考研数学二分类模拟题87

考研数学二分类模拟题87一、填空题1.

函数y=y(x)由方程sin(x2+y2)+ex-xy2=0所确定，则正确答案：．[解析]等式sin(x2+y2)+ex-xy2=0两边对x求导得

2cos(x2+y2)(x+yy')+ex-y2-2xyy'=0，

则

2.

设函数y=y(x)由方程ln(x2+y)=x3y+sinx确定，则正确答案：1．[解析]两边同时对x求导，并将x=0代入求导所得式子即可．

由原方程知，x=0时，y=1，代入上式，得y'|x=0=1．

3.

设函数y=y(x)由方程2xy=x+y所确定，则dy|x=0=______．正确答案：(ln2-1)dx．[解析]等式两边同时求微分得

2xy(ydx+xdy)ln2=dx+dy．

由原方程知，当x=0时，y=1，并代入上式得

ln2dx-dx=dy，

即dy|x=0=(ln2-1)dx．

也可先求出y'|x=0(原方程两边对x求导)．

4.

设函数y=y(x)由方程y=1-xey确定，则正确答案：-e．[解析]将x=0代入方程y=1-xey可得y=1．等式两端对x求导得

y'=-ey-xeyy'，

将x=0，y=1代入上式，得

5.

设y=y(x)是由方程xy+ey=x+1确定的隐函数，则正确答案：-3．[解析]当x=0时，由原方程得y(0)=0．在方程xy+ey=x+1两边对x求导得

y+xy'+eyy'=1，

①

代入x=0，y(0)=0，便有y'(0)=1．

在①式两边再次对x求导，得

2y'+xy"+eyy"+ey(y')2=0，

代入x=0，y(0)=0，y'(0)=1，得y"(0)=-3．

6.

设y=y(x)是由方程x2-y+1=ey所确定的隐函数，则正确答案：1．[解析]将x=0代入x2-y+1=ey，可得到y|x=0=0．

在x2-y+1=ey两边对x求导，得

①

将x=0，y=0代入上式，可得

在①式两边再对x求导，得

将x=0，y=0，代入上式，则可解得

7.

设函数，则y=f(x)的反函数x=f-1(y)在y=0处的导数=______．正确答案：．[解析]由题设，可得x|y=0=-1．

根据反函数求导法则，有

8.

设其中f可导，且f'(0)≠0，则正确答案：3．[解析]

9.

设函数y=y(x)由参数方程所确定，则正确答案：．[解析]

10.

设正确答案：48．[解析]由参数式求导法

再由复合函数求导法则得

11.

y=2x的麦克劳林公式中xn项的系数是______．正确答案：．[解析]解法1

(2x)(n)|x=0=2x(ln2)n|x=0=(ln2)n，于是所求系数为．

解法2

利用泰勒展开

12.

设函数，则y(n)(0)=______．正确答案：．[解析]解法1

解法2

利用泰勒展开由泰勒展开系数的唯一性，得．

13.

函数y=ln(1-2x)在x=0处的n阶导数y(n)(0)=______．正确答案：-2n(n-1)!．[解析]解法1

由于

一般地有y(n)=-2n(n-1)!(1-2x)-n，

所以

y(n)(0)=-2n(n-1)!．

解法2

利用泰勒展开，由泰勒展开系数的唯一性，得，故．

14.

函数f(x)=x22x在x=0处的n阶导数f(n)(0)=______．正确答案：n(n-1)(ln2)n-2(n=1，2，3，…)．[解析]解法1

用求函数乘积的n阶导数的莱布尼茨公式．

其中．注意(x2)(k)|x=0=0(k≠2)，，于是

f'(0)=0，

因此f(n)(0)=n(n-1)(ln2)n-2(n=1，2，3，…)．

解法2

利用泰勒展开，由泰勒展开系数的唯一性，得，故，n=2，3，…．

二、解答题1.

求由方程2y-x=(x-y)ln(x-y)所确定的函数y=y(x)的微分dy．正确答案：解

对方程两边求微分，

结合题中所给方程，可得

2.

设函数y=y(x)由方程y=xey=1所确定，求的值．正确答案：解

方程两边对x求导得

y'ey-xeyy'=0，

上式两边再对x求导得

y"-eyy'-(eyy'+xeyy'2+xeyy")=0．

由题设知x=0时y=1，代入上面两式解得y'(0)=e，y"(0)=2e2，

即

3.

设y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求．正确答案：解

y'=(1+y')f'，故，y"(1+y')2f"+y"f'，

所以

4.

设函数y=y(x)由方程xef(y)=ey确定，其中f具有二阶导数，且f'≠1，求．正确答案：解

方程两边取对数，得lnx+f(y)=y，从而求得

5.

已知函数f(u)具有二阶导数，且f'(0)=1，函数y=y(x)由方程y-xey-1=1所确定．设z=f(lny-sinx)，求正确答案：解

在y-xey-1=1中，令x=0，得y=1．

在y-xey-1=1两边对x求导，得

因为

故

又

所以

6.

设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．

试将x=x(y)所满足的微分方程变换为y=y(x)满足的微分方程；正确答案：解

代入原方程，得

y"-y=sinx．

7.

设正确答案：解

因，故

8.

已知正确答案：解

因为，所以

9.

设正确答案：解

10.

设其中f(u)具有二阶导数，且f(u)≠0，求．正确答案：解

因为，所以

11.

设函数y=y(x)由所确定，求．正确答案：解

由

因而

12.

设函数y=y(x)由参数方程所确定，求正确答案：解

由

得

所以

当x=9时，由x=1+2t2及t＞1得t=2，故

13.

设函数y=y(x)由参数方程确定，其中x(t)是初值问题的解，求．正确答案：解

由得exdx=2tdt，积分并由条件x|t=0=0，得ex=1+t2，即x=ln(1+t2)．

设函数14.

写出f(x)的反函数g(x)的表达式；正确答案：解

15.

g(x)是否有间断点、不可导点?若有，指出这些点．正确答案：解

g(x)在(-∞，+∞)内处处连续，没有间断点．利用导数的定义容易验证，g(x)的不可导点是x=0及x=-1．

16.

设函数f(x)连续，，且(A为常数)，求φ'(x)并讨论φ'(x)在x=0处的连续性．正确答案：解

由题设，知f(0)=0，φ(0)=0．令u=xt，得

从而

由导数定义有

由于

从而知φ'(x)在点x=0处连续．[解析]通过变换将φ(x)化为积分上限函数的形式，此时x≠0，但根据知f(0)=0，从而，由此，利用积分上限函数的求导法则、导数在一点处的定义以及函数连续的定义来判定φ'(x)在x=0处的连续性．

本题是一道综合性试题，主要涉及变限积分函数求导、分段函数求导及连续性的判定(极限值等于函数值)，不少考生不能正确表达出φ(x)的表达式，尤其是