第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级B卷复赛含答案

姓名年级学校准考证号考场姓名年级学校准考证号考场赛区_________父母姓名、联系电话_、---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：每位考生将获得一份试卷。考试期间，不得使用计算工具或手机。本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。3.请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。4.若计算结果是分数，请化至最简。九年级地方晋级赛复赛B卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）选择题（每小题4分，共40分）将4.31×10-5写成小数的形式，则其小数点后第四位数字是（）A．0B．1C．3D．4如图，在方格纸中选择标有序号①②③④的一个小正方形涂黑，使它与图中阴影部分组成的新图形为中心对称图形，该小正方形的序号是（）A．① B．② C．③ D．④如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（－1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A′的纵坐标是（）A．3 B．－3 C．－4 D．4第2题图第3题图第4题图第5题图如图，已知∠MON=60°，OP是∠MON的角平分线，点A是OP上一点，过点A作ON的平行线交OM于点B，AB=4．则直线AB与ON之间的距离是（）A．B．2 C． D．4如图，圆O为△ABC的外接圆，其中点D在弧AC上，且OD⊥AC，若∠A=36°，∠C=60°，则∠BOD的度数为（）A．132°B．144°C．156°D．162°6．已知，其中A、B为常数，则4A－B的值为（）A．7 B．9 C．13 D．5如图，直线y1=kx+b过点A（0，2），且与直线y2=mx交于点P（1，m），则不等式组mx＞kx+b＞mx－2的解集是（）A．x＞1 B．0＜x＜2 C．0＜x＜1 D．1＜x＜28．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=2，O为AC中点，若点D在直线BC上运动，连接OE，则在点D运动过程中，线段OE的最小值是为（）A． B．C．1 D．第7题图第8题图第9题图9．如图，已知AD∥BC，AB⊥AD，点E、F分别在射线AD、BC上，若点E与点B关于AC对称，点E与点F关于BD对称，AB=1，则cos∠AGB等于（）A． B． C． D．10．如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A是函数y=（x＜0）图象上一点，AO的延长线交函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象于点C，点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，CC′交x轴于点B，连接AB、AA′、A′C′．若△ABC的面积等于6，则由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积等于（）A．8 B．10 C．3 D．4填空题（每小题5分，共30分）11．若2m=3，4n=8，则2m-2n的值是____________．12．如图，将边长为2的正方形ABCD沿直线l按顺时针方向翻滚，当正方形翻滚一周时，正方形的中心O所经过的路径长为____________．第12题图第13题图如图，抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，两条抛物线的顶点分别为C、D．当四边形ACBD的面积为40时，a的值为_____________．m、n是两个连续自然数，且q=mn，p=，则p的值是．（填“奇数”、“偶数”或“奇偶都可以”）甲、乙、丙三个箱子原本各装有相同数量的小球，已知甲箱内的红球占甲箱内小球总数的，乙箱内没有红球，丙箱内的红球占丙箱内小球总数的．小荣将乙、丙两箱内的球全部倒入甲箱后，要从甲箱内取出一球，若甲箱内每个球被取出的机会相等，则小荣取出的球是红球的概率为_____________．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接OH，FH，EG与FH交于点M，对于下面三个结论：①GH⊥BE；②S正方形ABCD：S正方形ECGF=1：；③EM：MG=1：（1+），其中正确结论的序号为．解答题（共5小题，共50分）请分别用配方法和因式分解法解方程：6x2+7x－3=0．（8分）配方法：因式分解法：已知a，b，c，d四个数成比例，且a，d为外项．试说明点（a，b），（c，d）和坐标原点O（0，0）在同一条直线上．（9分）如果有理数m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．（10分）如图，△ABC中，BD为AC边上的中线，BE平分∠CBD，AF⊥BE，分别交BC、BE、BD于F、G、H．（1）求证：CF=2DH；（4分）（2）若AB=BC，cos∠BCA=，DE=4，求HD的长．（6分）在平面直角坐标系中，以D（－4，）为圆心的⊙D与y轴相切于点Q，与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（－1，0）．以CD为对称轴的抛物线与⊙D交于A、B两点，点C坐标为（－4，9），CD与x轴交于点H．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（3分）（2）P为直线AC上方抛物线上一点，当S△APC=S△AHC时，求点P坐标；（4分）（3）PM⊥AC于点M，PE⊥x轴于点E且与AC交于点N，△PMN的周长为l，求l的最大值．（6分）

九年级B卷答案选择题（每小题4分，共40分）1.A2.B3.B4.C5.C6.C7.D8.B9.B10.B7.由于直线y1=kx+b过点A（0，2），P（1，m），则有，解得∴y1=（m－2）x+2．故所求不等式组可化为：mx＞（m－2）x+2＞mx－2，不等号两边同时减去mx得，0＞－2x+2＞－2，解得：1＜x＜2．8.设Q是AB的中点，连接DQ，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∵AB=AC=2，O为AC中点，∴AQ=AO，∴△AQD≌△AOE（SAS），∴QD=OE，∵点D在直线BC上运动，∴当QD⊥BC时，QD最小，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=45°，∵QD⊥BC，∴△QBD是等腰直角三角形，∴QD=QB，∵QB=AB=1，∴QD=，∴线段OE的最小值是为．9.如图，连接CE，设EF与BD相交于点O，由对称性可得，AB=AE=1，则BE=，∵点E与点F关于BD对称，∴DE=BF=BE=，∴AD=1+，∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE，∴四边形ABCE是正方形，∴BC=AB=1，∴tan∠ADB=，在Rt△OED中，可设OD=x，OE=，∴（）2=x2+[]2，解得x=，∴OE=，∵∠EBG+∠AGB=90°，∠EBG+∠BEF=90°，∴∠AGB=∠BEF，又∵∠BEF=∠DEF，∴cos∠AGB==．过A作AD⊥x轴于D，连接OA′，∵点A是函数y=（x＜0）图象上一点，∴设A（a，），∵点C在函数y=（x＞0，k是不等于0的常数）的图象上，∴设C（b，），∵AD⊥BD，BC⊥BD，∴△OAD∽△OCB，∴，∵S△ADO=，S△BOC=，∴k2=，∴k=－，∵S△ABC=S△AOB+S△BOC=×（－）•b+=6，∴k2－=12，∴k2+k－12=0，解得：k=3，k=－4（不合题意舍去），∵点A关于y轴的对称点为A′，点C关于x轴的对称点为C′，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠4=∠2+∠3=90°，∴OA′，OC′在同一条直线上，∴S△OBC′=S△OBC==，∵S△OAA′=2S△OAD=1，∴由线段AC，CC′，C′A′，A′A所围成的图形的面积=S△OBC+S△OBC′+S△OAA′=10．填空题（每小题5分，共30分）11.12.π13.0.1614.奇数15.16.①③13.∵抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4都经过x轴上的A、B两点，∴点A、B两点的坐标分别是（－，0）、（，0）；又∵抛物线y=ax2－4和y=－ax2+4的顶点分别为C、D．∴点C、D的坐标分别是（0，－4）、（0，4）；∴CD=8，AB=，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△ABC=AB•OD+AB•OC=AB•CD=×8×=40，即×8×=40，解得a=0.16．14.因为m、n是两个连续自然数，设m＜n，则n=m+1，且q=mn，代入得：p===m+1+m=2m+1；因为m为自然数，所以2m为偶数，即2m+1为奇数．设甲、乙、丙三箱子内原本都装有x个小球，则甲有个红球，丙有个红球，则一共有+=（个）红球，甲箱内最后共有3x个小球，因此取出红球的概率为．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCE=90°，同理可得CE=CG，∠DCG=90°，∴△BCE≌△DCG，∴∠BEC=∠DGC，∵∠EDH=∠CDG，∠DGC+∠CDG=90°，∴∠EDH+∠BEC=90°，∴∠EHD=90°，∴HG⊥BE，故①正确；易证得△BGH≌△EGH，∴BH=EH，又∵O是EG的中点，∴HOBG，设EC和OH相交于点N．设HN=a，则BC=2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC=b，CD=2a，∵OH∥BC，∴△DHN∽△DGC，∴，即，即a2+2ab－b2=0，解得：a=b=（－1+）b，或a=（－1－）b（舍去），则=－1；则S正方形ABCD：S正方形ECGF=（－1）2=3－2，故②错误；∵EF∥OH，∴△EFM∽△OMH，∴，∴，，∴，故③正确．因此正确的结论是①③．解答题（共5小题，共50分）解：配方法：6x2+7x－3=0，x2+x=，（x+）2=+=，故x+=±，解得：x1=－，x2=．因式分解法：6x2+7x－3=0，6x2+9x－2x－3=0，3x（2x+3）－（2x+3）=0，(2x+3)(3x－1)=0，解得x1=－，x2=．（只写了一种正确方法的得4分）解：设经过（0，0）和（a，b）的直线是y=kx，则b=ak，则k=，设经过（0，0）和（c，d）的直线的解析式是：y=mx，则d=cm，解得：m=，∵a，b，c，d四个数成比例，∴=，∴k=m，则直线y=kx和直线y=mx是同一直线，即点（a，b），（c，d）和坐标原点O（0，0）在同一条直线上．19.证明：∵m=2x2－6xy+5y2=（x－2y）2+（x－y）2，其中x、y是有理数，∴“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数），只须p=x－2y，q=x－y即可．∴对于任意的两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数，因此有：==+也是“世博数”．（1）证明：取AF的中点M，连接MD，∵AD=DC，∴CF=2MD，且MD∥BC，∴∠DMH=∠BFH，又∵∠BGH=∠BGF=90°，∠HBG=∠FBG，∴∠BHG=∠BFH，而∠DMH=∠BFH，∠DHM=∠BHG，∴∠DMH=∠DHM，∴DH=DM．而CF=2MD，∴CF=2DH；（2）解：过E作EN⊥BC于N，∵AB=BC，AD=DC，∴BD⊥AC，而BE平分∠CBD，EN⊥BC，∴EN=DE=4，在Rt△CEN中，cos∠BCA=，∴设CN=3k，则CE=5k，得EN=4k=4．∴k=