高中数学 1.2.2 第1课时组合(一)同步测试 新人教A版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学1.2.2第1课时组合(一)同步测试新人教A版选修2-3一、选择题1．若Ceq\o\al(x,6)＝Ceq\o\al(2,6)，则x的值为()A．2 B．4C．4或2 D．3[答案]C[解析]由组合数性质知x＝2或x＝6－2＝4，故选C.2．(·陕西理，6)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(4,5)[答案]C[解析]如图，基本事件共有Ceq\o\al(2,5)＝10个，小于正方形边长的事件有OA、OB、OC、OD共4个，∴P＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).3．(·宝鸡中学高二期末)Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)等于()A．Ceq\o\al(2,15) B．Ceq\o\al(3,16)C．Ceq\o\al(3,17) D．Ceq\o\al(4,17)[答案]C[解析]原式＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(2,16)＝…＝Ceq\o\al(3,16)＋Ceq\o\al(2,16)＝Ceq\o\al(3,17).4．平面上有12个点，其中没有3个点在一条直线上，也没有4个点共圆，过这12个点中的每三个作圆，共可作圆()A．220个 B．210个C．200个 D．1320个[答案]A[解析]Ceq\o\al(3,12)＝220，故选A.5．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有()A．36种 B．30种C．42种 D．60种[答案]A[解析]解法1(直接法)：选出的3名志愿者中含1名女生有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,6)种选法，含2名女生有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,6)种选法，∴共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,6)＝36种选法．解法2(间接法)：若选出的3名全是男生，则有Ceq\o\al(3,6)种选法，∴至少有一名女生的选法数为Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,6)＝36种．6．将标号为1、2、3、4、5、6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张卡片，其中标号为1、2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有()A．12种 B．18种C．36种 D．54种[答案]B[解析]由题意，不同的放法共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)＝3×eq\f(4×3,2)＝18种．二、填空题7．方程Ceq\o\al(x,17)－Ceq\o\al(x,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)的解集是________．[答案]{5}[解析]因为Ceq\o\al(x,17)＝Ceq\o\al(x,16)＋Ceq\o\al(x－1,16)，所以Ceq\o\al(x－1,16)＝Ceq\o\al(2x＋2,16)，由组合数公式的性质，得x－1＝2x＋2或x－1＋2x＋2＝16，得x1＝－3(舍去)，x2＝5.8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B，若eq\f(B,A)＝eq\f(2,13)，则这组学生共有________人．[答案]15[解析]设有学生n人，则eq\f(A\o\al(2,n),C\o\al(4,n))＝eq\f(2,13)，解之得n＝15.9．7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)[答案]140[解析]第一步安排周六有Ceq\o\al(3,7)种方法，第二步安排周日有Ceq\o\al(3,4)种方法，所以不同的安排方案共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(3,4)＝140种．三、解答题10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，(1)以其中任意2个点为端点的线段有多少条？(2)以其中任意两个点为端点的有向线段有多少条？(3)以其中任意三个点为顶点的三角形有多少个？[解析](1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,2×1)＝45(条)，即以10个点中的任意2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90(条)，即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．(3)所求三角形的个数，即从10个元素中任选3个元素的组合数，共有Ceq\o\al(3,10)＝120(个)．一、选择题11．(·大纲全国理，5)有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有()A．60种 B．70种C．75种 D．150种[答案]C[解析]本题考查了分步计数原理和组合的运算，从6名男医生中选2人有Ceq\o\al(2,6)＝15种选法，从5名女医生选1人有Ceq\o\al(1,5)＝5种选法，所以由分步乘法计数原理可知共有15×5＝75种不同的选法．12．(·秦安县西川中学高二期中)某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同英文字母可以相同的牌照号码共有()A．(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个 B．Aeq\o\al(2,26)Aeq\o\al(4,10)个C．(Ceq\o\al(1,26))2104个 D．Aeq\o\al(2,26)104个[答案]A[解析]∵前两位英文字母可以重复，∴有(Ceq\o\al(1,26))2种排法，又∵后四位数字互不相同，∴有Aeq\o\al(4,10)种排法，由分步乘法计数原理知，共有不同牌照号码(Ceq\o\al(1,26))2Aeq\o\al(4,10)个．13．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有()A．18对 B．24对C．30对 D．36对[答案]D[解析]三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成Ceq\o\al(4,6)－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12×3＝36对．二、填空题14．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有________种(用数字作答)．[答案]144[解析]先从四个小球中取两个放在一起，有Ceq\o\al(2,4)种不同的取法，再把取出的两个小球与另外两个小球看作三堆，并分别放入四个盒子中的三个盒子中，有Aeq\o\al(3,4)种不同的放法，据分步计数原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)＝144种不同的放法．[点评]对于排列组合的混合应用题，一般解法是先选(组合)后排(排列)．15．某书店有11种杂志，2元1本的有8种，1元1本的有3种．小张买杂志用去10元钱，则不同买法的种数为________(用数字作答)．[答案]266[解析]由已知分两类情况：(1)买5本2元的买法种数为Ceq\o\al(5,8).(2)买4本2元的、2本1元的买法种数为Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(2,3).故不同买法种数为Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(2,3)＝266.三、解答题16．(1)解方程：Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)；(2)解不等式：Ceq\o\al(x－1,8)>3Ceq\o\al(x,8).[解析](1)原方程等价于m(m－1)(m－2)＝6×eq\f(mm－1m－2m－3,4×3×2×1)，∴4＝m－3，m＝7.(2)由已知得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≤8,x≤8))，∴x≤8，且x∈N＋，∵Ceq\o\al(x－1,8)>3Ceq\o\al(x,8)，∴eq\f(8！,x－1！9－x！)>eq\f(3×8！,x！8－x！).即：eq\f(1,9－x)>eq\f(3,x)，∴x>3(9－x)，解得x>eq\f(27,4)，∴x＝7,8.∴原不等式的解集为{7,8}．17．已知集合A＝{a1，a2，a3，a4}，B＝{0,1,2,3}，f是从A到B的映射．(1)若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？(2)若B中的元素0无原象，则不同的映射f有多少个？(3)若f满足f(a1)＋f(a2)＋f(a3)＋f(a4)＝4，则不同的映射f又有多少个？[解析](1)显然映射f是一一对应的，故不同的映射f共有Aeq\o\al(4,4)＝24个．(2)∵0