2025千题百炼-高中数学100个热点问题（三）：第97炼 不等式选讲含答案

2025千题百炼——高中数学100个热点问题（三）：第97炼不等式选讲含答案第97炼不等式选讲一、基础知识：（一）不等式的形式与常见不等式：1、不等式的基本性质：（1）（2）（不等式的传递性）注：，等号成立当且仅当前两个等号同时成立（3）（4）（5）（6）2、绝对值不等式：（1）等号成立条件当且仅当（2）等号成立条件当且仅当（3）：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当3、均值不等式（1）涉及的几个平均数：①调和平均数：②几何平均数：③代数平均数：④平方平均数：（2）均值不等式：，等号成立的条件均为：（3）三项均值不等式：①②③4、柯西不等式：等号成立条件当且仅当或（1）二元柯西不等式：，等号成立当且仅当（2）柯西不等式的几个常用变形①柯西不等式的三角公式：②②式体现的是当各项系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系，刚好是均值不等式的一个补充。③5、排序不等式：设为两组实数，是的任一排列，则有：即“反序和乱序和顺序和”（二）不等式选讲的考察内容：1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立2、利用常见不等式（均值不等式，柯西不等式）求表达式的最值，要注意求最值的思路与利用基本不等式求最值的思路相似，即“寻找合适的模型→将式子向定值放缩（消元）→验证等号成立条件”3、解不等式（特别是含绝对值的不等式——可参见“不等式的解法”一节）二、典型例题：例1：若不等式恒成立，则的取值范围为________．思路：本题为恒成立问题，可知，所以只需求出的最小值即可，一种思路可以构造函数，通过对绝对值里的符号进行分类讨论得到分段函数：，进而得到，另一种思路可以想到绝对值不等式：，进而直接得到最小值，所以，从而答案：例2：若存在实数使得成立，求实数的取值范围思路：本题可从方程有根出发，得到关于的不等式，从而解出的范围解：依题意可知二次方程有解即当时，当时，恒成立当时，综上所述，可得例3：已知函数（1）当时，解不等式（2）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围（1）思路：所解不等式为，可通过分类讨论去掉绝对值进而解出不等式解：（1）当时，当时，当时，综上所述：不等式的解集为（2）思路：若不等式恒成立，可知只需即可，含绝对值，从而可通过分类讨论将其变为分段函数，通过分析函数性质即可得到，所以解：恒成立考虑在单调递减，在单调递增例4：已知都是正数,且,求的最大值思路一：已知为常数，从所求入手，发现被开方数的和为也为常数，所以想到均值不等式中“代数平均数平方平均数”，进而求得最大值解：等号成立当且仅当思路二：由所求可联想到柯西不等式（活用1）：，从而可得：即，所以可知小炼有话说：本题分为两个思路只是想到的常用不等式不同（分别为均值不等式和柯西不等式），但实质上利用柯西不等式是可以证明“代数平均数平方平均数”。证明的过程如下：例5：已知是实数，且，则的最大值是__________思路：考虑将向进行靠拢，由柯西不等式可知，对照条件可知令即可，所以，则答案：小炼有话说：使用柯西不等式的关键在于构造符合条件的形式。首先要选择合适的柯西不等式形式，然后找到所求与已知之间的联系，确定系数在柯西不等式的位置即可求解。例6：已知实数满足，则的取值范围是____________思路：本题的核心元素为，若要求的取值范围，则需要寻找两个等式中项的不等关系，即关于的不等关系，考虑到，联想到柯西不等式，则有，代入可得：解得：，验证等号成立条件：在时均有解。答案：例7：已知均为正数，求证：，并确定为何值时，等号成立思路：观察到不等式左边的项作和且存在倒数关系，右侧为常数，所以可想到基本不等式中互为倒数时，，右侧为一个常数。，从而将左侧的项均转化为与相关的项，然后再利用基本不等式即可得到最小值，即不等式得证解：由均值不等式可得：等号成立条件：例8：已知（1）若，求的最小值（2）求证：（1）思路：从所求出发可发现其分母若作和，则可与找到联系，从而想到柯西不等式的变式：，从而解：由柯西不等式可得：（2）所证不等式等价于：，观察左右的项可发现对左边任意两项使用均值不等式，即可得到右边的某项，即：，三式相加即完成证明证明：由均值不等式可得：三式相加：即小炼有话说：对于求倒数和（即为常数）的最值，有两个柯西不等式的变式可供使用：和，其不同之处在于对分母变形时运算的选择，第一个式子的变形为“分母作和”第二个式子的变形为“分母乘以对应系数再作和”，在解题时要根据题目中不同的定值条件来选择对应的不等式。例9：设，求证：思路：所证不等式中的变量位于指数和底数位置，且为乘法与乘方运算，并不利于不等式变形；所以考虑利用两边同取对数使得指数变为系数，同时将乘法运算转为加法运算。则所证不等式等价于，化简后可得：①，所证不等式为轮换对称式，则不妨给定序，即，则，由①的特点想到排序不等式，则为顺序和，是最大的，剩下的组合为乱序和或反序和，必然较小，所以有，两式相加即可完成证明。证明：将所证不等式两边同取对数可得：所证不等式为轮换对称式不妨设可得：即证明不等式小炼有话说：使用排序不等式的关键在于首先要有一个“顺序”，本题已知条件虽然没有的大小关系，但由所证不等式“轮换对称”的特点，可添加大小关系的条件，即，从而能够使用排序不等式。例10：设正数满足（1）求的最大值（2）证明：（1）思路：所求表达式为多元表达式，所以考虑减少变量个数，由得，则，下面考虑将进行转化，向靠拢，利用基本不等式进行放缩，可得：，再求关于的表达式的最大值即可。解：的最大值为，此时（2）思路：由（1）可知的最大值为，且所证不等式的左边分母含有项，所以考虑向的形式进行靠拢，联想到柯西不等式的一个变形公式：，可得：，进而结合第（1）问的结果再进行放缩即可证明不等式解：由柯西不等式可得：由（1）知等号成立条件：三、历年好题精选1、设（1）求证：（2）若不等式对任意非零实数恒成立，求的取值范围2、（2014吉林九校联考二模，24）已知关于的不等式（1）当时，求此不等式的解集；（2）若此不等式的解集为，求实数的取值范围．3、（2015，福建）已知，函数的最小值为4（1）求的值（2）求的最小值4、（2015，新课标II）设均为正数，且，证明：（1）若，则（2）是的充要条件5、（2015，陕西）已知关于的不等式的解集为（1）求实数的值（2）求的最大值6、已知定义在上的函数的最小值为（1）求的值（2）若是正实数，且满足，求证：7、（2014，江西）对任意的，的最小值为（）A.B.C.D.8、（2014，浙江）（1）解不等式：（2）设正数满足，求证：，并给出等号成立条件9、（2016，苏州高三调研）设函数（1）证明：（2）若，求实数的取值范围习题答案：1、解析：（1）（2）恒成立不等式为：设当时，当时，不成立当时，2、解析：（1）时，不等式为或，解得（2）问题转化为，不等式恒成立设或3、解析：（1）（2），等号成立条件：4、解析：（1）从而不等式得证（2）若，则即，由（1）可得若，则即综上所述：是的充要条件5、解析：（1）不等式解得：（2）由（1）可得：由柯西不等式可得：6、解析：（1）（2）由柯西不等式可得：7、答案：C解析：8、解析：（1）当时，解得当时，解得当时。解得综上所述：解集为（2）由可得：由柯西不等式可得：等号成立条件：9、解析：（1）（2）即时，不等式转化为：解得：当时，解得：综上所述：不等式的解集为：第98炼含新信息问题的求解一、基础知识：所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧1、读取“新信息”的步骤（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围（2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律（4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。2、理解“新信息”的技巧与方法（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。二、典型例题例1：设是两个集合，定义集合，如果，，则等于（）A.B.C.D.思路：依可知该集合为在中且不属于中的元素组成，或者可以理解为集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。，，所以，从而可得：答案：B例2：在内有定义。对于给定的正数，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则（）A．的最大值为2B.的最小值为2C．的最大值为1D.的最小值为1思路：由所给分式函数可知，若，则取，如果，就取，由这个规则可知，若恒成立，意味着，均有恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，即，下面求的最大值：，可知在单调递增，在单调递减，所以，从而，即的最小值为1答案：D例3：设集合，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，，则满足关系式的的个数为（）A.4B.3C.2D.1思路：本题的关键在于读懂规则，“”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关，如果理解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：，按照要求，除以4的余数为0，所以。掌握规律后再看所求关系式：要求得，则需要先解出，将其视为一个整体，可知，即除以4的余数为0，可推断，即，不妨设，即除以4的余数为2，则的值为，所以或者，共有两个解答案：C例4：定义两个平面向量的一种运算，其中为的夹角，对于这种运算，给出以下结论：①；②；③；④若，则你认为恒成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个思路：本题的新运算，即的模长乘以夹角。所以对于结论①，；对于②，，而，显然当时等式不成立；对于③，（其中表示的夹角），而，显然等式不会恒成立（也可举特殊情况如，左边为0，而右边大于等于0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简便考虑将左边平方，从而，可与找到联系：，即。综上所述，①④正确答案：B例5：如果函数对任意两个不等实数，均有，在称函数为区间上的“G”函数，给出下列命题：①函数是上的“G”函数②函数是上的“G”函数③函数是上的“G”函数④若函数是上的“G”函数，则其中正确命题的个数是（）A.B.C.D.思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得：，所以即与同号，反映出是上的增函数，从而从单调性的角度判断四个命题：①：恒成立，所以是上的增函数②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知②正确，③不正确④：若是“G函数”，则是上的增函数，所以即恒成立，因为，所以可得：，④正确综上所述：①②④正确，共有三个命题答案：C例6：对于各数互不相等的正数数组，其中，如果在时，有，则称“与”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”，例如：数组中有顺序“”，“”，其“顺序数”等于2，若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是4，则的“顺序数”是（）A.B.C.D.思路：本题中对于“顺序”的定义为，即序数小的项也小。要得到“顺序数”则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。在所求数组中可发现刚好是进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原先数组不成“顺序”的（即）反而成为所求数组的“顺序”。在五元数组中任意两个数比较大小，共有组，在中“顺序”有4个，则非“顺序”有6个，所以到了中，顺序数即为6答案：B小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由的“顺序数”是4，假设，其余各项，则在中即可数出顺序数为6例7：对任意实数定义运算如下：，则函数的值域为（）A.B.C.D.思路：本题可将描述成取中较小的数，即，所以对于，即为中较小的数。解不等式，则，所以，从而可解得值域为答案：B小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式，的图像为将的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出的图像，其中的交点通过计算可得，所以结合图像即可得到的值域为，即例8：已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为到的距离，记作（1）求点到线段的距离（2）设是长为2的线段，求点的集合所表示的图形面积思路：首先要明确新定义的“距离”，即线段上的点到该点的最小值。此时可做几个具体的图形来理解定义。可发现过作线段的垂线，若垂足在线段上，则垂线段最短，与传统的定义相同；若垂足在线段的延长线上，则需找线段上距离点最近的，即线段的某个端点。在第（1）问中，作出图像可得在线段上的垂足位于线段延长线上，所以只需比较到两个端点的距离即可；在第（2）问中，先作出的图形，表示的图形是长为2，宽为2的正方形和两个半径是1的半圆的组合图形，则为该图形的内部，再求出面积即可解：（1）设线段的端点，代入直线方程可得：（2）若，则点的轨迹为长，宽的正方形和两个半径的半圆的组合图形例9：设表示不超过的最大整数（如），对于给定的，定义，则当时，函数的值域为（）A.B.C.D.思路：由定义的式子可知分子分母含多少项，与的取值有关，即分子分母分别为个项的乘积，所以根据的定义将分为和两段进行考虑。当时，，所以，所以在的值域为；当时，，所以，从而在单调递减，，综上所述可得：答案：B例10：在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们这平面向量集合上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”。定义如下：对于任意两个向量，当且仅当“”或“且”，按上述定义的关系“”，给出下列四个命题：①若，则②若，，则③若，则对于任意的，④对于任意的向量，其中，若，则其中命题正确的序号为__________思路：从题意中可发现比较向量的“序”主要比较的是坐标，其中优先比较横坐标，若横坐标相等则再比较纵坐标，结合这个规律便可分析各个命题：（为方便说明，任一向量的横坐标记为，纵坐标记为①：显然，所以，，所以，综上可得：②：由可知：或“且”，同理：由可得：或“且”，所以由不等式和等式的传递性可得“或“且”成立，所以③：设，由由可知：或“且”，所以或“且”成立，所以④：设，由可知：或“且”，考虑若“且”，则由可知存在一种情况：且，则即，故④不正确答案：①②③小炼有话说：本题处理④的关键在于定义中的一种情况：且对无大小限制，且数量积的结果不仅与取值相关，还与的值相关。所以在考虑反例时就可以利用消除横坐标大小的关系。进而的大小关系由的纵坐标决定，就能轻松找到反例了第98炼含新信息问题的求解一、基础知识：所谓“新信息背景问题”，是指题目中会介绍一个“课本外的知识”，并说明它的规则，然后按照这个规则去解决问题。它主要考察学生接受并运用新信息解决问题的能力。这类问题有时提供的信息比较抽象，并且能否读懂并应用“新信息”是解决此类问题的关键。在本文中主要介绍处理此类问题的方法与技巧1、读取“新信息”的步骤（1）若题目中含有变量，则要先确定变量的取值范围（2）确定新信息所涉及的知识背景，寻找与所学知识的联系（3）注意信息中的细节描述，如果是新的运算要注意确定该运算是否满足交换律（4）把对“新信息”的理解应用到具体问题中，进行套用与分析。2、理解“新信息”的技巧与方法（1）可通过“举例子”的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对新信息的理解（2）可用自己的语言转述“新信息”所表达的内容，如果能够清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻。（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律（4）如果“新信息”是书本知识上某个概念的推广，则要关注此信息与原概念的不同之处，以及在什么情况下可以使用原概念。二、典型例题例1：设是两个集合，定义集合，如果，，则等于（）A.B.C.D.思路：依可知该集合为在中且不属于中的元素组成，或者可以理解为集合去掉的元素后剩下的集合。先解出中的不等式。，，所以，从而可得：答案：B例2：在内有定义。对于给定的正数，定义函数取函数。若对任意的，恒有，则（）A．的最大值为2B.的最小值为2C．的最大值为1D.的最小值为1思路：由所给分式函数可知，若，则取，如果，就取，由这个规则可知，若恒成立，意味着，均有恒成立，从而将问题转化为恒成立问题，即，下面求的最大值：，可知在单调递增，在单调递减，所以，从而，即的最小值为1答案：D例3：设集合，在上定义运算为：，其中为被4除的余数，，则满足关系式的的个数为（）A.4B.3C.2D.1思路：本题的关键在于读懂规则，“”运算的结果其实与角标和除以4的余数相关，如果理解文字叙述较为抽象不如举几个例子，例如：，按照要求，除以4的余数为0，所以。掌握规律后再看所求关系式：要求得，则需要先解出，将其视为一个整体，可知，即除以4的余数为0，可推断，即，不妨设，即除以4的余数为2，则的值为，所以或者，共有两个解答案：C例4：定义两个平面向量的一种运算，其中为的夹角，对于这种运算，给出以下结论：①；②；③；④若，则你认为恒成立的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个思路：本题的新运算，即的模长乘以夹角。所以对于结论①，；对于②，，而，显然当时等式不成立；对于③，（其中表示的夹角），而，显然等式不会恒成立（也可举特殊情况如，左边为0，而右边大于等于0）；对于④，可代入坐标进行运算，为了计算简便考虑将左边平方，从而，可与找到联系：，即。综上所述，①④正确答案：B例5：如果函数对任意两个不等实数，均有，在称函数为区间上的“G”函数，给出下列命题：①函数是上的“G”函数②函数是上的“G”函数③函数是上的“G”函数④若函数是上的“G”函数，则其中正确命题的个数是（）A.B.C.D.思路：本题看似所给不等式复杂，但稍作变形可得：，所以即与同号，反映出是上的增函数，从而从单调性的角度判断四个命题：①：恒成立，所以是上的增函数②③：可通过作出函数的图像来判断分段函数是否在给定区间上单调递增，通过作图可知②正确，③不正确④：若是“G函数”，则是上的增函数，所以即恒成立，因为，所以可得：，④正确综上所述：①②④正确，共有三个命题答案：C例6：对于各数互不相等的正数数组，其中，如果在时，有，则称“与”是该数组的一个“顺序”，一个数组中所有“顺序”的个数称为此数组的“顺序数”，例如：数组中有顺序“”，“”，其“顺序数”等于2，若各数互不相等的正数数组的“顺序数”是4，则的“顺序数”是（）A.B.C.D.思路：本题中对于“顺序”的定义为，即序数小的项也小。要得到“顺序数”则需要对数组中的数两两进行比较，再进行统计。在所求数组中可发现刚好是进行倒序的排列，所以原先数组的“顺序”在新数组中不成立，而原先数组不成“顺序”的（即）反而成为所求数组的“顺序”。在五元数组中任意两个数比较大小，共有组，在中“顺序”有4个，则非“顺序”有6个，所以到了中，顺序数即为6答案：B小炼有话说：本题也可以通过特殊的例子得到答案：例如由的“顺序数”是4，假设，其余各项，则在中即可数出顺序数为6例7：对任意实数定义运算如下：，则函数的值域为（）A.B.C.D.思路：本题可将描述成取中较小的数，即，所以对于，即为中较小的数。解不等式，则，所以，从而可解得值域为答案：B小炼有话说：本题也可以利用数形结合的方式，的图像为将的图像画在同一坐标系下，取位于下方的部分，从而作出的图像，其中的交点通过计算可得，所以结合图像即可得到的值域为，即例8：已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小