高中数学 1.2.2 第2课时组合(二)同步测试 新人教A版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学1.2.2第2课时组合(二)同步测试新人教A版选修2-3一、选择题1．(·福州文博中学高二期末)盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则抽出1个白球和2个红球的概率是()A．eq\f(10,63) B．eq\f(11,21)C．eq\f(5,14) D．eq\f(10,21)[答案]D[解析]从9个球中任取3个球有Ceq\o\al(3,9)种取法，其中含有1白球2红球的取法有Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5)种，∴所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,5),C\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).2．(·景德镇市高二质检、河南安阳中学期中)12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是()A．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,3) B．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(6,6)C．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6) D．Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,5)[答案]C[解析]第一步从后排8人中抽2人有Ceq\o\al(2,8)种抽取方法，第二步前排共有6个位置，先从中选取2个位置排上抽取的2人，有Aeq\o\al(2,6)种排法，最后把前排原4人按原顺序排在其他4个位置上，只有1种安排方法，∴共有Ceq\o\al(2,8)Aeq\o\al(2,6)种排法．3．从编号为1、2、3、4的四种不同的种子中选出3种，在3块不同的土地上试种，每块土地上试种一种，其中1号种子必须试种，则不同的试种方法有()A．24种 B．18种C．12种 D．96种[答案]B[解析]先选后排Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)＝18，故选B.4．把0、1、2、3、4、5这六个数，每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有()A．40个 B．120个C．360个 D．720个[答案]A[解析]先选取3个不同的数有Ceq\o\al(3,6)种方法，然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有Aeq\o\al(2,2)种排法，故共有Ceq\o\al(3,6)Aeq\o\al(2,2)＝40个三位数．5．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A．10 B．11C．12 D．15[答案]B[解析]与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息包括三类：第一类：与信息0110只有两个对应位置上的数字相同，有Ceq\o\al(2,4)＝6(个)；第二类：与信息0110只有一个对应位置上的数字相同，有Ceq\o\al(1,4)＝4(个)；第三类：与信息0110没有对应位置上的数字相同，有Ceq\o\al(0,4)＝1(个)；综上知，与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息有6＋4＋1＝11(个)．6．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有()A．70种 B．80种C．100种 D．140种[答案]A[解析]可分两类，男医生2名，女医生1名或男医生1名，女医生2名，∴共有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝70，∴选A.二、填空题7．一排7个座位分给3人坐，要求任何两人都不得相邻，所有不同排法的总数有________种．[答案]60[解析]对于任一种坐法，可视4个空位为0,3个人为1,2,3则所有不同坐法的种数可看作4个0和1,2,3的一种编码，要求1,2,3不得相邻故从4个0形成的5个空档中选3个插入1,2,3即可．∴不同排法有Aeq\o\al(3,5)＝60种．8．已知集合A＝{x|1≤x≤9，且x∈N}，若p、q∈A，e＝logpq，则以e为离心率的不同形状的椭圆有________________个．[答案]26[解析]由于e∈(0,1)，∴9≥p>q>1，当q＝2时，p＝3、4、…、9，椭圆的不同形状有7个；当q＝3时，p＝4、5、…、9，椭圆的不同形状有6个；当q＝4时，p＝5、6、…、9，椭圆的不同形状有5个；当q＝5时，p＝6、7、8、9，椭圆的不同形状有4个；当q＝6时，p＝7、8、9，椭圆的不同形状有3个；当q＝7时，p＝8、9，椭圆的不同形状有2个；当q＝8时，p＝9，椭圆的不同形状有1个；其中log42＝log93，log32＝log94，∴共有(7＋6＋5＋4＋3＋2＋1)－2＝26个．[点评]上面用的枚举解法，也可由p、q∈A，e＝logpq∈(0,1)知9≥p>q>1，因此问题成为从2至9这8个数字中任取两个数字并作一组的不同取法．∴有Ceq\o\al(2,8)－2＝26个．三、解答题9．(·八一中学高二期末)袋中装有m个红球和n个白球(m≥n≥2)，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，从袋中同时取出2个球．(1)若取出的两个球都是红球的概率是取出的两个球是1红1白的概率的整数倍，试证：m必为奇数．(2)若取出的球是同色球的概率等于取出不同色球的概率，试求适合m＋n≤40的所有数组(m，n)．[解析](1)证明：由eq\f(\f(C\o\al(2,m),C\o\al(2,m＋n)),\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n)))＝k(k∈Z)得m＝2kn＋1，∵k∈Z，n∈N，∴m必为奇数．(2)由eq\f(C\o\al(2,m)＋C\o\al(2,n),C\o\al(2,m＋n))＝eq\f(C\o\al(1,m)C\o\al(1,n),C\o\al(2,m＋n))得(m－n)2＝m＋n，∴m＋n为完全平方数，又∵m＋n≤40，m>n≥2，∴m＋n＝36或25或16或9或4m－n＝6或5或4或3或2，符合题意的数组共四组，结果为(21,15)，(15,10)，(10,6)，(6,3)．10．在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，边ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O点)为顶点，可以得到多少个三角形？[解析]解法1：(直接法)分几种情况考虑：O为顶点的三角形中，必须另外两个顶点分别在OM、ON上，所以有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)个，O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)个，一个顶点在OM上，两个顶点在ON上有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)个．由分类加法计数原理知，共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝5×4＋10×4＋5×6＝90(个)．解法2：(间接法)先不考虑共线点的问题，从10个不同元素中任取三点的组合数是Ceq\o\al(3,10)，但其中OM上的6个点(含O点)中任取三点不能得到三角形，ON上的5个点(含O点)中任取3点也不能得到三角形，所以共可以得到Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)个，即Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)＝eq\f(10×9×8,1×2×3)－eq\f(6×5×4,1×2×3)－eq\f(5×4,1×2)＝120－20－10＝90(个)．解法3：也可以这样考虑，把O点看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O点)中取2点，ON上的4点(不含O点)中取一点，可得Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)个三角形，再从OM上的5点(不含O点)中取一点，从ON上的4点(不含O点)中取两点，可得Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)个三角形，所以共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝15×4＋5×6＝90(个)．一、选择题11．(·河南安阳中学高二期中)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1、2、3、…、18的18名火炬手，若从中任选3人，则选出的火炬手的编号能组成以3为公差的等差数列的概率为()A．eq\f(1,51) B．eq\f(1,68)C．eq\f(1,306) D．eq\f(1,408)[答案]B[解析]从18人中任选3人，有Ceq\o\al(3,18)种选法，选出的3人编号能构成公差为3的等差数列有12种情形)，∴所求概率P＝eq\f(12,C\o\al(3,18))＝eq\f(1,68).12．以圆x2＋y2－2x－2y－1＝0内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数为()A．76 B．78C．81 D．84[答案]A[解析]如图，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝3，圆内共有9个整数点，组成的三角形的个数为Ceq\o\al(3,9)－8＝76.故选A.13．(·合肥八中联考)将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有()A．10种 B．20种C．36种 D．52种[答案]A[解析]根据2号盒子里放球的个数分类：第一类，2号盒子里放2个球，有Ceq\o\al(2,4)种放法，第二类，2号盒子里放3个球，有Ceq\o\al(3,4)种放法，剩下的小球放入1号盒中，共有不同放球方法Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＝10种．14．(·揭阳一中高二联考)编号为1、2、3、4、5的五个人，分别坐在编号为1、2、3、4、5的座位上，则至多有两个号码一致的坐法种数为()A．120 B．119C．110 D．109[答案]D[解析]5个人坐在5个座位上，共有不同坐法Aeq\o\al(5,5)种，其中3个号码一致的坐标有Ceq\o\al(3,5)种，有4个号码一致时必定5个号码全一致，只有1种，故所求种数为Aeq\o\al(5,5)－Ceq\o\al(3,5)－1＝109.二、填空题15．北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望小学，每所小学至少得到2台，共有________________种不同送法．[答案]10[解析]每校先各得一台，再将剩余6台分成3份，用插板法解，共有Ceq\o\al(2,5)＝10种．16．(·辽宁省协作联校三模)航空母舰“辽宁舰”在某次飞行训练中，有5架歼－15飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而甲、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．[答案]36种[解析]∵甲、乙相邻，∴将甲、乙看作一个整体与其他3个元素全排列，共有2Aeq\o\al(4,4)＝48种，其中甲、乙相邻，且甲、丙相邻的只能是甲、乙、丙看作一个整体，甲中间，有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)＝12种，∴共有不同着舰方法48－12＝36种．三、解答题17．(·景德镇市高二质检)7名身高互不相等的学生，分别按下列要求排列，各有多少种不同的排法？(1)7人站成一排，要求最高的站在中间，并向左、右两边看，身高逐个递减；(2)任取6名学生，排成二排三列，使每一列的前排学生比后排学生矮．[解析](1)第一步，将最高的安排在中间只有1种方法；第二步，从剩下的6人中选取3人安排在一侧有Ceq\o\al(3,6)种选法，对于每一种选法只有一种安排方法，第三步，将剩下3人安排在另一侧，只有一种安排方法，∴共有不同安排方案Ceq\o\al(3,6)＝20种．(2)第一步从7人中选取6人，有Ceq\o\al(6,7)种选法；第二步从6人中选2人排一列有Ceq\o\al(2,6)种排法，第三步，从剩下的4人中选2人排第二列有Ceq\o\al(2,4)种排法，最后将剩下2人排在第三列，只有一种排法，故共有不同排法Ceq\o\al(6,7)·Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)＝630种．18．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．[分析]由题目可获取以下主要信息：①9本不同的课外书分给甲、乙丙三名同学；②题目中的3个问题的条件不同．解答本题先判断是否与顺序有关，然后利用相关的知识去解答．[解析](1)分三步完成：第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有Ceq\o\al(4,9)种方法；第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有Ceq\o\al(3,5)种方法；第三步：把剩下的书给丙有Ceq\o\al(2,2)种方法，∴共有不同的分法有Ceq\o\al(4,9)