考研数学二分类模拟题68

考研数学二分类模拟题68解答题1.

计算定积分正确答案：[解]

2.

计算定积分正确答案：[解]

3.

计算定积分正确答案：[解]

4.

计算积分正确答案：[解]

5.

计算定积分正确答案：[解]

6.

计算积分正确答案：[解]

由得

故

7.

计算积分正确答案：[解]

8.

计算积分正确答案：[解]

9.

计算积分正确答案：[解]

10.

证明：并用此式计算正确答案：[证明]

11.

设正确答案：[解]

12.

设正确答案：[解]

由

13.

设f'(x)=arcsin(x-1)2且f(0)=0，求正确答案：[解]由f(0)=0得则

14.

设f(u)是连续函数，证明：并求正确答案：[证明]

15.

设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，|f(x)-f(y)|≤|arctanx-arctany|，又f(1)=0，证明：正确答案：[证明]由得

16.

证明：其中a＞0为常数．正确答案：[证明]则

17.

证明：正确答案：[证明]

18.

设f(x)，g(x)为[a，b]上连续的增函数(0＜a＜b)，证明：正确答案：[证明]令F(x，y)=[f(x)-f(y)][g(x)-g(y)]，D={(x，y)|a≤x≤b，a≤y≤b}，

因为f(x)，g(x)在[a，b]上为增函数，所以F(x，y)≥0，从而

而

故

19.

设f(x)在[0，1]上可导，且|f'(x)|＜M，证明：正确答案：[证明]

由得

同理

故

20.

设函数f(x)在[0，2π]上连续可微，f'(x)≥0，证明：对任意正整数n，有

正确答案：[证明]因为f'(x)≥0，所以f(0)≤f(2π)，从而f(2π)-f(0)≥0.

由

21.

设f(x)在(-∞，+∞)上是导数连续的有界函数，|f(x)-f'(x)|≤1，证明：|f(x)|≤1.正确答案：[证明]因为f(x)有界，所以

于是

即两边取绝对值得

22.

设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＜0，证明：正确答案：[证明]令

因为f"(x)＜0，所以f'(x)单调递减，从而φ'(x)＞0(a＜x＜b)．

由得φ(x)≥0(a＜x＜b)，

于是φ(b)≥0，故

23.

已知f(x)在[0，2]上二阶连续可微，f(1)=0，证明：其中正确答案：[证明]由泰勒公式得其中ξ位于1与x之间，

积分得

则

24.

计算曲线的弧长．正确答案：[解]

25.

设D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，直线l：x+y=t(t≥0)，S(t)为正方形区域D位于l左下方的面积，求正确答案：[解]

则

26.

求曲线y=2e-x(x≥0)与X轴所围成的图形的面积．正确答案：[解]所围成的面积为

27.

设f(x)是(-∞，+∞)上的连续非负函数，且求f(x)在区间[0，π]上的平均值．正确答案：[解]

由得

取x=π，则

从而在[0，π]上的平均值为

28.

设抛物线y=ax2+bx+c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+2x所围图形的面积最小，求a，b，c的值．正确答案：[解]由y=ax2+bx+c过点(0，0)及(1，2)得则y=ax2+(2-a)x．

令ax2+(2-a)x=-x2+2x得x=0及

所围成的图形面积为

令

得a=-3，

且当a＜-3时，S'(a)＜0；当a＞-3时，S'(a)＞0，

故当a=-3时，所围成的面积最小，此时a=-3，b=5，c=0.

29.

设由x=0，L及y=sint围成面积S1(t)；由y=sint，L及围成面积S2(t)，其中

(1)t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最小值?

(2)t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?正确答案：[解]

由

(1)当时，S(t)最小，且最小面积为

(2)当t=0时，S(t)最大，且最大面积为S(0)=1.

30.

设求曲线y=f(x)与x轴所围成的平面区域的面积．正确答案：[解]当-1＜x≤0时，

当x＞0时，

即

由

故所求的面积为

31.

求曲线y=xe-x(x≥0)绕x轴旋转一周所得延展到无穷远的旋转体的体积．正确答案：[解]

32.

设由y轴、y=x2(x≥0)及y=a(0＜a＜1)所围成的平面图形及由y=a，y=x2及x=1所围成的平面图形都绕x轴旋转，所得旋转体的体积相等，求a．正确答案：[解]

由

设曲线与曲线在点(x0，y0)处有公共的切线，求