;与的大小不确定,故CD无法确定.故选:A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得到的大小关系,考查了转化与化归的数学思想.6.(2020年全国高考Ⅲ卷(文)数学试题)设,,,则(

)A. B. C. D.【答案】A【分析】分别将,改写为,,再利用单调性比较即可.【详解】因为,,所以.故选:A.【点晴】本题考查对数式大小的比较,考查学生转化与化归的思想,是一道中档题.7.(2019年全国高考Ⅲ卷(文)数学试题)设是定义域为的偶函数,且在单调递减,则A.B.C.D.【答案】C【解析】由已知函数为偶函数,把,转化为同一个单调区间上,再比较大小.【详解】是R的偶函数,.,又在(0,+∞)单调递减,∴,,故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性,解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值.考点03导数综合应用1.(2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题)函数的最小值为______.【答案】1【分析】由解析式知定义域为,讨论、、,并结合导数研究的单调性,即可求最小值.【详解】由题设知:定义域为,∴当时,,此时单调递减;当时,,有,此时单调递减;当时,,有,此时单调递增;又在各分段的界点处连续,∴综上有:时,单调递减,时,单调递增;∴故答案为:1.2.(2023·天津·统考高考真题)若函数有且仅有两个零点,则的取值范围为_________.【答案】【分析】根据绝对值的意义,去掉绝对值,求出零点,再根据根存在的条件即可判断的取值范围.【详解】(1)当时,,即,若时,,此时成立;若时,或,若方程有一根为,则,即且;若方程有一根为,则,解得:且;若时,,此时成立.(2)当时,,即,若时,,显然不成立;若时,或,若方程有一根为,则,即;若方程有一根为,则,解得:;若时,,显然不成立;综上,当时,零点为,;当时,零点为,;当时,只有一个零点;当时,零点为,;当时,只有一个零点;当时,零点为,;当时,零点为.所以,当函数有两个零点时,且.故答案为:.【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值,求出方程的根,再根据根存在的条件求出对应的范围,然后根据范围讨论根(或零点)的个数,从而解出.3.(2021·北京·统考高考真题)已知函数,给出下列四个结论:①若,恰有2个零点;②存在负数,使得恰有1个零点;③存在负数,使得恰有3个零点;④存在正数,使得恰有3个零点.其中所有正确结论的序号是_______.【答案】①②④【分析】由可得出,考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形,利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①,当时,由,可得或,①正确;对于②,考查直线与曲线相切于点,对函数求导得,由题意可得,解得,所以,存在,使得只有一个零点,②正确;对于③,当直线过点时,,解得,所以,当时,直线与曲线有两个交点,若函

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