第15届WMO世界数学奥林匹克数学竞赛九年级A卷复赛含答案

姓名年级学校准考证号考场姓名年级学校准考证号考场赛区_________父母姓名、联系电话_、---------------------------------------装-----------------------------订---------------------------线----------------------------------第15届WMO世界奥林匹克数学竞赛（中国区）选拔赛---------------------------------------------------------------------------------考生须知：每位考生将获得一份试卷。考试期间，不得使用计算工具或手机。本卷共120分，选择题每小题4分，填空题每小题5分，解答题共5小题，共50分。3.请将答案写在本卷上。考试完毕时，考卷及草稿纸会被收回。4.若计算结果是分数，请化至最简。九年级地方晋级赛复赛A卷（本试卷满分120分，考试时间90分钟）选择题（每小题4分，共40分）1．用科学记数法可以表示为（）A．8×10-1 B．8×10-2 C．2.3×10-1 D．2.3×10-2如图，O为线段AB的中点，AB=4cm，P1、P2、P3、P4到点O的距离分别是1cm、2cm、2.8cm、1.7cm，下列四点中能与A、B构成直角三角形的顶点是（）A．P1 B．P2 C．P3 D．P4第2题图第3题图第4题图如图，圆上有A、B、C三点，直线l与圆相切于点A，CD平分∠ACB，且与l交于点D，若eq\o(\s\up6(⌒),AB)=80°，eq\o(\s\up6(⌒),BC)=60°，则∠ADC的度数为（）A．80° B．85° C．90° D．95°如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：4，∠OCD=90°，CO=CD．若点B的坐标为（1，0），则点C的坐标为（）A．（2，2） B．（2，4） C．（2，2） D．（4，2）方程组的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．46．若等式（a、b为常数）成立，则a、b的值为（）A．a=4，b=－3 B．a=2，b=－1 C．a=－1，b=1 D．a=－1，b=2小梦每周有100元零用钱，一小块巧克力3元，一根棒棒糖2元．小梦的幸福值可以用公式“幸福值=巧克力块数×棒棒糖根数”来表示，则小梦一个月可达到的幸福值最高为（）A．300 B．405 C．416 D．450如图，矩形台球桌ABCD，其中A、B、C、D处有球洞，已知DE=4，CE=2，BC=，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，则关于tanα的说法下列正确的是（）A．≤tanα＜ B．＜tanα＜ C．tanα= D．＜tanα＜3如图，已知反比例函数y=的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为4+2，AD=2，则△ACO的面积为（）A． B． C．1 D．2将直线l1：y=x和直线l2：y=2x+1及x轴围成的三角形面积记为S1，直线l2：y=2x+1和直线l3：y=3x+2及x轴围成的三角形面积记为S2，…，以此类推，直线ln：y=nx+n－1和直线ln+1：y=（n+1）x+n及x轴围成的三角形面积记为Sn，记W=S1+S2+…+Sn，当n越来越大时，你猜想W最接近的常数是（）A． B． C． D．填空题（每小题5分，共30分）已知a2－5a－1=0，则5（1+2a）－2a2=___________．12．宜君手上有24张卡片，其中12张卡片作上“O”记号，另外12张卡片作上“X”记号．右图表示宜君从手上拿出6张卡片放在桌面的情形，且她打算从手上剩下的卡片中抽出一张卡片，若她手上剩下的每张卡片被抽到的概率相等，则她抽出记号为“O”的卡片的概率是___________．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE=10，BD=4，则DE的长为_________．第13题图第14题图第16题图如图，将半径为5的半圆的直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，直到半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度为．15．正数m，n满足m++4n=3，则的值为．已知正方形ABCD的边长为5，点E在BC边上运动，点G是DE的中点，EG绕点E顺时针旋转90°得到EF，当CE=时，点A、C、F在一条直线上．三、解答题（共5小题，共50分）17．解不等式：（8分）如果有理数m可以表示成2x2－6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．那么两个“世博数”之积也是“世博数”吗？请证明．（9分）如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度．（结果精确到0.1cm，参考数据≈2.236）（10分）如图①是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图②所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC=12cm．（1）当PA=45cm时，求PC的长；（5分）（2）若∠AOC=120°时，“最佳视角点”P在直线PC上的位置会发生什么变化？此时PC的长是多少？请通过计算说明．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732）（5分）图①图②已知二次函数图象的顶点坐标为A（2，0），且与y轴交于点（0，1），B点坐标为（2，2），点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）．（1）求此二次函数的表达式；（3分）（2）当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；（4分）（3）当△ABM与△ABN相似时，求出M点的坐标．（6分）备用图

九年级A卷答案选择题（每小题4分，共40分）1.B2.B3.C4.A5.A6.B7.C8.C9.A10.B5.当x≥0，y≤0时，原方程组可化为：解得由于y≤0，所以此种情况不成立；当x≤0，y≥0时，原方程组可化为：解得当x≥0，y≥0时，无解；当x≤0，y≤0时，无解；因此只有一组解．设巧克力和棒棒糖的数量分别为x，y，幸福值为W，根据题意得：3x+2y≤100，W=xy，∴y=，∴3x+2≤100，∴W≤50x－x2=－（x－）2+，∵x，y为整数，∴x=16，y=26时，W最大=xy=416．如图，∵DE=4，CE=2，球从E点出发，与DC夹角为α，经过BC、AB、AD三次反弹后回到E点，∴四个三角形相似，并且相对的两个三角形全等，∴CF=BC=2，∴在Rt△CEF中，tanα==．9.在Rt△AOB中，AD=2，AD为斜边OB的中线，∴OB=2AD=4，由周长为4+2，得到AB+AO=2，设AB=x，则AO=2－x，根据勾股定理得：AB2+OA2=OB2，即x2+（2－x）2=42，整理得：x2－2x+2=0，解得x1=+，x2=－，∴AB=+，OA=－，过D作DE⊥x轴，交x轴于点E，可得E为AO中点，∴OE=OA=（－）（若OA=+，求出结果相同），在Rt△DEO中，利用勾股定理得：DE=（+），∴k=－DE•OE=－（+）×（－）=－，∴S△AOC=|k|=．将y=nx+n－1和y=（n+1）x+n联立得：解得：∴无论k取何值，直线ln和直线ln+1均交于定点（－1，－1），k≠1时，ln与ln+1的图象的示意图如图，∵y=nx+n－1与x轴的交点为A（，0），y=（n+1）x+n与x轴的交点为B（，0），∴Sn=S△ABC=×|AB|×|－1|=××1=，当n=1时，结论同样成立．∴W=S1+S2+S3+…+Sn==（1－+－+…+）=（1－）=．当n越来越大时，越来越接近与1．∴越来越接近于，∴W越来越接近于．填空题（每小题5分，共30分）11.312.13.614.5π15.16.∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠BAD+∠CAD=90°，∵CE⊥AD于E，∴∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAD=∠ACE，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AE=BD=4，AD=CE=10，∴DE=AD－AE=6．由图形可知，圆心先向前走OO1的长度，圆心从O到O1的运动轨迹是一条直线，长度为圆的周长，然后沿着弧O1O2旋转圆的周长，则圆心O运动路径的长度为：×2π×5+×2π×5=5π．15.∵m+4+4n=3，∴m+4+4n－2（+2）－3=0，∴（+2）2－2（+2）－3=0，∴（+2－3）（+2+1）=0，∴+2=3，+2）=－1（不合题意，舍去），∴原式==．16.过F作FN⊥BC，交BC延长线于N点，连接AC，∵∠DCE=∠ENF=90°，∠DEC+∠NEF=90°，∠NEF+∠EFN=90°，∴∠DEC=∠EFN，∴Rt△FNE∽Rt△ECD，∵DE的中点G，EG绕E顺时针旋转90°得EF，∴DE:EF=2:1，∴CE:FN=DE:EF=DC:NE=2:1，∴CE=2NF，NE=CD=．∵∠ACB=45°，∴当∠NCF=45°时，A、C、F在一条直线上．则△CNF是等腰直角三角形，∴CN=NF，∴CE=2CN，∴CE=NE=×=．∴CE=时，A、C、F在一条直线上．解答题（共5小题，共50分）17.解：∵y2+1＞0，则原不等式可化为1+＞1－，解得y＞1.2．18.解：是的．证明如下：∵m=2x2－6xy+5y2=（x－2y）2+（x－y）2，其中x、y是有理数，∴“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数），只需p=x－2y，q=x－y即可．∴对于任意两个“世博数”，不妨设一个为a=j2+k2，另一个为b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数，则ab=（j2+k2）（r2+s2）=（jr+ks）2+（js－kr）2是“世博数”．19.解一：设上、下边衬宽均为4xcm，左、右边衬宽均为3xcm，则（40－8x）（30－6x）=×40×30．整理，得x2－10x+5=0，解之得x=5±2，∴x1≈0.53，x2≈9.47（舍去），答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．解二：设中央矩形的长为4xcm，宽为3xcm，则4x×3x=×40×30，解得x1=4，x2=－4（舍去），∴上、下边衬宽为20－8≈2.1，左、右边衬宽均为15－6≈1.6，答：上、下边衬宽均为2.1cm，左、右边衬宽均为1.6cm．20.解：（1）如图，当PA=45cm时，连接PO．∵D为AO的中点，PD⊥AO，∴PO=PA=45cm．∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，∴OC=OB+BC=36cm，PC==27（cm）；（2）当∠AOC=120°，如图，过D作DE⊥OC交BO延长线于E，过D作DF⊥PC于F，则四边形DECF是矩形．在Rt△DOE中，∵∠DOE=60°，DO=AO=12，∴DE=DO•sin60°=6，EO=DO=6，∴FC=DE=6，DF=