考研数学二分类模拟题55

考研数学二分类模拟题55解答题1.

位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y'2之积成反比，比例系数为求y=y(x).正确答案：[解]根据题意得

令y'=p，则有

因为p(2)=0，所以C1=0，故

进一步解得

因为y(0)=2，所以C2=0，故曲线方程为

2.

一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线.正确答案：[解]曲线在点(x，y)处的切线方程为Y-y=y'(X-x)，

令X=0，则Y=y-xy'，切线与y轴的交点为(0，y-xy')，

由题意得x2+x2y'2=4，解得，变量分离得，积分得

因为曲线经过点(2，0)，所以C=0，故曲线为

3.

设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积.正确答案：[解]对曲线L1，由题意得解得y=x(2x+C1)，

因为曲线L1过点(1，1)，所以C1=-1，故L1：y=2x2-x．

对曲线L2，由题意得，解得

因为曲线L2过点(1，1)，所以C2=-1，故

由得两条曲线的交点为及(1，1)，

故两条曲线所围成区域的面积为

4.

用变量代换x=sint将方程化为y关于t的方程，并求微分方程的通解.正确答案：[解]

代入原方程得

的通解为y=C1e-2t+C2e2t，

故原方程的通解为y=C1e-2arcsinx+C2e2arcsinx．

5.

用变量代换x=lnt将方程化为y关于t的方程，并求原方程的通解.正确答案：[解]

代入原方程得

的通解为y=C1cost+C2sint.

故原方程的通解为y=C1cosex+C2sinex．

6.

设y=y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为又此曲线上的点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线方程，并求函数y(x)的极值.正确答案：[解]因为曲线是上凸的，所以y"＜0，由题设得

令则有

因为曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线方程为y=x+1，所以p|x=0=1，从而积分得

因为曲线过点(0，1)，所以

所求曲线为

因为，所以当时函数取得极大值

飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v.7.

求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；正确答案：[解]设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得

即两边对x求导数得

又

所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为

8.

导弹运行方程.正确答案：[解]令则

进一步解得故轨迹方程为

9.

细菌的增长率与总数成正比.如果培养的细菌总数在24h内由100增长到400，求前12h后的细菌总数.正确答案：[解]设t时刻细菌总数为S，则有

所以

10.

某湖泊水量为V，每年排入湖泊中内含污染物A的污水量为，流入湖泊内不含A的水量为，流出湖的水量为设1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标.为了治理污染，从2000年初开始，限定排入湖中含A污水的浓度不超过问至多经过多少年，湖中污染物A的含量降到m0以内(设湖中A的浓度是均匀的)?正确答案：[解]设从2000年初开始，第t年湖中污染物A的总量为m，则浓度为，任取时间元素[t，t+dt]，排入湖中污染物A的含量为流出湖的污染物A的含量为则在此时间元素内污染物A的改变量为解得又由m(0)=5m0，得于是令m=m0，得t=6ln3，即至多经过7年，湖中污染物A的含量不超过m0．

11.

在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g/L，用管子以2L/min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L/min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L/min的速度输出.求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程.正确答案：[解]设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t)，m2(t)，在时间[t，t+dt]内有且满足初始条件m1(0)=150，

解得；在时间[t，t+dt]内有

且满足初始条件m2(0)=150.

12.

某人的食量是2500卡/天(1卡=4.1868焦)，其中1200卡/天用于基本的新陈代谢.在健身运动中，他所消耗的为16卡/千克/天乘以他的体重.假设以脂肪形式储存的热量百分之百有效，而一千克脂肪含热量10000卡，求该人体重怎样随时间变化.正确答案：[解]输入率为2500卡/天，输出率为(1200+16w)，其中w为体重，

根据题意得

由得代入初始条件得

于是

13.

一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长18m，运动开始时链条一边下垂8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间?正确答案：[解]设链条的线密度为ρ，取x轴正向为垂直向下，设t时刻链条下垂x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8-x)m，此时链条受到的重力为

(10+x)ρg-(8-x)ρg=2(x+1)ρg.

链条的总重量为18ρ，由牛顿第二定理F=ma得

解得当链条滑过整个钉子时，x=8，

由得

14.

质量为1g的质点受外力作用作直线运动，外力和时间成正比，和质点的运动速度成反比，在t=10s时，速度等于50cm/s.外力为39.2cm/s2，问运动开始1min后的速度是多少?正确答案：[解]由题意得因为当t=10时，v=50，F=39.2，所以k=196，从而又因为所以分离变量得vdv=196tdt，所以得C=-8550，

于是

15.

设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1.由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于z轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x).正确答案：[解]根据题意得

所以分离变量得积分得

或者

由y(0)=1，得C=1，所以解得

16.

设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有求f(x).正确答案：[解]因为所以可化为

两边对x求导得f"(x)+3f'(x)+2f(x)=e-x，

由λ2+3λ+2=0得λ1=-1，λ2=-2，

则方程f"(x)+3f'(x)+2f(x)=0的通解为C1e-x+C2e-2x．

令f"(x)+3f'(x)+2f(x)=e-x的一个特解为y0=axe-x，代入得a=1，

则原方程的通解为f(x)=C1e-x+C2e-2x+xe-x．

由f(0)=1，f'(0)=-1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e-2x+xe-x．

17.

高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足已知体积减少的速度与侧面积所成比例系数为0.9，问高度为130的雪堆全部融化需要多少时间(其中长度单位是cm，时间单位为h)?正确答案：[解]t时刻雪堆体积

侧面积根据题意得

整理得解得

因为h(0)=130，所以C=130，则，令得t=100，即经过100小时全部融化．

18.

早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午2点扫雪2km，到下午4点又扫雪1km，问降雪是什么时候开始的?正确答案：[解]设单位面积在单位时间内降雪量为a，路宽为b，扫雪速度为c，路面上雪层厚度为H(t)，扫雪车前进路程为S(t)，降雪开始时间为T，则

H(t)=a(t-T)，又b×H(t)×Δs=c×Δt，

于是令则且S(12)=0，S(14)=2，S(16)=3，由

19.

设A从原点出发，以固定速度v0沿y轴正向行驶，B从(x0，0)出发(x0＜0)，以始终指向点A的固定速度v1朝A追去，求B的轨迹方程.正确答案：[解]设t时刻B点的位置为M(x，y)，则即

两边对x求导，得代入(**)，得令则

令y'=p，由

两边积分，得由y'(x0)=0，得

从而

当k≠1时，

由y(x0)=0，得则B的轨迹方程为

当k=1时，B的轨迹方程为

20.

飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m/s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平