高中数学 1.1.3导数的几何意义同步测试 新人教A版选修2-2

【成才之路】-学年高中数学1.1.3导数的几何意义同步测试新人教A版选修2-2一、选择题1．(·济宁梁山一中期中)已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则点A处的切线斜率等于()A．0 B．2C．4 D．6[答案]D[解析]Δy＝2(1＋Δx)3－2×13＝6(Δx)＋6(Δx)2＋(Δx)3，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[(Δx)2＋6Δx＋6]＝6，故选D.2．(·安阳中学期末)设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1 B．eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1[答案]A[解析]∵y′|x＝1＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→1))eq\f(a1＋Δx2－a×12,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2aΔx＋aΔx2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))(2a＋aΔx)＝2a，∴2a＝2，∴a3．曲线y＝eq\f(1,3)x3－2在点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(5,3)))处切线的倾斜角为()A．1 B．eq\f(π,4)C．eq\f(5,4)π D．－eq\f(π,4)[答案]B[解析]∵y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f([\f(1,3)x＋Δx3－2]－\f(1,3)x3－2,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))[x2＋xΔx＋eq\f(1,3)(Δx)2]＝x2，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝1.∴切线的倾斜角为eq\f(π,4)，故应选B.4．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴斜交[答案]B[解析]由导数的几何意义知B正确，故应选B.5．设f(x)为可导函数且满足eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为()A．2 B．－1C．1 D．－2[答案]B[解析]eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝eq\o(lim,\s\do4(x→0))eq\f(f1－2x－f1,－2x)＝eq\o(lim,\s\do4(－2x→0))eq\f(f[1＋－2x]－f1,－2x)＝f′(1)＝－1.6．曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．－3C．9 D．15[答案]C[解析]因为y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3＋11－x3＋11,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))((Δx)2＋3xΔx＋3x2)＝3x2，所以切线的斜率k＝f′(1)＝3，又因为切点为P(1,12)，故切线方程为3x－y＋9＝0，令x＝0，得y＝9.二、填空题7．已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.[答案]12[解析]f′(2)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2＋Δx3＋2－23－2,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(2＋Δx－2[2＋Δx2＋2＋Δx·2＋22],Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[4＋4Δx＋(Δx)2＋4＋2Δx＋4]＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))[12＋6Δx＋(Δx)2]＝12.8．曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________．[答案]54[解析]因为f′(3)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(3＋Δx3－33,Δx)＝27，所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)即y＝27x－54.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq\f(1,2)×2×54＝54.9．若函数f(x)＝x－eq\f(1,x)，则它与x轴交点处的切线的方程为________．[答案]2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0[解析]由f(x)＝x－eq\f(1,x)＝0得x＝±1，即与x轴交点坐标为(1,0)或(－1,0)．∵f′(x)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx－\f(1,x＋Δx)－x＋\f(1,x),Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,xx＋Δx)))＝1＋eq\f(1,x2).∴切线的斜率k＝1＋eq\f(1,1)＝2.∴切线的方程为y＝2(x－1)或y＝2(x＋1)．即2x－y－2＝0或2x－y＋2＝0.三、解答题10．求曲线y＝eq\f(1,x)－eq\r(x)上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))处的切线方程．[解析]∴y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x＋Δx)－\f(1,x)))－\r(x＋Δx)－\r(x),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\f(－Δx,xx＋Δx)－\f(Δx,\r(x＋Δx)＋\r(x)),Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1,xx＋Δx)－\f(1,\r(x＋Δx)＋\r(x))))＝－eq\f(1,x2)－eq\f(1,2\r(x)).∴y′|x＝4＝－eq\f(1,16)－eq\f(1,4)＝－eq\f(5,16)，∴曲线在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，－\f(7,4)))处的切线方程为：y＋eq\f(7,4)＝－eq\f(5,16)(x－4)．即5x＋16y＋8＝0.一、选择题11．(·嘉兴高二检测)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则eq\f(a,b)为()A．eq\f(2,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)[答案]D[解析]由导数的定义可得y′＝3x2，∴y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率k＝y′|x＝1＝3，由条件知，3×eq\f(a,b)＝－1，∴eq\f(a,b)＝－eq\f(1,3).12．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，则f(1)＋2fA．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2[答案]D[解析]∵(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，∴1－2f(1)＋1＝0，∴f又∵f′(1)＝eq\f(1,2)，∴f(1)＋2f′(1)＝1＋2×eq\f(1,2)＝2.故选D.13．已知y＝f(x)的图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定[答案]B[解析]由图可知，曲线在点A处的切线的斜率比曲线在点B处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f′(xA)<f′(xB)，选B.二、填空题14．如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝__________________.[答案]－2[解析]由导数的概念和几何意义知，eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝f′(1)＝kAB＝eq\f(0－4,2－0)＝－2.15．设f(x)＝f′(1)＋eq\r(x)，则f(4)＝________.[答案]eq\f(5,2)[解析]f′(1)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(f′1＋\r(1＋Δx)－f′1＋1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)－1)＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(1,2)＋eq\r(x)，∴f(4)＝eq\f(1,2)＋eq\r(4)＝eq\f(5,2).三、解答题16．已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于点P的直线方程．[解析](1)y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(x＋Δx3－3x＋Δx－x3＋3x,Δx)＝3x2－3.则过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率k1＝f′(1)＝0，∴所求直线方程为y＝－2.(2)设切点坐标为(x0，xeq\o\al(3,0)－3x0)，则直线l的斜率k2＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－3，∴直线l的方程为y－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x－x0)又直线l过点P(1，－2)，∴－2－(xeq\o\al(3,0)－3x0)＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(1－x0)，∴xeq\o\al(3,0)－3x0＋2＝(3xeq\o\al(2,0)－3)(x0－1)，∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1(舍去)或x0＝－eq\f(1,2).故所求直线斜率k＝3xeq\o\al(2,0)－3＝－eq\f(9,4)，于是：y－(－2)＝－eq\f(9,4)(x－1)，即9x＋4y－1＝0.17．(·临沂质检)已知曲线y＝x2＋1，是否存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．[解析]∵eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(x＋Δx2＋1－x2－1,Δx)＝2x＋Δx，∴y′＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do4(Δx→0)