高中数学 2.1 从平面向量到空间向量基础达标 北师大版选修2-1

【成才之路】-学年高中数学2.1从平面向量到空间向量基础达标北师大版选修2-1一、选择题1．若空间向量a与向量b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向 B．有不相等的模C．不可能是平行向量 D．不可能都是零向量[答案]D[解析]a，b不相等，可能方向不同，也可能模不相等，所以A，B，C都不正确，只有D正确．2．若命题M：eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))；命题N：四边形ABB′A′是平行四边形，则M是N的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件[答案]B[解析]由四边形ABB′A′是平行四边形，可得eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→)).但是由eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))，只能说明eq\o(AA′,\s\up6(→))与eq\o(BB′,\s\up6(→))是相等向量，eq\o(AA′,\s\up6(→))与eq\o(BB′,\s\up6(→))所在的直线可能平行或共线，并不一定构成平行四边形ABB′A′，所以M是N的必要不充分条件．3．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))、eq\o(A1C1,\s\up6(→))是()A．有相同起点的向量 B．等长向量C．共面向量 D．不共面向量[答案]C[解析]先画出平行六面体的图像，可看出向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))在平面ACD1上，由于向量eq\o(A1C1,\s\up6(→))平行于eq\o(AC,\s\up6(→))，所以向量eq\o(A1C1,\s\up6(→))经过平移可以移到平面ACD1上，因此向量eq\o(D1A,\s\up6(→))、eq\o(D1C,\s\up6(→))、eq\o(A1C1,\s\up6(→))为共面向量．二、填空题4．下列有关平面法向量的说法中，正确的是________(填写相应序号)．①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；②一个平面的所有法向量互相平行；③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；④如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．[答案]①②③[解析]当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故④错误．5．在长方体中，从同一顶点出发的三条棱长分别为1,2,3，在以长方体的两个顶点为起点和终点的向量中，模为1的向量有________个．[答案]8[解析]研究长方体模型可知，棱长为1的棱有4条，故模为1的向量有8个．三、解答题6.如图，正方体ABCD—EHGF，求出平面ABCD所有的法向量，并求出〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉、〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))〉．[分析]根据法向量的概念求解，若直线l垂直于平面ABCD，那么任何与直线l平行的非零向量都为法向量．[解析]平面ABCD所有的法向量有eq\o(DF,\s\up6(→))、eq\o(CG,\s\up6(→))、eq\o(BH,\s\up6(→))、eq\o(AE,\s\up6(→))、eq\o(FD,\s\up6(→))、eq\o(GC,\s\up6(→))、eq\o(HB,\s\up6(→))、eq\o(EA,\s\up6(→)).由于正方体的三条棱DA、DC、DF互相垂直，所以〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))〉＝90°，〈eq\o(DA,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))〉＝90°.一、选择题1．下列说法中正确的是()A．任意两个空间向量都可以比较大小B．方向不同的空间向量不能比较大小，但同向的空间向量可以比较大小C．空间向量的大小与方向有关D．空间向量的模可以比较大小[答案]D[解析]任意两个空间向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，故A、B不正确；向量的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确；由于向量的模是一个实数，故可以比较大小．2．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么与直线AMA．eq\o(CN,\s\up6(→)) B．BCC．eq\o(CC1,\s\up6(→)) D．eq\o(B1C1,\s\up6(→))[答案]D[解析]由于所求的是向量，所以首先排除B，在剩下的三个选项中，通过正方体的图形可知D项正确．3．已知正方形ABCD的边长为4，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则向量eq\o(AG,\s\up6(→))的模为()A．6 B．9C．4eq\r(2) D．5[答案]A[解析]GC⊥平面ABCD，所以GC⊥AC.在Rt△GAC中，AC＝4eq\r(2)，GC＝2，所以AG＝eq\r(AC2＋GC2)＝6，即|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝6.4．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线ABA．8个 B．7个C．6个 D．5个[答案]A[解析]与向量eq\o(AB,\s\up6(→))平行的向量就是直线AB的方向向量，有eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))，eq\o(B1A1,\s\up6(→))，eq\o(C1D1,\s\up6(→))，eq\o(D1C1,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，共8个，所以选A.[点评]直线的方向向量就是与直线平行的非零向量，对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的．5.eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的一个必要不充分条件是()A．A与C重合 B．A与C重合，B与D重合C．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))| D．A，B，C，D四点共线[答案]C[解析]向量相等只需方向相同，长度相等，而与表示向量的有向线段的起点、终点的位置无关．表示两个共线向量的两条有向线段所在的直线平行或重合，不能得到四点共线．二、填空题6．在下列命题中：①若a、b为共面向量，则a、b所在的直线平行；②若向量a、b所在直线是异面直线，则a、b一定不共面；③平面的法向量不唯一，但它们都是平行的；④平行于一个平面的向量垂直于这个平面的法向量．其中正确命题的个数为________．[答案]2[解析]①②是错误的，共面向量所在的直线不一定平行，只要能平移到一个平面内就可以．7．如图，在正四棱台ABCD—A1B1C1D1中，O、O1分别是对角线AC，A1C1的中点，则〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝________，〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(O1C1,\s\up6(→))〉＝________，〈eq\o(OO1,\s\up6(→))，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝________.[答案]0°0°90°[解析]由题意得eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))方向相同，是在同一条直线AC上，故〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝0°；eq\o(O1C1,\s\up6(→))可平移到直线AC上，与eq\o(OC,\s\up6(→))重合，故〈eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(O1C1,\s\up6(→))〉＝0°；由题意知OO1是正四棱台ABCD—A1B1C1D1的高，故OO1⊥平面A1B1C1D1，所以OO1⊥A1B1，故〈OO1，eq\o(A1B1,\s\up6(→))〉＝90°.三、解答题8．一飞机从地面以45°倾角斜着升空，再水平向东飞行一段距离后，然后又水平向正北方向飞行，这样三次移动eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))是三个空间向量．问：(1)三个向量哪个与水平面平行？(2)〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉、〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉和〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉的值是多少？[分析]应把实际问题抽象为数学问题，飞机水平飞行时与水平面平行，由图可知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))在同一平面内，并且向量eq\o(CD,\s\up6(→))垂直于这个平面α.[解析](1)飞机水平飞行时所经过的路线与水平面平行，因而三个向量中eq\o(BC,\s\up6(→))和eq\o(CD,\s\up6(→))平行于水平面α.(2)由于向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BC,\s\up6(→))在同一平面内，设为平面β，又由于eq\o(CD,\s\up6(→))为正北方向，所以eq\o(CD,\s\up6(→))垂直于平面β，即eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→))和eq\o(AB,\s\up6(→))⊥eq\o(CD,\s\up6(→)).因为eq\o(AB,\s\up6(→))与水平面的夹角为45°，所以得：〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝45°，〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝90°，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝90°.9．如图所示，正四棱锥P—ABCD的底面边长为1.(1)试判断向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))中哪个是单位向量；(2)举出与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．[解析](1)单位向量即模为1的向量，则eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))都是单位向量．(2)由于向量eq\o(DC,\s\up6(→))与向量eq\o(AB,\s\up6(→))方向相同，且模都为1，故eq\o(DC,\s\up6(→))是与向量eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量．10．如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，F是D1B1(1)问：向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(DF,\s\up6(→))是否为共面向量？(2)求〈eq\o(BE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉；(3)写出平面BB1C[解析](1)向量eq\o(DF,\s\up6(→))在平面D1B1BD上，由于向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))平行于平面D1B1BD，所以向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(DF,\s\up6(→))都能够平移到平面D1B1BD上，即向量eq\o(AA1,\s\up6(→))、eq\o(CC1,\s\up6(→))、eq\o(DF,\s\up6(→))是共面向量．(2)在正方体ABC