1-2-1空间中的点直线与空间向量-2022-2023学年高二数学上学期知识梳理考点精讲精练人教B

第一章空间向量与立体几何1.2空间向量在立体几何中的应用1.2.1空间中的点、直线与空间向量知识梳理1.点位置向量、直线的方向向量位置向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量唯一确定，此时，通常称为点P的位置向量方向向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时，也称向量v与直线l平行，记作v∥l2.空间中两条直线所成的角设v1，v2分别是空间中直线l1，l2的方向向量，且l1与l2所成角的大小为θ，则θ=<v1，v2>或θ=π-<v1，v2>，特别地，sinθ=sin<v1，v2>，cosθ=|cos<v1，v2>|;l1⊥l2⇔<v1，v2>=⇔v1·v2=0.求异面直线所成角的方法有：（1）定义法：根据定义作出异面直线所成的角（并证明），然后解三角形求出角；（2）向量法：建立空间直角坐标系，用直线的方向向量的夹角求解异面直线所成的角．3.两条异面直线的距离一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线，A∈l1，B∈l2，AB⊥l1，AB⊥l2，则称AB为l1与l2的公垂线段.并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一.两条异面直线的公垂线段的长，称为这两条异面直线之间的距离.空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度流程如下：利用向量共线、向量垂直条件建立方程组，求出公垂线段对应的向量，准确找出公垂线段在图中的位置，运用向量求出公垂线段的长度.常见考点考点一直线的方向向量典例1．若在直线上，则直线的一个方向向量为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．【详解】∵在直线上，∴直线的一个方向向量，又∵，∴是直线的一个方向向量．故选：D．变式1-1．设直线l1，l2的方向向量分别为，若l1⊥l2，则m等于（

）A． B．2 C．6 D．10【答案】D【解析】【分析】根据方向向量垂直即可求出的值.【详解】∵l1⊥l2，∴，即，解得m=10.故选：D.变式1-2．已知点，，，，则直线，的位置关系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．异面【答案】D【解析】【分析】计算、、的坐标，由空间向量共线定理可证明选项A，C不正确，再证明三个向量不共面即可求证直线，不相交，即可得直线，的位置关系.【详解】因为点，，，，所以，，，因为不存在实数，使得，所以、不共线，所以直线，不平行，不重合，故选项A、D不正确；假设、、三个向量共面，设，则，此方程组无解，可得、、三个向量不共面，所以直线，不相交，所以直线，异面，故选：D.变式1-3．已知直线经过点和点，则直线的单位方向向量为A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】求出直线的一个方向向量为，再求出向量的模，根据单位向量即可求解.【详解】由题意得，直线的一个方向向量为，则，因此直线的单位方向向量为，故选：D.【点睛】本题考查了直线的方向向量以及单位向量的求法，考查了基本运算，属于基础题.考点二求异面直线的夹角典例2．如图，在正方体中，E为线段的中点，则异面直线DE与所成角的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】连接，则可得为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，然后由题意可得DE，从而在中求解即可【详解】解：连接，则，故为异面直线DE与所成角的平面角或其补角，连接，则，因为E为的中点，故DE，在中，因为，而，所以在中，，故，故选：C．变式2-1．在直三棱柱中，，D，F，分别是，的中点，，则与所成角的余弦值是（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，令，则，，，，所以，，设与所成角为，则故选：A变式2-2．在四棱锥中，平面，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，用空间向量法求异面直线所成的角．【详解】以D为坐标原点，直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则，，，，于是，.设DB与CP所的角为，则.故选：A．变式2-3．如图所示，在三棱锥P–ABC中，PA⊥平面ABC，D是棱PB的中点，已知PA=BC=2，AB=4，CB⊥AB，则异面直线PC，AD所成角的余弦值为A． B． C． D．【答案】D【解析】【详解】因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC．过点A作AE∥CB，又CB⊥AB，则AP，AB，AE两两垂直．如图，以A为坐标原点，分别以AB，AE，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4，−2，0)．因为D为PB的中点，所以D(2，0，1)．故=(−4，2，2)，=(2，0，1)．所以cos〈，〉===−.设异面直线PC，AD所成的角为θ，则cosθ=|cos〈，〉|=.考点三已知线线角求其他量典例3．已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E，F，注意范围，利用异面直线与成角构建关系，解出范围即可.【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系，依题意，设，，设，，故，又，异面直线与成的角，故，即，即，，故，又，故.故选：B.变式3-1．如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，，E为PB的中点，，，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】设，根据，得到，解方程即得的值，即得解.【详解】设，则，，，，，AE=(-1,1,a，，的坐标为，故选：A．【点睛】本题主要考查空间向量所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.变式3-2．已知正方体的棱长为，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则（

）A． B． C．3 D．【答案】A【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系，设，由可得的坐标，求出的坐标，利用向量的夹角公式列方程求得的值，进而可得的长.【详解】建立空间直角坐标系如图所示，因为点在线段上，不妨设，易得，，，，则，．由题意得，整理可得：，解得：或（舍去），所以，，故选：A.变式3-3．已知点，分别是三棱锥的棱，的中点，，若异面直线与所成角为60°，则线段长为（

）A．3 B．6 C．6或 D．3或【答案】D【解析】先取PB的中点H，结合已知条件，利用中位线定理将异面直线成角转化成平面角或，再结合余弦定理即求得线段长.【详解】如图，取PB的中点H，则由点，分别是三棱锥的棱，的中点，，故由中位线定理知，PC//HF，AB//EH，，又异面直线与所成角为60°，故HF与EH成的角或，在中，由余弦定理得，当时，；当时，.故选：D.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决.巩固练习练习一直线的方向向量1．已知平面上两点，则下列向量是直线的方向向量是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由空间向量的坐标运算和空间向量平行的坐标表示，以及直线的方向向量的定义可得选项.【详解】解：因为两点，则，又因为与向量平行，所以直线的方向向量是，故选：D.2．设的一个方向向量，的一个方向向量，若，则m等于（

）．A．1 B． C． D．3【答案】B【解析】【分析】结合空间向量垂直的坐标运算可得到，解方程即可求出结果.【详解】因为，所以，即，所以，即．故选：B.3．已知一直线经过点，，下列向量中不是该直线的方向向量的为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】先求得，然后根据向量共线确定正确选项.【详解】由题知，，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量.A选项中的向量与不共线，所以不是直线的方向向量.故选：A4．已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则值是（

）A． B．6 C．14 D．【答案】A【解析】【分析】根据题意，结合向量平行的坐标运算，即可求解.【详解】∵，∴a//b，∴，∴，，∴.故选：A．练习二求异面直线的夹角5．在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】利用坐标法即得.【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，∴，∴，即异面直线EF与所成角的余弦值为.故选：A.6．已知三棱锥中，，，，，E，F分别为棱，的中点，则直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】建立空间直角直角坐标系，进而通过空间向量的夹角公式求得答案.【详解】如图所示：设.因为，，两两相互垂直，所以以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x轴､y轴､z轴，建立空间直角坐标系.则，，，，∴，，∴.故选：C.7．如图，在四棱锥中，，底面ABCD为长方形，，，Q为PC上一点，且，则异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，求出后可求线线角的余弦值.【详解】因为平面，平面，故，底面ABCD为长方形，故，所以DP，DC，DA两两互相垂直，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．，，，，，所以，，设异面直线AC与BQ所成的角为，则，所以异面直线AC与BQ所成的角的余弦值为．故选：A.8．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B．0 C． D．【答案】B【解析】【分析】由余弦定理求出，可证，再建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式计算即可求解.【详解】因为直三棱柱中，，，，在中，由余弦定理可得：，，，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为0故选：B.练习三已知线线角求其他量9．在四棱锥中，平面ABCD，四边形ABCD为正方形，，E为PB的中点，若，则（

）A．1 B． C．3 D．2【答案】D【解析】由已知以为原点建立空间直角坐标系，设，求得的坐标，由数量积公式可得答案.【详解】由已知两两垂直，所以以为原点，建立如图所示的坐标系，设，则，，连接取中点，连接，所以，平面，所以，所以，AE=(-1,1,由，得，解得.故选：D.【点睛】本题考查了空间向量的数量积公式的应用，关键点是建立空间直角坐标系，由数量积公式求得，考查了学生的空间想象力.10．四面体中，，，两两垂直，且，点是的中点，异面直线与所成角为，且，则该四面体的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可.【详解】分别以为轴建立空间直角坐标系，设，解得：该四面体的体积为故选：A【点睛】本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题.11．已知正方体的棱长为1，点在线段上，若直线与所成角的余弦值为，则线段的长为（

）A． B． C． D．【答案