1.3 集合的基本运算（解析版）

.3集合的基本运算知识点一交集【【解题思路】求集合A∩B的常见类型(1)若A，B的元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集.(2)若A，B的元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，交集是点集.(3)若A，B是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示.【例1-1】（2024·全国·高考真题）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意得，对于集合中的元素，满足，则可能的取值为，即，于是.故选：C【例1-2】（浙江省金华市十校2023-2024学年高一下学期6月期末调研考试数学试题）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】集合，，则.故选：A.【变式】1．（2024天津河东）若集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,,则,故选:D.2．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，所以.故选：A.3．（2024·青海海西·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，将集合中的元素代入中，可得.故选：D4．（2024·湖南衡阳·模拟预测）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题得，则．故选：C.5．（23-24山西长治·期末）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】直接计算知，，.故中的三个元素中，在集合内的是和，所以.故选：A.知识点二并集【【解题思路】求集合并集的两种方法1.定义法：对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的并集定义求解，但要注意集合中元素的互异性．2.数形结合法：对于元素个数无限的集合，进行并集运算时，可借助数轴求解．注意两个集合的并集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的全部范围，建立不等式时，要注意端点值是否能取到，最好是把端点值代入题目验证．【例2-1】（23-24·浙江·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以．故选：A．【例2-2】．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为集合，，所以，故选：A.【变式】1．（2024·浙江·三模）集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得，即，，.故选：C.2．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由集合，，得.故选：D.3．（23-24山东菏泽·开学考试）已知集合，，则下列关系一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因为集合，，则集合B一定含有2，3，可能含有0，1，对比选项可知，只有C正确.故选：C知识点三补集【解题思路】1.【解题思路】1.列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合.2.由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合.【例3-1】（23-24云南省曲靖市）已知全集，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依题意，，所以.故选：D【例3-2】（2024·山西·模拟预测）已知全集，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以，故选：A.【变式】1．（24-25高一上·全国·假期作业）已知集合，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得，又因为，所以，故选：C.2．（2024·四川绵阳·模拟预测）集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题，，所以.故选：B.3．（2024·天津·三模）设全集，集合，，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，全集，则，，得，所以.故选：B知识点四交并补的综合运用【例4-1】．（23-24高二下·浙江·期中）已知集合，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】集合，，∴，则．故选：B．【例4-2】（2024·安徽合肥·模拟预测）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A，由题意得，所以．故A正确；对于B，，，所以，故B错误；对于C，，或，故C错误；对于D，或，或，故D错误.故选：A.【变式】1．（2024·天津北辰·三模）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵集合，，∴，又＝{0,1}，∴()∩N＝{0,1}．故选：C．2．（2024·四川成都·三模）设全集，集合M、N满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，故，又，故，，A选项，由题意得交集，并集和，故A错误；B选项，由于，故，B错误；C选项，由于，故，C错误；D选项，由于，故，且，又，故.故选：D3（2024·广东广州·三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题得：，，，或，或，所以，故A错误；或，故B错误；或，故C错误；，故D正确；故选：D.4．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设全集，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以或，因为，所以.故选：D.知识点五韦恩图表示集合的运算【例5-1】（23-24重庆·阶段练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【解析】由图可知：阴影部分表示的集合为.因为集合，所以，则，所以阴影部分表示的集合的子集个数为.故选：B.【例5-2】（23-24高一上·上海杨浦·开学考试）如图表示图形阴影部分的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素故可以表示为，也可以表示为：.故选：B．【变式】1．（2024·安徽·三模）已知集合，，则图中所示的阴影部分的集合可以表示为（

）

A． B．C． D．【答案】C【解析】由图可知，阴影部分表示的集合为集合中的元素去掉集合的元素构成，而，，则，得，故所求集合为.故选：C.2．（2024·湖南邵阳·三模）已知全集，集合，，如图所示，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．或【答案】D【解析】因为，，所以，所以图中阴影部分表示的集合或.故选：D3．（2024·福建泉州·模拟预测）若全集是实数集，集合，，则如图阴影部分表示的集合为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵全集是实数集，集合，∴，∴故图中阴影部分所表示的集合为集合去掉中的元素,即.故选：A.重难点一交集求参数【解题思路】1.【解题思路】1.依据：A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.（交小并大）2.关注点：当集合A⊆B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝∅的情况，否则易漏解.3.要进行集合运算时，首先必须熟练掌握基本运算法则，可按照如下口诀进行：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切忌重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集．【例6-1】（2024·甘肃兰州·三模）设集合，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为集合，若，则，即集合，所以.故选：A【例6-2】（2024·河南·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由中有2个元素可知：，，，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：A.【变式】1．（2024·宁夏银川·模拟预测）设集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，所以，，则，，，.故选：A.2．（23-24高三下·河北沧州·期中）已知集合，若，则实数（

）A．-1或2 B．1 C． D．2【答案】D【解析】因为，则，若，解得，此时，根据集合中元素的互异性，不合题意；若，即，解得或，若，此时，不合题意；当时成立.故选：D.3．（2024·山东泰安·模拟预测）设集合，，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，即，，所以，解得或，即.故选：B.4．（2024·湖北荆州·三模）已知集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意知，又且，故，即的取值范围为.故选：D.5．（2024·山东·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，再由，所以集合中最小元素应在集合中，所以，即的取值范围是.故选：B.重难点二并集求参数【例7-1】（2024·内蒙古呼伦贝尔）已知集合，，若中恰有三个元素，则由a的取值组成的集合为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为中恰有三个元素，所以或或，结合集合中元素的互异性，解得或或（舍去）或.故选：D．【例7-2】（2024·安徽阜阳）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为或，，且，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：B．【例7-3】（23-24江西宜春·阶段练习）（多选）设，，若，则实数的值可以是（

）A．0 B． C．4 D．1【答案】ABD【解析】，因为，所以，所以或或或，若，则；若，则；若，则；若，无解．故选：ABD【变式】1．（2024·江西·模拟预测）（多选）设集合，，若，则的值可以为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】ABD【解析】，因为，所以，当时，，当时，，则或，所以或，综上所述，或或.故选：ABD.2．（2023·四川内江·一模）集合，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由数轴可知，当时满足题意，即的取值范围为.故选：B3．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知集合．若，则实数．【答案】【解析】因为，故4必定在中，当时，解得或，而此时有或，解得或，故此时，当时，解得，此时，不满足，故排除，综上，即实数的值为.故答案为：重难点三已知补集求参【例8-1】（2023·河南驻马店·一模）已知全集，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由集合，，因为，可得.故选：C.【变式】1．（23-24高一上·辽宁·阶段练习）设全集，集合，则（

）A．3 B． C．4 D．2【答案】D【解析】已知，由补集概念知，，由集合中元素的互异性知，，又全集，因为，且所以，则解得．故选：D.2．（23-24高一上·湖北孝感·开学考试）设全集，且，若，则m的值等于（

）A．4 B．6 C．4或6 D．不存在【答案】A【解析】由全集，，得，即1，4是方程的两个根，于是，解得，所以m的值等于4.故选：A3．（2024高一上·全国·专题练习）已知全集，集合，，则实数的值为．【答案】【解析】由集合，可得，解得，又由且，可得，解得，经验证满足条件，所以实数的值为.故答案为：.重难点四集合综合运算求参数【例9-1】（23-24高一上·安徽·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，，因为，所以，所以，故选：A.【例9-2】（2024安徽芜湖·阶段练习）已知集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.【答案】(1)254(2){m|m≤3}(3){m|m<2或m>4}【解析】（1）当x∈Z时，A＝{x∈Z|－2≤x≤5}＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共有8个元素，所以A的非空真子集的个数为28－2＝254.（2）（2）因为A∪B＝A，所以B⊆A，当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2，符合；当B≠∅时，根据题意，可得，解得2≤m≤3.综上可得，实数m的取值范围是{m|m≤3}.（3）（3）当B＝∅时，由（1）知m<2；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得或解得m>4.综上可得，实数m的取值范围是{m|m<2或m>4}.【变式】1．（23-24高一上·浙江·期中）已知全集，集合，.(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)【解析】（1）因为，所以，，所以，（2）由得，得解得，所以，故实数的取值范围为2．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知集合，.(1)若，求的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）集合，，，则由交集的定义可知，且，解得.（2）当，即时，，符合题意；当，即时，，符合题意；当，即时，或，若，则，解得，综上，实数的取值范围是.3．（2024上海嘉定·阶段练习）设集合，，．（1）若，求a的取值范围；（2）若，求a的取值范围．【答案】（1）或（2）【解析】（1）或，即或当，即时，，此时不成立，舍去当，即时，方程的两根为，若使得成立，则需或，即或，解得.则成立时，或综上所述：或.（2）即由（1）可知或，则，当，即时，成立当，即时，，若使得成立，则需满足，即，解得（舍去）综上所述.单选题1．（2024·四川·三模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意，所以.故选：B.2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知集合，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】集合，，，，故选：D．3．（22-23·北京延庆·期末）已知集合，集合，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意可得：，或.可得，故B错误；可得或，可知集合不是集合的子集，故AC错误；可得，故D正确.故选：D.4．（23-24浙江绍兴·期末）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】对于A，，故A错误，对于B，或，所以，故B错误，对于C，，但，故C错误，对于D，，故D正确，故选：D5．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为，因为，，，所以，则.故选：A．6．（2024·重庆·模拟预测）设集合，，若，则（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【解析】当时，，则，即此时，，不符合要求；当时，，则，即此时，，符合要求；故.故选：B.7．（2024·山西临汾·三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为，所以或，又，所以.故选：A8．（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）已知集合.若，则实数的取值范围为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【解析】由，得到分两种情况考虑：①当，即时，，符合题意；②当，即时，需，解得：，综上得：，则实数的取值范围为.故选：A多选题9．（23-24高一上·江苏扬州·期中）已知集合，，且，则实数的值可以为（

）A． B． C．0 D．1【答案】BCD【解析】由可得，.当时，满足，此时；当时，，解可得，.因为，所以或.当时，；当时，.综上所述，或或.故选：BCD.10．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知集合，则下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因为集合，可得，，且，对于A中，由，，可得，所以A正确；对于B中，由，可得，所以B不正确；对于C中，由，可得，所以C正确；对于D中，由，，所以，所以D正确.故选：ACD.11．（2024·江西南昌·三模）下列结论正确的是（）A．若，则的取值范围是B．若，则的取值范围是C．若，则的取值范围是D．若，则的取值范围是【答案】BD【解析】对于选项A和B，，，若，则的取值范围是，所以A错误，B正确；对于选项C和D，若，则的取值范围是，所以D正确，C错误.故选：BD.填空题12．（23-24高一上·全国·课后作业）设集合，，，若，则，．【答案】1【解析】因为，则，注意到，可得，解得.故答案为：1；.13．（2024·海南海口·二模）已知集合，，若，则的取值范围是.【答案】【解析】由，则，故有，解得，即.故答案为：.14．（2024·河北保定·二模）已知集合，，若中有2个元素，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为中只有2个元素，则，所以.故选：B四．解答题15．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）已知全集，集合，.(1)求；(2)若，且，求a的值；(3)设集合，若C的真子集共有3个，求m的值.【答案】(1)(2)2(3)【解析】（1）由题意知，，故；（2）由，且，可得若，则，不合题意；若，则，又，故；（3）由于，集合，C的真子集共有3个，则C中必有2个元素，故.16．（2023云南玉溪·期末）已知集合，．(1)若，求；(2)在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析【解