考研数学二分类模拟题18

考研数学二分类模拟题18一、选择题1.

设y=y(x)由确定，则y"(0)等于______．A.2e2B.2e-2C.e2-1D.e-2-1正确答案：A[解析]当x=0时，由得y=1，两边对x求导得，

解得，且，

由得，应选A．

2.

设函数f(x)二阶可导，且f'(x)＞0，f"(x)＞0，Δy=f(x+Δx)-f(x)，其中Δx＜0，则______．A.Δy＞dy＞0B.Δy＜dy＜0C.dy＞Δy＞0D.dy＜Δy＜0正确答案：D[解析]根据微分中值定理，Δy=f(x+Δx)-f(x)=f'(ξ)Δx＜0(x+Δx＜ξ＜x)，dy=f'(x)Δx＜0，因为f"(x)＞0，所以f'(x)单调增加，而ξ＜x，所以f'(ξ)＜f'(x)，于是f'(ξ)Δx＞f'(x)Δx，即dy＜Δy＜0，选D．

3.

设f"(x)连续，f'(0)=0，，则______．A.f(0)是f(x)的极大值B.f(0)是f(x)的极小值C.(0，f(0))是y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0))也非y=f(x)的拐点正确答案：B[解析]由及f"(x)的连续性，得f"(0)=0，由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜Δ时，，从而f"(x)＞0，于是f'(x)在(-δ，δ)内单调增加，再由f'(0)=0，得当x∈(-δ，0)时，f'(x)＜0，当x∈(0，δ)时，f'(x)＞0，x=0为f(x)的极小值点，选B．

4.

设函数f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内二阶可导，且f(0)=o，f"(x)＜0，则在(0，a]上______．A.单调增加B.单调减少C.恒等于零D.非单调函数正确答案：B[解析]

令h(x)=xf'(x)-f(x)，h(0)=0，h'(x)=xf"(x)＜0(0＜x≤a)，

由得h(x)＜0(0＜x≤a)，

于是，故在(0，a]上为单调减函数，选B．

5.

设f(x)可导，则当Δx→0时，Δy-dy是Δx的______．A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小正确答案：A[解析]因为f(x)可导，所以f(x)可微分，即Δy=dy+o(Δx)，所以Δy-dy是Δx的高阶无穷小，选A．

6.

设函数则在点x=0处f(x)______．A.不连续B.连续但不可导C.可导但导数不连续D.导数连续正确答案：D[解析]因为，所以f(x)在x=0处连续；

由，得f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0；

当x＞0时，；当x＜0时，f'(x)=2x，

因为，所以f(x)在x=0处导数连续，选D．

7.

设则在x=1处f(x)______．A.不连续B.连续但不可导C.可导但不是连续可导D.连续可导正确答案：D[解析]因为，所以f(x)在x=1处连续．

因为，所以f(x)在x=1处可导．

当x≠1时，f'(x)=2x+1，因为，所以f(x)在x=1处连续可导，选D．

8.

若f(-x)=-f(x)，且在(0，+∞)内f'(x)＞0，f"(x)＞0，则在(-∞，0)内______．A.f'(x)＜0，f"(x)＜0B.f'(x)＜0，f"(x)＞0C.f'(x)＞0，f"(x)＜0D.f'(x)＞0，f"(x)＞0正确答案：C[解析]因为f(x)为奇函数，所以f'(x)为偶函数，故在(-∞，0)内有f'(x)＞0．因为f"(x)为奇函数，所以在(-∞，0)内f"(x)＜0，选C．

9.

f(x)在(-∞，+∞)内二阶可导，f"(x)＜0，，则f(x)在(-∞，0)内______．A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零正确答案：B[解析]由，得f(0)=0，f'(0)=1，因为f"(x)＜0，所以f'(x)单调减少，在(-∞，0)内f'(x)＞f'(0)=1＞0，故f(x)在(-∞，0)内为单调增函数，再由f(0)=0，在(-∞，0)内f(x)＜f(0)=0，选B．

10.

若f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且，则下列正确的是______．A.x=0是f(x)的零点B.(0，f(0))是y=f(x)的拐点C.x=0是f(x)的极大点D.x=0是f(x)的极小点正确答案：D[解析]由得f'(0)=0，

由得x=0为极小点，应选D．

11.

设f(x)在x=0的邻域内有定义，且f(0)=0，则f(x)在x=0处可导的充分必要条件是______．

A．存在

B．存在

C．存在

D．存在正确答案：C[解析]设显然，而f(x)在x=0处不可导，A不对；

即存在只能保证f(x)在x=0处右可导，故B不对；

因为，所以h→0时，

于是存在不能保证f(x)在x=0处可导，故D不对；

，选C．

12.

设曲线y=x2+ax+b与曲线2y=xy3-1在点(1，-1)处切线相同，则______．A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=2，b=1D.a=-2，b=-1正确答案：B[解析]由y=x2+ax+b得y'=2x+a，2y=xy3-1两边对x求导得2y'=y3+3xy2y'，解得，

因为两曲线在点(1，-1)处切线相同，所以，解得，应选B．

13.

设f在(-∞，+∞)上有定义，x0≠0为函数f(x)的极大值点，则______．A.x0为f(x)的驻点B.-x0为-f(-x)的极小值点C.-x0为-f(x)的极小值点D.对一切的x有f(x)≤f(x0)正确答案：B[解析]因为y=f(-x)的图像与y=f(x)的图像关于y轴对称，所以-x0为f(-x)的极大值点，从而-x0为-f(-x)的极小值点，选B．

14.

设f'(x0)=f"(x0)=0，，则下列正确的是______．A.f'(x0)是f'(x)的极大值B.f(x0)是f(x)的极大值C.f(x0)是f(x)的极小值D.(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点正确答案：D[解析]因为，所以存在δ＞0，当0＜|x-x0|＜δ时，，从而当x∈(x0-δ，x0)时，f"(x)＜0；当x∈(x0，x0+δ)时，f"(x)＞0，即(x0，f(x0))是y=f(x)的拐点，选D．

15.

设f(x)=x3+ax2+bx在x=1处有极小值-2，则______．A.a=1，b=2B.a=-1，b=-2C.a=0，b=-3D.a=0，b=3正确答案：C[解析]f'(x)=3x2+2ax+b，因为f(x)在x=1处有极小值-2，所以解得a=0，b=-3，选C．

16.

设f(x)=|x3-1|g(x)，其中g(x)连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的______．A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.非充分非必要条件正确答案：C[解析]设g(1)=0，，，

因为f'-(1)=f'+(1)=0，所以f(x)在x=1处可导．设f(x)在x=1处可导，

因为f'-(1)=f'+(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0为f(x)在x=1处可导，应选C．

17.

设f(x)连续，且，则F'(x)=______．

A．

B．

C．

D．正确答案：A[解析]，应选A．

18.

当x∈[0，1]时，f"(x)＞0，则f'(0)，f'(1)，f(1)=f(0)的大小次序为______．A.f'(0)＞f(1)-f(0)＞f'(1)B.f'(0)＜f'(1)＜f(1)-f(0)C.f'(0)＞f'(1)＞f(1)-f(0)D.f'(0)＜f(1)-f(0)＜f'(1)正确答案：D[解析]由拉格朗日中值定理得f(1)-f(0)=f'(c)(0＜c＜1)，因为f"(x)＞0，所以f'(x)单调增加，故f'(0)＜f'(c)＜f'(1)，即f'(0)＜f(1)-f(0)＜f'(1)，应选D．

19.

设f(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内可导，则______．

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则正确答案：D[解析]取，显然，但，A不对；

取f(x)=cosx，显然，但，B不对；

取f(x)=x，显然，但，C不对，应选D．事实上，取，因为，所以存在X＞0，当x＞X时，，从而．

当x＞X时，，

从而，两边取极限得，应选D．

20.

设f(x)，g(x)(a＜x＜b)为大于零的可导函数，且f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0，则当a＜x＜b时，有______．A.f(x)g(b)＞f(b)g(x)B.f(x)g(a)＞f(a)g(x)C.f(x)g(x)＞f(b)g(b)D.f(x)g(x)＞f(a)g(a)正确答案：A[解析]由f'(x)g(x)-f(x)g'(x)＜0得即，从而为单调减函数．

由a＜x＜b得，故f(x)g(b)＞f(b)g(x)，应选A．

21.

设f(x)在x=0的某邻域内连续，若，则f(x)在x=0处______．A.不可导B.可导但f'(0)≠0C.取极大值D.取极小值正确答案：D[解析]由得f(0)=0，

由极限保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，，从而f(x)＞0=f(0)，

由极值的定义得f(0)为极小值，应选D．

22.

设f(x)连续，且f'(0)＞0，则存在δ＞0，使得______．A.f(x)在(0，δ)内单调增加B.f(x)在(-δ，0)内单调减少C.对任意的x∈(-δ，0)，有f(x)＞f(0)D.对任意的x∈(0，δ)，有f(x)＞f(0)正确答案：D[解析]因为，

所以由极限的保号性，存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，，

当x∈(-δ，0)时，f(x)＜f(0)；当x∈(0，δ)时，f(x)＞f(0)，应选D．

二、解答题1.

设f(x)=g(a+bc)-g(a-bc)，其中g'(a)存在，求f'(0)．正确答案：[解]

2.

设f(x)=|x-a|g(x)，其中g(x)连续，讨论f'(a)的存在性．正确答案：[