2021届全国卷地区超级全能生高三5月联考数学文试题丙卷解析版

2021届全国卷地区“超级全能生”高三5月联考数学（文）试题（丙卷）一、单选题1．已知集合，，则的元素个数为（）A．6 B．5 C．3 D．2【答案】A【分析】根据题意，先将集合A中每个元素代入集合B的函数中求出y，再求并集即可.【详解】本题考查集合的并集运算，考查数学运算核心素养.∵，，∴，元素个数为6.故选：A.2．复数z满足，则z的虚部为（）A． B． C．2 D．【答案】B【分析】根据复数的计算得，进而得z的虚部为，即可得答案.【详解】解：，故z的虚部为，故选：B．3．若，，，则a，b，c的大小关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用幂指对函数的性质即可比较大小.【详解】，，，故选：D．4．如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径，扇形弧长，则该圆锥的表面积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据侧面展开图中扇形的弧长计算出圆锥底面圆的半径，然后根据表面积等于侧面积加上底面积求解出表面积的结果.【详解】设圆锥底面圆半径为，则，解得，∴圆锥的表面积，故选：B.5．若过函数图象上一点的切线与直线平行，则该切线方程为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】先对函数求导，由于切线与直线平行，所以可得，从而可求出切点坐标，再利用点斜式求出切线方程【详解】解：由题意，求导函数可得，∵切线与直线平行，∴，∴，∴切点P坐标为，∴过点P且与直线平行的切线方程为，即．故选：C．6．在中角，，的对边分别为，，，若，，则的面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先结合正弦定理角化边，然后由余弦定理求出角，结合均值不等式求出的最大值，从而求出面积的最大值.【详解】由题结合正弦定理角化边得.由余弦定理得.又，则.由基本不等式得，解得，当且仅当时，等号成立，此时的面积的最大值，故选：B.7．五行学说最早出现在黄老､道家学说中，据《尚书·洪范》记载：“五行：一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土.水曰润下，火曰炎上，木曰曲直，金曰从革，土曰稼穑.润下作咸，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘.”后人根据对五行的认识，又创造了木､火､土､金､水五行相生相克理论，如金与木､金与火､水与火､水与土､土与木相克，若从5大类元素中任选2类，则2类元素相克的概率是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用古典概型公式求解即可【详解】从木、火、土、金、水中任选2个，有木火、木土、木金、､木水、火土、火金、火水、土金、土水、金水，共10种情况，其中五行相克的有木土、木金、火金、火水、土水，共5种情况，所以所求的概率，故选：D8．已知向量，，，，则的值为（）A． B． C．2 D．10【答案】C【分析】先求出的坐标，再借助向量垂直的坐标表示即可得解.【详解】因，，则，而，，于是得，即，解得，所以的值为2.故选：C9．已知双曲线：(，)的左､右焦点分别为，，为左支上一点，，，则的离心率为（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】结合双曲线的定义以及在中利用余弦定理可以求出的关系，进而可以求得离心率.【详解】设，则，由双曲线的定义知，∴，又，∴，即，∴，即，∴双曲线的离心率为，故选：D.10．已知函数()的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根据二倍角公式以及辅助角公式化简，然后根据图象平移求解出的解析式，最后根据图象关于原点对称，求得关于的等式，从而的最小正值可求.【详解】∵∴.又的图象关于坐标原点对称，∴，，∴()，∴当时，取得最小值，故选：B.11．如图，在四棱锥中，是正方形的中心，底面，，，则四棱锥内切球的体积为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，先求出几何体的体积，再结合等体积法求出内切球的半径即可求解.【详解】由题可知,该几何体的底面是边长为2的正方形，侧棱长都为，连接.底面，.，，，.设四棱锥的内切球的半径为，球心为，由，得，即，解得，故四棱锥内切球的体积为.故选：B.12．已知椭圆：的两个顶点在直线上，，分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上异于长轴两个端点的任一点，过点作椭圆的切线与直线交于点，设直线，的斜率分别为，，则的值为（）A．- B． C．- D．-【答案】A【分析】根据题意求出，，进而写出椭圆的方程，设点的切线方程为，与椭圆联立，由得到，然后依次表示出相关点的坐标，利用斜率公式表示出，进而化简整理即可求出结果.【详解】∵椭圆的两顶点在直线上，∴，，∴椭圆的方程为，∴，，设点的切线方程为，，联立，消去得，∵直线与椭圆相切，∴，即，∴，，∴，∴点，又，∴，∴，设点，又在切线上，∴，∴，∴，故选：A.【点睛】（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．二、填空题13．若x，y满足约束条件，则的最大值为___．【答案】4【分析】由约束条件作出可行域，平移目标函数使得直线纵截距最大从而求得结果.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得．化为，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为．故答案为：4．14．某社区为了解本社区中老年人锻炼身体的方式，在全社区范围内随机抽查部分中老年人，了解到锻炼方式有：-走路､-骑行､-打球､-其他方式，且统计得知走路锻炼占45%，并将收集的数据整理绘制得到如图所示不完整的统计图，则打球锻炼的人数为___________.【答案】120【分析】首先根据走路锻炼的人数占总体的比例，求出总人数，然后即可求出结果.【详解】由条形统计图可知走路锻炼的有360人，且占总体的45%，所以抽查360的总人数为(人)，所以打球锻炼的人数为(人).故答案为：120.15．已知角，，若，，则___________.【答案】【分析】根据的范围确定的范围，然后求出和，将变形为，结合两角和的余弦公式即可求解.【详解】∵，，∴，，又，，∴∴，，∴.故答案为：.16．已知函数，则不等式的解集为___________.【答案】【分析】首先根据题意得到是偶函数，利用导数和奇偶性得到函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】因为，，所以，所以是偶函数.因为当时，，所以在上单调递增.又因为是偶函数，所以在上单调递减.所以，即，所以，即，解得或.故答案为：.三、解答题17．在递增的等比数列中，，是一元二次方程的根.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）()；（2）.【分析】（1）由等比数列的性质及一元二次方程求出，，再由等比数列的通项公式列方程组可求出首项与公比，从而求出数列的通项公式；（2）根据（1）求出数列的通项公式，再根据等差数列的定义及前项和公式即可求解.【详解】解：（1）设等比数列的公比为.∵，是一元二次方程的两个根且数列是递增数列，∴，.由得∴().（2）设，由（1）知，∴.又，∴数列是以为首项，1为公差的等差数列，∴.18．实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收入情况如表.月份12345678910收入(万元)10121513161715161620并计算得，，，.（1）是否可用线性回归模型拟合与的关系？请用相关系数加以说明；(当时，那么变量，有较强的线性相关关系)（2）建立关于的回归方程(结果保留1位小数)，并预测该商场12月份的收入情况.(结果保留整数)附：，，.【答案】（1）与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合，说明答案见解析；（2），预测该商场12月份的收入为20万元.【分析】（1）由题中数据及公式计算相关系数，即可作出判断；（2）由题中数据及（1）中结果计算出，，即可得出关于的回归方程，再把代入即可求解.【详解】（1）由题中数据得，，，于是得，又，从而，，所以与有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合；（2）由(1)知，而，，从而得，，所以关于的线性回归方程为，当时，，从而预测该商场12月份的收入为20万元.19．如图，在直四棱柱中，，分别为，的中点，底面是菱形，且，，.（1）证明：；（2）求到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】(1)连接，，由线面垂直的判定定理可证平面，进而可明；(2)利用等体积法，，即可求解.【详解】(1)证明：连接，.四边形是菱形，，.又是的中点，.又，.是直四棱柱，平面.又平面，.又，平面.又平面，.(2)，菱形的边长为2，是的中点，，.又是直四棱柱，侧棱长为4，为的中点，.由(1)知，，.设到平面的距离为.平面，，即，解得，即到平面的距离为.20．(，).（1）当时，求证：；（2）当时，求证：函数有两个零点.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）对求导，利用导数求得的最小值，即可得证；（2）对求导，得到的单调区间，再结合零点存在性定理，即可得证.【详解】证明：（1）当时，，，则.由得，由得，所以在上单调递增；由得，所以在上单调递减，所以在处取得极小值，也是最小值，最小值，所以当时，恒成立.（2）当时，()，则，.当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增.因为，，，所以存在，使得，即存在两个零点，1，即函数有两个零点.21．已知抛物线：()的焦点与双曲线：右顶点重合.（1）求抛物线的标准方程；（2）设过点的直线与抛物线交于不同的两点，，是抛物线的焦点，且，求直线的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由双曲线和抛物线的几何性质，即可求解；（2）设，及直线的方程，与抛物线的方程联立，由判别式､韦达定理得出，，结合已知条件求出的值，即可求得直线的方程.【详解】（1）由题设知，双曲线的右顶点为，∴，解得，∴抛物线的标准方程为.（2）设，，显然直线的斜率存在，故设直线的方程为，联立，消去得，由得，即，∴，.又∵，，∴，∴，即，解得或，∴直线的方程为或.22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l的极坐标方程为（）．（1）求曲线C的参数方程，若曲线C过原点O，求实数a的值；（2）当时，直线l与曲线C交于A，B两点，求．【答案】（1）；（2）3．【分析】（1）根据，可得，再由圆的参数方程可得，将原点代入可求a的值.（2）将代入曲线C的极坐标方程，由，利用韦达定理即可求解.【详解】解：（1）将，代入，得曲线C的直角坐标方程为，∴曲线C的参数方程为（α为参数）．∵曲线C过原点O，∴，得；（2）当时，曲线C的极坐标方程为，将代入，得．设A、B两点对应的极径分