土木工程制图(第四章)

本章导读由曲面包围，或者由曲面和平面包围而成的立体称为曲面立体。圆柱、圆锥、球和环是工程上常见的曲面立体。工程中的壳体、屋盖、隧道的拱顶，以及常见设备管道等，它们的几何形状都是曲面立体。为此，本章主要介绍曲面、曲面立体和曲面立体表面交线的形成方式、投影画法、曲面上点和线的投影，以及曲面立体的尺寸标注和轴测图的绘制方法。了解曲面的形成及分类。掌握圆柱、圆锥、球体和圆环等曲面立体的投影特性及其表面上点、线的投影。掌握圆柱、圆锥和球体截交线的投影，能够画出曲面切割体的三面投影。解相贯线的成形，能够绘制相贯体的投影。掌握曲面基本体、曲面切割体和曲面相贯体的尺寸标法。能够画出圆柱和圆锥的正等轴测图和斜二等轴测图。技能目标曲面是由直线或曲线在一定约束条件下运动形成的。这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线。母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。如图4-1（a）所示，圆柱面的母线是直线AB，运动的约束条件是直母线AB绕与它平行的轴线O1O2旋转，即圆柱面是由直母线AB绕与它平行的轴线O1O2旋转形成的。图4-1（b）所示的圆锥面是由直母线SA绕与它相交于S点的轴线SO旋转形成的，图4-1（c）所示的球面是由圆母线M绕通过O1圆心的轴线O旋转形成的。由此可见，母线不同，或者约束条件不同，便形成不同的曲面。只有给出曲面的母线和母线的运动约束条件，才能确定该曲面。一、曲面的形成第一节曲面的形成和分类（a）（b）（c）图4-1曲面的形成在约束条件中，把约束母线运动的直线或曲线称为导线，母线上任一点的运动轨迹都是垂直于轴线的圆，称为纬圆，处于曲面上任意位置的母线称为素线。例如，图4-1（a）中，当母线AB旋转至CD位置时，该直线CD就是该圆柱面上的一根素线。这样一来，曲面也可以认为是由许多按一定条件紧靠着的素线组成。提示同一个曲面还可以认为是由不同的母线，根据不同的约束条件运动而形成的。例如，圆柱面也可以认为是由圆母线N沿着与它平行的轴线O1O2移动而形成的，还可以认为是由圆柱面上的任一曲线（如圆柱面上的螺旋线M），绕着它的轴线旋转而形成的，如图4-2所示。图4-2圆柱面的形成方式曲面有规则曲面和不规则曲面之分。规则曲面可以看作是运动的母线按一定控制条件运动所形成的轨迹，如图4-1（a）所示的圆柱面和图4-3所示的曲面。曲面上任一位置的母线称为该曲面的素线，控制母线运动的线或面，分别称成导线或导面。本章仅介绍规则曲面。二、曲面的分类（a）图4-1曲面的形成（a）（b）图4-3规则曲面的形成表面由平面和曲面，或均由曲面围成的立体称为曲面立体。圆柱、圆锥、球体和是工程中常见的曲面立体，这些曲面立体多为回转体。回转面的可见部分与不可见部分的分界素线称为转向轮廓线。画回转体的投影就是画回转面的转向轮廓线的投影、底面的投影和轴线的投影。第二节曲面立体及其表面上点和线的投影圆柱是由圆柱面和上、下两个圆形底面围成的，圆柱面可以看作是由母线绕与其平行的轴线旋转而成的。圆柱面上任意一条平行于轴线的直线称为素线。一、圆柱的投影将圆柱体的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，其投影如图4-4所示，三面投影图的投影特性如下。H面投影：反映上、下底面实形的圆。此时，圆柱体的侧面投影积聚在圆周上。V面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最左、最右处素线的投影。W面投影：为一个矩形。其中，上、下两边线分别是圆柱上、下底面的积聚投影，左、右两边线分别是圆柱最后、最前处素线的投影。（a）立体图（b）投影图图4-4圆柱的三面投影通过上述分析可归纳总结出圆柱的投影特性，具体为：（1）在与底面平行的投影面中的投影为反映底面实形的圆；（2）另外两面投影均为矩形。由图4-4所示投影图可以看出，圆柱体的投影特征与棱柱体的投影特征相同，均为“矩矩为柱”。圆锥是由圆锥面和底面圆所围成的回转体。其中，圆锥面是由母线绕与其相交并且成一定角度的轴线回转而成的。母线与轴线的交点称为锥顶。圆锥面的所有素线都交于锥顶，并且对底面的倾角相等。母线上任意一点的运动轨迹形成的圆称为纬圆。一、圆锥的投影将圆锥的轴线垂直于H面放置在三投影面体系中，其投影如图4-5所示，三面投影特性如下。H面投影：为水平圆，反映圆锥底面的实形，同时也是圆锥面的投影。V面和W面投影：均为等腰三角形，且三角形的底边为圆锥底面的积聚投影。V面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最左素线SA和最右素线SB的投影（素线也是转向轮廓线）；W面投影中，三角形的左、右两边分别是圆锥面最前素线SC和最后素线SD的投影。（a）立体图

（b）投影图图4-5圆锥的三面投影通过上述分析可总结出圆锥的投影特性，具体为：（1）在与底面平行的投影面上的投影反映底面圆的实形；（2）另外两面投影均为等腰三角形，且符合“三三为锥”的投影特征。圆球是以一圆周为母线绕其自身直径旋转一周形成的。母线上任一点的运动轨迹都为圆。三、球体的投影球体的三面投影均为与该圆球直径相等的圆。其中，正面投影圆是可见的前半球面和不可见的后半球面的重影；水平投影圆是可见的上半球面与不可见的下半球面的重影；侧面投影是可见的左半球面和不可见的右半球面的重影，如图4-6所示。画圆球的三面投影时，首先画出各圆的中心线，然后画出3个等直径的圆即可。（a）立体图（b）投影图图4-6球的三面投影以圆为母线，绕与它共面的圆外某一直线旋转而形成的曲面，称为环面，如图4-7所示。当环面的轴线垂直于H面时，它的H面投影是两个同心圆，环面的V面和W面投影均为由两个圆和与它们上、下相切的两段水平轮廓线组成。四、圆环的投影V面投影中的两个圆分别是环面最左素线和最右素线的投影，W面投影中的两个圆分别是环面最后素线和最前素线的投影，它们都反映素线圆的实形，且都有半个圆因被环面挡住而画成虚线。图4-7圆环的三面投影与平面立体相同，求作曲面立体表面上点和直线的投影，也可采用从属性法、积聚性法和辅助线法。作曲面立体上点的投影，可按如下步骤进行：①判断点所在的位置；②判断点所在面的投影特性；③在具有积聚性的投影面上标出点的投影；④根据点的两面投影，求出其第三面投影。五、

曲面立体表面上点和线的投影因为圆柱面具有积聚性，因此圆柱表面上点或线的投影可利用从属性法和积聚性法求出。1．圆柱表面上点和线的投影分析：M点的正面投影可见，且在点画线的左侧，由此可判定M点在左、前半圆柱面上，其水平投影和侧面投影均可见；N点的正面投影不可见，且在点画线的右侧，由此可判定N点在右、后半圆柱面上，其水平投影可见，侧面投影不可见。作图步骤（参见图4-8（b））：（1）过m′点向下作铅垂线交圆周的前半部分于一点，则该点为m；由m′点和m点，即可求出m′′点，m′′点为可见点。（2）采用同样的方法，先求出N点的水平投影n，再求出侧面投影n′′。由于N点所在的圆柱面的侧面投影不可见，故该点的侧面投影为（n′′）。【例4-1】已知圆柱面上点M和点N的正面投影m′和（n′），如图4-8（a）所示，试求作这两个点的另外两面投影。（a）已知条件（b）作图方法图4-8利用“辅助线法”求圆柱表面上点的投影分析：由题意及图4-9（a）可知，曲线AB位于前半个圆柱面上，且该段曲线在水平投影面上的投影为一段曲线。由于该圆柱面的侧面投影积聚为圆，故曲线AB的侧面投影为该圆上的一段圆弧。求作曲线的水平投影，需先求出曲线上一系列特殊位置点和中间位置点的投影，然后用曲线顺次连接即可。【例4-2】已知圆柱面上曲线AB的正面投影a′b′，如图4-9（a）所示，求其另外两面投影。（a）已知条件图4-9利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影作图步骤（参见图4-9（b））：（1）先在圆柱的正面投影图上标出特殊点a′，b′，c′和一般位置点d′，e′，根据曲线AB所在圆柱面的积聚性，分别过正面投影中的这5个点作水平线，并与圆柱的侧面投影交于a′′，b′′，c′′，d′′和e''点。（2）根据“长对正、宽相等”的投影规律作出这5个点的水平投影a，b，c，d，e。（3）用曲线依次光滑连接a，d，c，e，b点并判别其可见性（以C点为界，ADC段在圆柱面的前、上方，故可见，应画成实线；CEB段在圆柱面的前、下方，故不可见，应画成虚线），即可得曲线AB的水平投影。（b）作图方法图4-9利用“辅助线法”求圆柱表面上线的投影圆锥底面具有积聚性，其上的点可以直接求出。圆锥面没有积聚性，其上的点需要用辅助线法才能求出。按辅助线的类型不同，辅助线法可分为素线法和纬圆法两种。2．圆锥表面上点的投影分析：根据a′点可判定A点位于圆锥左前方的圆锥面上。由于圆锥面无积聚性，因此圆锥面上点的投影可利用素线法或纬圆法求出。【例4-3】已知圆锥面上点A的正面投影a′，如图4-10（a）所示，求其另外两面投影。（a）图4-10利用“素线法”求圆锥表面上点的投影方法一：素线法素线法就是过已知点和锥顶在锥面上作一条素线，利用点、线的从属关系，得出点的三面投影图的方法。即过A点作辅助素线SB，如图4-10（b）所示，先求出该素线的投影，再利用线上点的投影关系求出圆锥表面上点的投影，具体作图步骤如下。（1）连接s′点与a′点并延长，使其与底圆的V面投影交于点b′，从而得到素线SB的V面投影s′b′。（2）由s′b′可求出sb。（3）因A点在素线SB上，故过a′点向下作垂线交sb于a点，由a′点和a点可求得A点的侧面投影点a″。（b）

（c）图4-10利用“素线法”求圆锥表面上点的投影（a）

（b）图4-11利用“纬圆法”求圆锥表面上点的投影方法二：纬圆法假想过圆锥面上任一点作一个与圆锥底面平行的平面，该平面与圆锥面的交线为圆，则该点的三面投影必在交线圆的三面投影上。这个交线圆称为纬圆，用纬圆作辅助圆来确定曲面上点的投影的方法称为纬圆法，如图4-11（a）所示，具体作图步骤如下（参见图4-11（b））。（1）过a′点作一条水平线1′2′，1′2′即为过A点的水平纬圆的V面投影。（2）以1′2′为直径，在H面上画出纬圆的水平投影。（3）过a′点作垂直投影线交纬圆的左前方于a点，再由a′点和a点求得a″点。球面均无积聚性，因此，除了转向轮廓线上的点可以直接求出外，球面上的其他点均需用纬圆法才能求出。3．球面上点的投影分析：由m′点及该投影点的位置可知，M点位于前半球的左下部位，它的另外两面投影可利用纬圆法求出。作图步骤（参见图4-12（b））：（1）过m′点作水平纬圆的正面投影（为一直线），交圆于b，c两点。（2）绘制纬圆的水平投影，其直径为b′c′，则M点的水平投影必在该纬圆的左前侧，且该点的水平投影不可见。（3）根据m′和（m），求出其侧面投影m′′。【例4-4】已知球面上M点的V面投影m′，如图4-12（a）所示，求其另外两面投影。（a）已知条件（b）作图方法图4-12利用“纬圆法”求球面上点的投影圆环表面上的点，可使用纬圆法绘制。例如，已知环面上K点的正面投影k′，求该点的水平投影的作图方法如图4-13所示。4．圆环面上点的投影图4-13求环面上点的投影有些工程形体是由曲面体被平面切割后形成的。与平面切割体相同，平面切割曲面立体时，其相交处将产生截交线。另外，还有一些工程形体是由曲面立体与曲面立体相交后形成的，参与相交的面处会形成交线（相贯线）。本节主要介绍曲面立体截交线和相贯线的画法。第三节曲面立体的表面交线用平面切割曲面立体时，截交线的形状取决于被截形体的表面形状及截平面与曲面立体的相对位置。截交线的形状一般是封闭的平面曲线，或平面曲线与直线段相连的平面图形，特殊情况下也可能是平面多边形。曲面立体截交线上的每一个点，都是截平面与曲面立体表面的公有点。求出足够的公有点，然后依次连接起来，即得截交线。求公有点的基本方法有素线法、纬圆法和辅助平面法。求公有点时，通常先求出特殊点，即求出各极限位置（最左、最右、最前、最后、最上、最下）点和形体各轮廓线与截平面的交点等，必要时，还需要求出一般位置点。一、曲面立体的截交线根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，圆柱上的截交线有表4-1中的3种情况。（一）圆柱的截交线表4-1圆柱体的截交线分析：由于截平面P与圆柱轴线倾斜，故截交线是椭圆。该椭圆在正面投影中积聚为一条直线，其H面投影落在圆柱面的同面投影上，在侧面投影中为椭圆的类似形，故在确定截交线的正面投影后，只需求出其侧面投影即可。【例4-5】已知圆柱体被正垂面P所截，如图4-14（a）所示，求作该切割体的三面投影。（a）图4-14圆柱截切体的三面投影作图步骤：（1）根据圆柱体的投影规律，先画出未切割前圆柱体的三面投影，然后画正面投影中的截交线（一条斜线段）。（2）求特殊点的投影。分别取椭圆长轴的两个端点Ⅰ，Ⅲ和短轴的两个端点Ⅱ，Ⅳ。其中，点Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ分别是截交线上的最低、最左、最高和最右点。这些点都是转向轮廓线上的点，可利用积聚性先在正面投影中标出这些点，然后求出它们在侧面投影图中的投影1″，2″，3″，4″。（3）求一般点的投影。为了使侧面投影中的曲线更加精确，可在截交线上取一些一般位置点，如水平投影中的点5，6，7，8，然后求出这些点在正面投影中的投影5′，6′，7′，8′，最后求出它们的侧面投影5″，6″，7″，8″，如图4-14（b）所示。（b）图4-14圆柱截切体的三面投影（c）图4-14圆柱截切体的三面投影（4）用光滑的曲线顺次连接侧面投影中的各投影点，然后擦去被切割部分的图线并加深，即可得到该圆柱截断体的投影图，结果如图4-14（c）所示。（5）判别可见性。由图中可知，该截交线的侧面投影均为可见线。从本例题中可以看出，截平面与圆柱轴线间的夹角大小影响到截交线在侧面投影中的形状。图4-15中列出了截平面与圆柱轴线夹角大小变化时，截交线在侧面投影中的形状变化。其中，夹角为45°时，椭圆的投影变成了一个直径与圆柱底圆相等的圆。

（a）

（b）

（c）图4-15圆柱截交线在侧面投影中的变化圆锥体被平面切割时，锥面与截平面的交线可分为表4-2所示的5种情况。（二）圆锥的截交线表4-2圆锥体的截交线作图步骤（参照图4-16（b））：（1）求特殊点的投影。在水平投影和侧面投影上分别找出截交线的最上点C、最下点A和B的投影，然后求出这3个特殊点的正面投影c′，a′和b′。（2）利用纬圆法（也可用素线法）求一般点的投影。在正面投影c′与a′，b′之间画一条与圆锥轴线垂直的水平线（即平面M在正面中的投影m′），该水平线与圆锥最左和最右素线的正面投影交于点3′和点4′；以3′4′为直径在水平投影中画一圆，它与截交线的积聚投影交于点1和点2；过点1和点2作垂线，与正面投影中的辅助水平投影线的交点即为1′和2′。（3）依次将点a′，1′，c′，2′，b′连接成光滑的曲线，最后描深该曲线即可。【例4-6】如图4-16（a）所示，已知圆锥被正一正平面截切后的水平投影和侧面投影，补画该投影图中漏画的图线。（a）（b）图4-16补画第三面投影球体被平面切割，不论截平面处于什么位置，其空间交线总为圆。当截平面与投影面平行时，截交线在该投影面上的投影为圆；当截平面与投影面垂直时，截交线圆在该投影面上的投影为一条长度等于截交线圆直径的直线；当截平面倾斜于投影面时，截交线在该投影面上的投影为椭圆，如表4-3所示。球体与圆柱和圆锥表面上截交线的画法相同，都是根据截平面与轴线的相对位置，先确定截交线的形状，然后确定截交线在各投影面上的投影，最后作出截交线上的特殊点和一般位置点的投影并连线。（三）圆球的截交线表4-3圆球的截交线分析：从立体图和正面投影中可以看出，该半球体上的缺口是由平面P和Q组成的。平面P为侧平面，平面Q为水平面。从图4-17（a）所示的正面投影图中可以看出，断面的投影p′′和q反映实形，p和q′′积聚为直线。作图步骤（参照图4-17（b））：（1）根据正面投影画出未切割前半球的水平投影（圆）和侧面投影（半圆）。（2）作截平面P和Q的水平投影。已知Q的水平投影为圆的一部分，可根据正面投影确定该圆的半径，并绘制投影圆。侧平面P在H面中的投影积聚为一条竖直直线，故过V面投影中的点a′（b′）作铅垂线，得到平面的水平投影。（3）采用同样的方法，可得到半球体的侧面投影。【例4-7】如图4-17（a）所示，已知半球体被切割后的正面投影，画出其水平投影和侧面投影。

（a）

（b）图4-17球截交线的画法两曲面体表面的相贯线，在一般情况下是闭合的空间曲线，特殊情况下则是平面曲线或直线。组成相贯线的所有点均为两曲面立体的公共点。因此，求相贯线时，要先求出一系列公共点，然后用曲线板依次连接所有点，即可得相贯线。二、曲面立体的相贯线求作相贯线投影的一般步骤是：（1）根据立体图或给出的投影，分析两立体的形状及其轴线的相对位置，以得出相贯线的大致形状；（2）依次求出特殊位置点和一般位置点的投影；（3）根据相贯线投影的形状，将求出的各点用直线或光滑的曲线顺次连接。当相交两形体中的某一形体表面在某一投影面上的投影有积聚性时，其相贯线在该投影面上的投影一定与该形体的投影重合，根据这个已知投影，就可用表面取点法求出相贯线在其他投影面上的投影。1．表面取点法求作相贯线的方法，通常有表面取点法和辅助平面法两种。分析：由图4-18（a）所示的立体图中可以看出，该相贯体为一个铅垂圆柱与水平圆柱相贯所得，故相贯线为曲线。相贯线的水平投影与铅垂圆柱面的水平投影重合，侧面投影与铅垂圆柱的侧面投影重合，因此只需求作相贯线的正面投影即可。【例4-8】已知两圆柱相贯，如图4-18（a）所示，求作该相贯体的三面投影。图4-18绘制两圆柱相贯体的投影（a）作图步骤：（1）按照投影关系画出两圆柱的投影，正面投影中的相贯线先不画。（2）求特殊点的投影。在相贯体上取特殊位置点A，B，C，D，其中，A点和B点是两圆柱正面投影的转向轮廓线的交点，其投影可在各投影图上直接找出；C点和D点是铅垂圆柱侧面投影的转向轮廓线和水平圆柱表面的交点，其投影可在侧面和水平投影上直接找到，正面投影中的a′，b′，c′，d′点可根据点的投影规律作出，如图4-18（b）所示。（3）求一般点的投影。在铅垂圆柱的水平投影圆上取对称的两点e和f，它们的侧面投影和水平投影都可根据点的投影规律求出。（4）用光滑的曲线顺次连接正面投影上各点的投影，即可得到相贯线的正面投影，如图4-18（c）所示。·（b）（c）图4-18绘制两圆柱相贯体的投影当两相贯体的投影没有积聚性时，通常采用辅助平面法求其相贯线。如图4-19所示，圆锥体和圆柱体相贯，假想用一辅助平面P在交线范围内截切两曲面立体，则辅助平面与两立体表面都产生截交线，这两条截交线的交点既属于辅助平面，又属于两立体表面，是三面的共有点，即相贯线上的点。2．辅助平面法选择辅助平面原则选择特殊位置的辅助平面（一般为投影面平行面），使得截交线的投影为直线或圆。图4-19辅助平面法求相贯线

分析：由图4-20可以看出，圆台的轴线为铅垂线，圆柱的轴线为侧垂线，两轴线正交且都平行于正面，因此相贯线前后对称，其正面投影重合。由于圆柱的侧面投影为圆，相贯线的侧面投影积聚在该圆上，因此只需求作相贯线的水平投影和正面投影即可。作图步骤：（1）求特殊位置点的投影。如图4-21（a）所示，侧面投影a″，b″是相贯线上最高点A和最低点B的投影，它们是两回转体最上和最下位置素线的交点，因此可直接求出其水平投影a，b和正面投影a′，b′；侧面投影c″，d″是相贯线上最前点C和最后点D的侧面投影，过圆柱轴线作水平面P为辅助平面，由此可求出平面P

与圆台表面截交圆的水平投影，该圆与圆柱面水平投影的外形轮廓线交于c，d两点，最后可求出点c′（d′）。【例4-9】已知圆柱与圆台相贯，如图4-20所示，求作该相贯体的相贯线投影。图4-20圆柱与圆台相贯（a）求特殊位置点的投影图4-21圆柱与圆台相贯线的画法（2）求一般位置点的投影。如图4-21（b）所示，分别在正面投影和侧面投影中作水平辅助平面Q的投影线q′和q″，作出投影线q″与圆柱侧面的交点e″，f″；由正面投影中投影线q′与圆台表面的交点，可作出水平投影中辅助平面Q与圆台截交线的水平投影圆，最后根据投影关系，可求出e，f及e′（f′）点。（3）采用同样的方法作另外一个一般位置辅助平面R，然后参照图4-21（b）所示求出该平面上G点和H点的投影。（b）求一般位置点的投影图4-21圆柱与圆台相贯线的画法（4）用光滑曲线依次连接各点。由于正面投影相贯线前后对称且重合，因此只需用实线画出可见的前半部分曲线；水平投影中，以c，d点为分界，上半圆柱面上的投影曲线可见，故将ceafd段曲线画成实线；下半圆柱面上的投影曲线不可见，故画成虚线，如图4-21（c）所示。（5）检查图形并擦去多余图线，然后加深其余图线，结果如图4-21（d）所示。（c）用光滑曲线依次连接各点（d）检查图形并擦去多余图线图4-21圆柱与圆台相贯线的画法对于曲面立体，可在其非圆投影图上标出直径方向尺寸和高度方向尺寸。直径方向尺寸“,”具有双向尺寸功能，它不仅可以减少一个方向的尺寸，还可以省略一个投影图。球的尺寸标注应在直径尺寸数字前加注“S,”，其半径尺寸数字前加注“R,”，如图4-22所示。第四节曲面立体的尺寸标注

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）图4-22曲面立体的尺寸标注对于被切割的基本几何体，除了要标注其基本形体的尺寸外，还应注出截平面的位置尺寸，但不必注出截交线的尺寸，如图4-23所示。对于相贯体，其相贯线是由两立体相交后自然形成的，因此在标注相贯体的尺寸时，只需标注两相贯体的定形尺寸和相对位置尺寸等，无需标注相贯线的形状、大小及其位置尺寸，如图4-24所示。图4-23被切割的基本体的尺寸标注

图4-24相贯体的尺寸标注第五节圆柱与圆锥的轴测图画法圆的正等轴测投影一般为椭圆，3个投影面上圆的正等轴测投影（即椭圆）的形状如图4-25所示。作圆的正等轴测投影时，通常先作出圆的外切正四边形的轴测投影，再在其中作出圆的轴测投影——椭圆。（一）圆的正等轴测图画法图4-253个投影面平行面上圆的投影作图步骤：（1）在已知圆的正投影图中指定坐标原点和坐标轴，并作圆的外切正方形，如图4-26（a）所示，然后画出轴测轴及圆的外切正方形的轴测图（菱形），如图4-26（b）所示。（2）连接矩形的对角线。其中，短对角线的顶点为O5，O4，连C1O4和C1O4，分别交菱形的长对角线于O2，O3，如图4-26（c）所示。（3）分别以O5和O4为圆心，以R2为半径作上、下两段弧线，接着以O2和O3为圆心，以R1为半径作左、右两段弧线，这四段圆弧连成的近似椭圆即为所求，如图4-26（d）所示。【例4-10】作图4-26（a）所示水平圆的正等轴测图。（a）

（b）（c）

（d）图4-26圆的正等轴测图的画法上述这种先求出4个圆心的位置，然后再分别绘制4段圆弧的方法，称为四心圆弧法。四心圆弧法常用于绘制圆的正等轴测图，即椭圆。掌握了坐标平面上圆的正等轴测图的画法，就不难画出各种轴线垂直于坐标平面的圆柱、圆锥及其切割体和相贯体的轴测图了。（二）绘制圆柱和圆锥的轴测图作图步骤：先利用四心圆弧法画出顶圆的轴测投影（椭圆），然后将该椭圆各段圆弧的圆心沿Z轴向下移动一个圆柱高的距离，即可得到绘制下底面椭圆各段圆弧的圆心位置。判别可见性后，只画出底圆可见部分的轮廓，最后作两椭圆的公切线即可，其作图过程如图4-27（b）～（d）所示。【例4-11】绘制图4-27（a）所示圆柱体的正等轴测图。（a）（b）（c）（d）图4-27圆柱正等轴测图的