考研数学二分类模拟238

考研数学二分类模拟238解答题1.

求极限．正确答案：解：记，则由，得到．因此，数列{an}是递减的．又an＞0，于是数列{an}有下界，故{an}收敛．设，则a≥0．对等式两边取极限，并利用，得到．因此a=0，即．[考点]极限、连续及其应用

2.

求(a为常数)．正确答案：解：当a=-1时

当a≠-1时

故

[考点]一元函数微积分

3.

设A为四阶矩阵，|A*|=8，则求．正确答案：解：因为A为四阶矩阵，且|A*|=8，所以|A*|=|A|3=8，于是|A|=2．

又AA*=|A|E=2E，所以A*=2A-1，故

[考点]矩阵

求下列方程的通解：4.

(x2-1)dy+(2xy-cosx)dx=0；正确答案：解：由原方程得

通解为

[考点]常微分方程

5.

．正确答案：解：将方程变形为

由公式，得

[考点]常微分方程

6.

证明：数列的极限存在．正确答案：证明：利用对数不等式，有

故{xn}单调递减．

又因

即{xn}有下界．由单调有界定理知存在．

注此极限称为欧拉(Euler)常数，记作γ．建议读者记住“欧拉常数”这个结论，以后可以直接应用(除了证明这个结论本身外)．[考点]函数、极限

7.

求方程的通解．正确答案：解：令v=y2，则方程变为，故由一阶线性方程的通解公式得

即

[考点]常微分方程

8.

求．正确答案：解：x3-3x+2=x3-1-3x+3=(x-1)2(x+2)

令

则

x=A(x-1)2+B(x+2)(x-1)+C(x+2)①

在式①中分别令x=1，x=-2，x=0代入，可解得

[考点]一元函数微积分

9.

设f(x)为[0，1]上的正值连续函数，且，求

正确答案：解：[考点]函数、极限

10.

求函数f(x，y)=x3+2x2-2xy+y2在D=[-2，2]×[-2，2]上的最大值与最小值．正确答案：解：按以下三个步骤求最值：

步骤1

求稳定点：令

fx(x，y)=3x2+4x-2y=0

fy(x，y)=-2x+2y=0

解得(0，0)，是函数f在D中的两个稳定点．

步骤2

判别稳定点的类型

因此f(0，0)=0为极小值，而不是极值点．

步骤3

为确定函数f在D上的最大、最小值，还必须讨论f在D的边界上的情形：

当x=2时

f(2，y)=16-4y+y2=(y-2)2+12

其最小值为f(2，2)=12，最大值为f(2，-2)=28；

当x=-2时

f(-2，y)=y2+4y=(y+2)2-4

其最小值为f(-2，-2)=-4，最大值为f(-2，2)=12

当y=2时

f(x，2)=x3+2x2-4x+4

由

得稳定点，及边界点x=±2，求出

当y=-2时

f(x，-2)=x3+2x2+4x+4

由的判别式Δ=-32＜0，知道f(x，-2)关于x为单调函数，故其最大、最小值分别为f(2，-2)=28，f(-2，-2)=-4．

比较f(x，y)在上述各点(0，0)，(2，2)，(-2，2)，(2，-2)，(-2，-2)，的值，得到函数f在D上的最大值和最小值分别为

[考点]多元函数微分学

11.

求以y=C1ex+C2e-x-x为通解的微分方程(C1，C2为任意常数)．正确答案：解：由

y=C1ex+C2e-x-x①

两边关于x，求导得

y'=C1ex-C2e-x-1

上式两边再关于x求导得

y"=C1ex+C2e-x②

由式①与式②得y=y"-x，即所求微分方程为y"-y-x=0．[考点]常微分方程

12.

证明：星形线的切线与两坐标轴相交，两交点所成的线段的长度为一常数．正确答案：证明：由方程，求得导数，对于曲线上任一点(x0，y0)(x0≠0)，其切线方程为

设它在两坐标轴上的截距分别为lx，ly，则

于是，交点所成的线段的长度为．由于

故l=a为一常数．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

13.

设A，B为n阶矩阵，|λE-A|=|λE-B|且A，B都可相似对角化，证明：A相似于B.正确答案：证明：因为|λE-A|=|λE-B|，所以A，B有相同的特征值，设为λ1，λ2，…，λn，又知A，B可相似对角化，因此存在可逆矩阵P1，P2，使得

由，得

取，则P-1AP=B，即A相似于B．[考点]特征值与特征向量

14.

计算积分

正确答案：解：

得

[考点]一元函数微积分

15.

设a，b，c为三个实数，证明：方程ex=ax2+bx+c不同的根不超过三个．正确答案：证明：令F(x)=ax2+bx+c-ex，则

F'(x)=2ax+b-ex，F"(x)=2a-ex，F"'(x)=-ex

反证法．若原方程的根超过三个，那么F(x)至少有四个根，分别设为x1，x2，x3，x4，且不妨假设x1＜x2＜x3＜x4．由罗尔中值定理，分别存在ξ1∈(x1，x2)，ξ2∈(x2，x3)．ξ3∈(x3，x4)，使得F'(ξ1)=F'(ξ2)=F'(ξ3)=0．再利用罗尔中值定理，存在η1∈(ξ1，ξ2)，η2∈(ξ2，ξ3)，使F"(η1)=F"(η2)=0．继续利用罗尔中值定理，存在α∈(η1，η2)，使F"'(α)=0与F"'(α)=-eα矛盾．[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

16.

设α1，α2分别为A的属于不同特征值λ1，λ2的特征向量，证明：α1+α2不是A的特征向量．正确答案：证明：反证法．若α1+α2是A的属于特征值λ的特征向量，则有

A(α1+α2)=λ(α1+α2)

因为

Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2

所以

(λ1-λ)α1+(λ2-λ)α2=0

而α1，α2线性无关，于是λ1=λ2=λ，矛盾，故α1+α2不是A的特征向量．[考点]特征值与特征向量

17.

求f(x)=|x2-3x+2|在闭区间[-10，10]上的最值．正确答案：解：令x2-3x+2=0得x=1，2．由于f(x)≥0，故在[-10，10]上，即当x=1，2时，函数取得最小值m=0．

f'(x)=(2x-3)sgn(x2-2x+3)=(2x-3)sgn[(x-1)2+2](x≠1，2)．当时，f'(x)＞0；当时，f'(x)＜0．

所以，当时有极大值，于是最大值

[考点]连续、导数、微分(Ⅱ)

18.

证明：如果|f(x)|在点a可导，且f(x)在点a连续，则f(x)在点a也可导．正确答案：证明：如果f(a)＞0，那么在a的某个邻域U(a)内，也有f(x)＞0，从而在这个邻域内，f(x)=|f(x)|，于是

f'(a)=|f|'(a)

所以f(x)在点a可导．

如果f(a)＜0，那么在a的某个邻域U(a)内，也有f(x)＜0，从而在这个邻域内，f(x)=-|f(x)|，于是

f'(a)=-|f|'(a)

所以f(x)在点a可导．

如果f(a)=0，那么x=a为|f(x)|的极小值点，又因为|f(x)|在点a可导，由费马定理，有

|f|'(a)=0

从而

因此

即f(x)在点a也可导．

19.

设b＞0，且，求b．正确答案：解：

故

[考点]函数、极限

20.

．正确答案：解：记

则

由①+②即得

[考点]一元函数微积分

21.

证明：不存在．正确答案：证1：反证．设．

由于sin(n+2)-sinn=2sin1cos(n+1)，对等式两边同时取极限，得

所以．

再对恒等式sin2n=1-cos2n两边同时取极限，得

继