期末素养评估卷2024-2025学年青岛版数学九年级上册

期末素养评估（第1-4章）班级：姓名：小组：得分：一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．0或﹣32．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）x3.233.243.253.26ax2+bx+c﹣0.06﹣0.020.030.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.263．国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（）A．2（1+x）＝8.28 B．2（1+x）2＝8.28 C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.28 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.284．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，D是的中点．若∠B＝40°，则∠A的大小为（）（5）（6）（7）（8）A．50° B．60° C．70° D．80°5．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线DE交AC的延长线于点E．有下面四个结论：①∠EDA＝∠B②DE∥BC③OD⊥BC④OD＝DE．其中正确结论的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个6．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝1，点C是OB上一点，连接AC，沿AC将扇形折叠，使得点B落在AO的延长线上的点D处，连接CD，则图中阴影部分面积为（结果保留π）（）A． B． C． D．7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，1），（1，5），（5，1），（7，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A．（7，﹣2） B．（5，﹣1） C．（6，0） D．（7，3）8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，若＝，AC＝9，则GF的长为（）A．2 B．3 C． D．69．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（）．（参考数据：，，）（10）（11）（13）（15）A．米 B．米 C．56米 D．66米10．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（）A．S3＝S1+S2B．S3＝2 C．S3＝D．＝+二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（x，8），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则x的值为．12．若关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为．14．已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为cm．15．已知：如图，在△ABC中，点E在边AB上，点F在AC边上，要使△AFE∽△ABC，则需要增加的一个条件是．（写出一个即可）16．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1，点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A1B2，四边形A2B2B1C2的面积记作S2…，按规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2021＝．三．解答题（共8小题）17．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣2＝0计算：sin245°+cos245°﹣tan30°•tan60°+．18．（8分）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？（2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？19．（8分）如图．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，已知点C的坐标为（﹣4，1）．（1）以点O为位似中心，在给出的网格内画△A1B1C1使△A1B1C1与△ABC位似，并且点C1的坐标为（8，﹣2）；（2）△ABC与△A1B1C1的相似比是．20．（8分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．（1）求证：∠A＝∠C；（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，AD＝DE，AC，与OD相交于点E．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若，求DE的长．22．（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M为BC上的动点，过点M作MN⊥AM交DC于点N，连接AN．（1）求证：△ABM∽△MCN；（2）四边形ABCN的面积能否为，若能，求出此时BM的长，若不能，请说明理由．23．（10分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？24．（12分）小明在复习第22章《相似形》时，关注到书上的这道例题，温故后进行了思考、操作、探究．内容图示温故例1：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2：1，且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上．求这个矩形零件的边长．解：如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E．设PS为xcm，则PQ为2xcm．∵PQ∥BC，∴∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，∴△APQ∽△ABC．∴，即．解方程，得x＝24.2x＝48．答：这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm．思考（1）正方形是特殊的矩形，如图1，若将矩形PQRS变成正方形PQRS，其余条件不改变，请直接写出正方形PQRS的边长为cm．操作（2）能画出这类正方形吗？小明查阅资料，按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，△ABC中，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'R'S'，使S′，R'在BC边上，Q'在△ABC内，连结BQ'并延长交AC于点Q，画QR⊥BC于点R，QP⊥QR交AB于点P，PS⊥BC于点S，得到四边形PQRS．结合上述作图，请证明四边形PQRS是正方形．探究（3）小明继续探究：如图3，在正方形PQRS上又作了一个正方形P1Q1R1S1，使得边S1R1落在PQ上，点P1、Q1分别在边AB、AC上，P1Q1与AD交于点F，最终发现任意给定BC和AD的值（在实际意义范围内），都有恒成立，请给出证明．参考答案题号12345678910答案BCDCCCABBB6．12.a．13.九．14.2.15.∠AEF＝∠C，∠AFE＝∠B或．（写出一个即可）16.a．17.解：（1）方程整理得：x2﹣4x＝2，配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，开方得：x﹣2＝±，解得：x1＝2+，x2＝2﹣；原式＝+﹣1+＝．18.解：（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：（元）；（2）设每个房间的定价为a元，根据题意，得：，解得：a＝300或a＝320．答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．19.解：（1）△A1B1C1如图所示．（2）△ABC与△A1B1C1的相似比是1：2．故答案为：1：2．20.（1）证明：连接OP，如图2，∵PD是⊙O的切线，∴OP⊥PD，∵PD⊥BC，∴OP∥BC，∴∠OPA＝∠C，∵OA＝OP，∴∠OPA＝∠A，∴∠A＝∠C；（2）解：连接PB，如图2，在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，∴PB＝＝2，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，∴△BDP∽△BPC，∴BP：BC＝BD：BP，即2：BC＝2：2，解得BC＝10，∵∠A＝∠C，∴BA＝BC＝10，∴⊙O的半径为5．21.（1）证明：∵AB是直径，OD⊥OC，∴∠ACB＝90°，∠COD＝90°，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∵∠CEO＝∠DEA，∠CEO+∠ECO＝90°，∠ECO+∠OCB＝90°，∴∠CEO＝∠OCB，即∠DEA＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DAE＝∠OBC，∵∠OBC+∠CAB＝90°，∴∠DAO＝∠DAE+∠CAB＝90°，即OA⊥DA，∵OA是半径，∴AD是⊙O的切线；（2）解：∵OD⊥OC，AD⊥OA，∴∠BOC+∠DOA＝90°，∠D+∠DOA＝90°，∴∠BOC＝∠D，∵，∴，设AD＝3x，则DE＝AD＝3x，OA＝4x，在Rt△OAD中，（3x）2+（4x）2＝（3x+2）2，解得：（舍去），∴DE＝3x＝3．22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∵∠AMN＝90°，∴∠BAM+∠AMB＝∠AMB+∠CMN＝90°，∴∠BAM＝∠CMN，∴△ABM∽△MCN；（2）解：∵正方形ABCD边长为4，设BM＝x，∴CM＝BC﹣BM＝4﹣x，∵△ABM∽△MCN，∴AB：CM＝BM：CN，∴＝，∴CN＝，∵梯形ABCN面积为，∴S梯形ABCN＝（CN+AB）•BC＝×[+4]×4＝10.5，整理得：x2﹣4x+5＝0，∵Δ＝16﹣20＜0，∴梯形ABCN的面积不能为．23.解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20海里，设PC＝x海里，则BC＝x海里，在Rt△PAC中，∵tan30°＝＝＝，∴x＝10+10，∴PA＝2x＝（20+20）海里，答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，有sin∠PBE＝＝＝，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°，因此，要小于75°才安全通过，答：海监船由B处开始沿南偏东小于75°的方向航行能安全通过这一海域．24.（1）解：设正方形PQRS的边长为xcm，∵PQ∥BC，