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文档简介
江苏无锡市玉祁高级中学2024-2025学年高三数学上第一次月考试卷一.选择题(共7小题)1.某校A、B、C、D、E五名学生分别上台演讲,若A须在B前面出场,且都不能在第3号位置,则不同的出场次序有()种.A.18 B.36 C.60 D.722.对两组变量进行回归分析,得到不同的两组样本数据,第一组对应的相关系数,残差平方和,决定系数分别为r1,,,第二组对应的相关系数,残差平方和,决定系数分别为r2,,,则()A.若r1>r2,则第一组变量比第二组的线性相关关系强 B.若,则第一组变量比第二组的线性相关关系强 C.若,则第一组变量比第二组变量拟合的效果好 D.若,则第二组变量比第一组变量拟合的效果好3.有5个相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,则下列说法正确的是()A.“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球“是互斥事件 B.“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件 C.“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率 D.“至多取到1个红球“的概率大于“至多取到1个蓝球“的概率
4.对于一个古典概型的样本空间Ω和事件A,B,C,D,其中n(Ω)=60,n(A)=30,n(B)=10,n(C)=20,n(D)=30,n(A∪B)=40,n(A∩C)=10,n(A∪D)=60,则()A.A与B不互斥 B.A与D互斥但不对立 C.C与D互斥 D.A与C相互独立5.掷红蓝两个均匀的骰子,观察朝上的面的点数,记事件A1:红骰子的点数为2,A2:红骰子的点数为3,A3:两个骰子的点数之和为7,A4:两个骰子的点数之和为9,则()A.A1与A2对立 B.A3与A4不互斥 C.A1与A3相互独立 D.A2与A4相互独立6.抛掷三枚硬币,若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件A,B,C,则下列说法错误的是()A.事件A,B,C两两互斥 B. C.P(B)+P(C)=4P(A) D.事件A+B,B+C相互独立
7.甲箱中有3个黄球、2个绿球,乙箱中有2个黄球、3个绿球(这10个球除颜色外,大小、形状完全相同),先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱,记事件ABC分别表示事件“取出2个黄球”,“取出2个绿球”,“取出一黄一绿两个球”,再从乙箱中摸出一球,记事件D表示摸出的球为黄球,则下列说法正确的是()A.A,B是对立事件 B.事件B,D相互独立 C. D.二.多选题(共4小题)(多选)8.设a为常数,,f(x+y)=f(x)f(a﹣y)+f(y)f(a﹣x),则()A. B.恒成立 C.f(x+y)=2f(x)f(y) D.满足条件的f(x)不止一个(多选)9.第一组样本数据x1,x2,…,xn,第二组样本数据y1,y2,…,yn,其中yi=2xi﹣1(i=1,2,…,n),则()A.第二组样本数据的样本平均数是第一组样本数据的样本平均数的2倍 B.第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍 C.第二组样本数据的样本标准差是第一组样本数据的样本标准差的2倍 D.第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍
(多选)10.已知在伯努利试验中,事件A发生的概率为p(0<p<1),我们称将试验进行至事件A发生r次为止,试验进行的次数X服从负二项分布,记作X∼NB(r,p),则下列说法正确的是()A.若,则,k=1,2,3,… B.若X∼NB(r,p),则P(X=k)=pr(1﹣p)k﹣r,k=r,r+1,r+2,… C.若X∼NB(r,p),Y∼B(n,p),则P(X≤n)=P(Y≥r) D.若X∼NB(r,p),则当k取不小于的最小正整数时,P(X=k)最大(多选)11.某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测,以鼓励学生积极参加体育锻炼.学生的体能检测结果X服从正态分布N(75,81),其中60为体能达标线,90为体能优秀线,下列说法正确的有()附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974.A.该校学生的体能检测结果的期望为75 B.该校学生的体能检测结果的标准差为81 C.该校学生的体能达标率超过0.98 D.该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等三.填空题(共4小题)12.若直线y=kx+b(b<0)是曲线y=ex﹣2的切线,也是曲线y=lnx的切线,则b=.
13.“曼哈顿距离”是人脸识别中的一种重要测距方式,其定义如下:设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的曼哈顿距离d(A,B)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.已知M(4,6),点N在圆C:x2+y2+6x+4y=0上运动,若点P满足d(M,P)=2,则|PN|的最大值为.14.随着杭州亚运会的举办,吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念,则这3个吉祥物互不相邻的排队方法数为.(用数字作答)15.曲线在点M(﹣π,0)处的切线方程为.
四.解答题(共2小题)16.为考察药物M对预防疾病A以及药物N对治疗疾病A的效果,科研团队进行了大量动物对照试验.根据100个简单随机样本的数据,得到如下列联表:(单位:只)药物M疾病A合计未患病患病未服用301545服用451055合计7525100(1)依据α=0.1的独立性检验,分析药物M对预防疾病A的有效性;(2)用频率估计概率,现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取1只,用药物N进行治疗.已知药物N的治愈率如下:对未服用过药物M的动物治愈率为,对服用过药物M的动物治愈率为.若共选取3次,每次选取的结果是相互独立的.记选取的3只动物中被治愈的动物个数为X,求X的分布列和数学期望.附:,n=a+b+c+d.α0.1000.0500.0100.001xα2.7063.8416.63510.828
17.某大学数学建模社团在大﹣新生中招募成员,由于报名人数过多,需要进行选拔.为此,社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔,每个项目设置优、良、中三个成绩等级;当参选同学在某个项目中获得“优“或“良”时,该同学通过此项目的选拔,并进入下一个项目,否则该同学在此项目中不通过,且不能参加后续的项目,通过了全部三个项目的同学进入到数学建模社团.现有甲同学参加数学建模社团选拔,已知该同学在每个项目中得优、良、中的概率都分别为,,,且甲在每个项目中的成绩均相互独立.(1)求甲能进入到数学建模社团的概率;(2)设甲在本次数学建模社团选拔中恰好通过X个项目,求X的概率分布及数学期望.
参考答案与试题解析一.选择题(共7小题)1.【解答】解:先排3号位置,有3种方法,其它位置任意任意排,再除以AB的顺序数,故有3•=36种不同的出场次序,故选:B.2.【解答】解:根据题意,依次分析选项:对于A,若|r1|>|r2|,则第一组变量比第二组的线性相关关系强,A错误;对于B,若,必有|r1|>|r2|,则第一组变量比第二组的线性相关关系强,B正确;对于C,若,则第二组变量比第一组变量拟合的效果好,C错误;对于D,若,则第一组变量比第二组变量拟合的效果好,D错误.故选:B.3.【解答】解:有5个相同的球,其中3个红色、2个蓝色,从中一次性随机取2个球,对于A,“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球“能同时发生,不是互斥事件,故A错误;对于B,恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”能同时发生,不是互斥事件,故B错误;对于C,“至少取到1个红球”的概率P==0.9,“至少取到1个蓝球”的概率P==0.7,∴“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率,故C正确;对于D,“至多取到1个红球”的概率P==0.7,“至多取到1个蓝球”的概率P==0.9,∴“至多取到1个红球“的概率小于“至多取到1个蓝球“的概率,故D错误.故选:C.4.【解答】解:∵n(A)=30,n(B)=10,n(A∪B)=40,∴n(A∪B)=n(A)+n(B),∴A与B互斥,故A错误;由n(A∪D)=n(A)+n(D)=n(Ω)=60,A、D互斥且对立,故B错误;n(C)=20,n(A∩C)=10,则n(D∩C)=10,C与D不互斥,故C错误;由P(A)==,P(C)==,P(A∩C)==,∴P(A∩C)=P(A)P(C),∴A与C相互独立,故D正确.故选:D.5.【解答】解:对于A,事件A1:红骰子的点数为2,A2:红骰子的点数为3,A1与A2互斥但不对立,因为红骰子的点数还有其他情况,比如4,A错误;对于B,A3:两个骰子的点数之和为7,A4:两个骰子的点数之和为9,A3与A4不可能同时发生,故A3与A4互斥,B错误;对于C,两个骰子的点数之和为7的情况有1+6=2+5=3+4=4+3=5+2=6+1,则,所以P(A1)P(A3)=P(A1A3),所以A1与A3相互独立,C正确;对于D,两个骰子的点数之和为9的情况有3+6=4+5=5+4=6+3,,所以P(A2)P(A4)≠P(A2A4),D错误.故选:C.6.【解答】解:抛掷三枚硬币,若记出现“三个正面”“两个正面一个反面”“两个反面一个正面”分别为事件A,B,C,对于A,事件A,B,C中任意两个事件都不能同时发生,∴事件A,B,C两两互斥,故A正确;对于B,P(A)+P(B)+P(C)==,故B正确;对于C,P(B)+P(C)==,P(A)=,∴P(B)+P(C)≠4P(A),故C错误;对于D,P(A+B)=P(A)+P(B)==,P(B+C)=P(B)+P(C)==,P[(A+B)(B+C)]=P(B)==P(A+B)P(B+C),故D正确.故选:C.7.【解答】解:事件A与事件B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故A错误;事件B发生与否,影响事件D,∴事件B,D不是相互独立事件,故B错误;P(D)=P(A)P(D|A)+P(B)P(D|B)+P(C)P(D|C)=++=,故C正确;P(CD)=P(C)P(D|C)==,故D错误.故选:C.二.多选题(共4小题)8.【解答】解:令x=y=0,可得f(0)=2f(0)f(a),结合f(0)=,解得f(a)=,故A正确;令y=0,原式化为f(x)=f(x)f(a)+f(0)f(a﹣x),代入可得f(x)=f(a﹣x),所以原式即:f(x+y)=2f(x)f(y),故C正确;再令y=x得f(2x)=2[f(x)]2≥0,即函数值非负,令y=a﹣x,可得f(a)=2[f(x)]2,即f(x)=(负值舍去),故B正确;所以仅有一个函数关系式f(x)=满足条件,故D错误.故答案为:ABC.9.【解答】解:A中,由yi=2xi﹣1可得,第二组数的平均数=2﹣1,所以A不正确;B中,由yi=2xi﹣1可得第二组样本数据的中位数是第一组样本数据的中位数的2倍减1,所以B不正确;C中,第一组的标准差S1=,第二组的标准差S2===2=2S1,所以C正确;D中,由yi=2xi﹣1可知第二组样本数据的样本极差是第一组样本数据的样本极差的2倍,所以D正确.故选:CD.10.【解答】解:对于A选项,因为X,则P(X=K)=,故A对;对于B选项,因为X~NB(r,p),则P(X=k)=pr﹣1(1﹣p)k﹣rp=pr(1﹣p)k﹣r,k=r,r+1,r+2,⋯,故B错;对于C选项,因为从{1,2,⋯,n}中取出r+j(0≤j≤n﹣r)个数a1<a2<⋯<ar+j的取法有种,这些取法可按ar的值分类,即ar=r+i(0≤i≤n﹣r﹣j)时的取法有种,所以,,因为X~NB(r,p),Y~B(n,p),设q=1﹣p,则p+q=1,所以====P(Y≥qr),故C对;对于D选项,因为X~NB(r,p),P(X=k)最大,则,所以,解得,所以,当k取不小于的最小正整数时,P(X=k)最大,故D对.故选:ACD.11.【解答】解:对于A,该校学生的体能检测结果的期望为μ=75,故A正确,对于B,该校学生的体能检测结果的标准差为σ=,故B错误,对于C,∵μ﹣2σ=75﹣18=57<60,∴P(X>60)<P(X>μ﹣2σ)=<ξ<μ+2σ)=0.9772,故C错误,对于D,∵60+90=2μ,∴P(X≤60)=P(X>90),∴该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等,故D正确.故选:AD.三.填空题(共4小题)12.【解答】解:设y=kx+b与y=ex﹣2和y=lnx的切点分别为(x1,)、(x2,lnx2);由导数的几何意义可得k==,曲线y=ex﹣2在(x1,)处的切线方程为y﹣=(x﹣x1),即y=,曲线y=lnx在点(x2,lnx2)处的切线方程为y﹣,即,则,∴,解得x2=1,或x2=e.当x2=1时,切线方程为y=x﹣1,即b=﹣1,当x2=e时,切线方程为y=,不合题意,∴b=﹣1.故答案为:﹣1.13.【解答】解:M(4,6),点N在圆C:x2+y2+6x+4y=0上运动,若点P满足d(M,P)=2,由题意得,圆C:(x+3)2+(y+2)2=13,圆心C(﹣3,﹣2)设点P(x0,y0),则|x0﹣4|+|y0﹣6|=2,∴点P的轨迹为如下所示的正方形,其中A(4,8),B(6,6),∴|AC|==,|BC|==,∴.故答案为:.14
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