2023年考研数学三真题

2023年考研数学（三）真题选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目规定，把所选项前的字母填在后边的括号内）当时，与等价的无穷小量是（）.设函数在处连续，下列命题错误的是：().若存在，则若存在，则.若存在，则存在若存在，则存在如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论对的的是：（）.设函数连续，则二次积分等于（）设某商品的需求函数为，其中，分别表达需要量和价格，假如该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）10203040曲线渐近线的条数为（）0123（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是()（A）(B)（C）(D)（8）设矩阵，则A与B（）（A）协议，且相似(B)协议，但不相似(C)不协议，但相似(D)既不协议，也不相似(9)某人向同一目的独立反复射击，每次射击命中目的的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目的的概率为()(10)设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表达X,Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为()（A）(B)(C)(D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则.（13）设是二元可微函数，则________.（14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.（17）（本题满分10分）设函数由方程拟定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.（18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得（20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特性值是A的属于的一个特性向量.记，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B的特性向量，并求B的所有特性值与特性向量；（Ⅱ）求矩阵B.（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为.其中参数未知，是来自总体的简朴随机样本，是样本均值.（Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.2023年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目规定，把所选项前的字母填在后边的括号内）当时，与等价的无穷小量是（B）.设函数在处连续，下列命题错误的是：(D).若存在，则若存在，则.若存在，则存在若存在，则存在如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论对的的是：（C）.设函数连续，则二次积分等于（B）设某商品的需求函数为，其中，分别表达需要量和价格，假如该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D）10203040曲线渐近线的条数为（D）0123（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是(A)（A）(B)(C)(D)（8）设矩阵，则A与B（B）（A）协议，且相似(B)协议，但不相似(C)不协议，但相似(D)既不协议，也不相似(9)某人向同一目的独立反复射击，每次射击命中目的的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目的的概率为(C)(10)设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表达X,Y的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为(A)（A）(B)(C)(D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则.（13）设是二元可微函数，则.（14）微分方程满足的特解为.（15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算环节.（17）（本题满分10分）设函数由方程拟定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性.【详解】：（18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中【详解】：积分区域D如图，不难发现D分别关于x轴和y轴对称，设是D在第一象限中的部分，即运用被积函数无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得设，其中于是由于，故为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是，，因而，故令作换元，则，于是且，代入即得综合以上计算结果可知（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明：（Ⅰ）存在使得；（Ⅱ）存在使得【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即.（20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：【详解】：由于方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为：（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A的特性值是A的属于的一个特性向量.记，其中E为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B的特性向量，并求B的所有特性值与特性向量；（Ⅱ）求矩阵B.【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证，于是于是是矩阵B的特性向量.B的特性值可以由A的特性值以及B与A的关系得到，即，所以B的所有特性值为－2，1，1.前面已经求得为B的属于－2的特性值，而A为实对称矩阵，于是根据B与A的关系可以知道B也是实对称矩阵，于是属于不同的特性值的特性向量正交，设B的属于1的特性向量为，所以有方程如下：于是求得B的属于1的特性向量为因而，矩阵B属于的特性向量是是，其中是不为零的任意常数.矩阵B属于的特性向量是是，其中是不为零的任意常数.（Ⅱ）由有令矩阵，则，所以那么（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的概率密度.【详解】：（Ⅰ），其中D为中的那部分区域；求此二重积分可得（Ⅱ）当时，；当时，；当时，当时，于是（24）（本