第十章 突破1 概率、统计中的开放性与决策问题

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布突破1概率、统计中的开放性与决策问题

例1训练1例2训练2附：若随机变量

X

～

N

(μ，σ2)，则

P

(μ－σ≤

X

≤μ＋σ)≈0.6827，

P

(μ－2σ≤

X

≤μ

＋2σ)≈0.9545，

P

(μ－3σ≤

X

≤μ＋3σ)≈0.9973.(2)已知该闯关活动参赛者的累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给2500名参赛者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270

分，问甲能否获得奖励.并说明理由.②丙得知他的分数为430分，乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分

以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.例1训练1例2训练2

[解析]

(2)设此次闯关活动参赛者的累计得分为

X

，

X

～

N

(μ，σ2).例1训练1例2训练2

例1训练1例2训练2训练1[2023湖南长沙雅礼中学模拟]某学校为了减轻同学们的学习压力，班上决定进

行一次减压游戏.班主任把8个小球(只是颜色不同，其他无任何区别)放入一个袋子

里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球

得分比赛，摸到白色球每个记1分，黄色球每个记2分，红色球每个记3分，绿色球

每个记4分，摸球人得分不低于8分为胜，否则为负.并规定如下：①一人摸球，另一人不摸球.②摸出的球不放回.③摸球的人先从袋子中摸出1个球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；

若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的

记分之和.例1训练1例2训练2(1)若由甲摸球，甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；

例1训练1例2训练2(2)若由乙摸球，乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望

E

(ξ)；

ξ67891011P

例1训练1例2训练2(3)有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.

例1训练1例2训练2命题点2

统计中的开放性与决策问题例2[全国卷Ⅱ]下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额

y

(单位：亿元)的

折线图.例1训练1例2训练2

例1训练1例2训练2(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

例1训练1例2训练2(ii)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的

预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说

明利用模型②得到的预测值更可靠.说明：以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.例1训练1例2训练2训练2某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷

头在使用过程中需要更换.若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20

元；若单独购买刷头，则每个刷头30元.某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的

100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到下表：更换刷头的个数14151617181920频数881024281210用

n

(

n

∈N)表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数，

y

表示购买

刷头的费用(单位：元).例1训练1例2训练2(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数；

(2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求

y

关于

n

的函数解析式；

例1训练1例2训练2

(3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，

分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该

品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头.例1训练1例2训练2

若这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了18个刷头，则其中有78名医生购买刷头的费用均为360元，12名医生购买刷头的费用均为390元，例1训练1例2训练2

[命题点1/2023安徽十校联考]国庆节期间，某大型服装店举办了一次“你消费我促

销”活动，顾客消费满300元(含300元)可抽奖一次，抽奖方案有两种(顾客只能选择

其中的一种).方案一：从装有5个形状、大小完全相同的小球(其中红球1个，黑球4个)的抽奖盒

中，有放回地摸出3个球，每摸出1次红球，立减100元.方案二：从装有10个形状、大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)

的抽奖盒中，不放回地摸出3个球，中奖规则为若摸出2个红球，1个白球，则享受

免单优惠，若摸出2个红球，1个黑球，则打5折，若摸出1个红球，1个白球和1个黑

球，则打7.5折，其余情况不打折.(1)某顾客恰好消费300元，选择抽奖方案一，求他实付金额的分布列和数学期望；

X0100200300P

(2)若顾客消费500元，试从实付金额的期望值分析顾客选择哪种抽奖方案更合理？η0250375500P

故η的分布列为

学生用书·作业帮P3961.[2024河南名校模拟]在实施乡村振兴的进程中，某地政府引领广大农户发展特色

农业，种植优良品种柑橘.现在实验基地中种植了相同数量的

A

，

B

两种柑橘.为了比

较

A

，

B

两种柑橘品种的优劣，在柑橘成熟后随机选取

A

，

B

两种柑橘各100株，并

根据株产量

X

(单位：kg)绘制了如图所示的频率分布直方图(数据分组为[65，70)，

[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)，[90，95]).1234[解析]

(1)由题中

A

品种柑橘的频率分布直方图可知，(0.01×2＋0.03＋

a

＋0.06＋0.05)×5＝1，解得

a

＝0.04.由题中

B

品种柑橘的频率分布直方图可知，(0.05＋0.06＋

b

＋0.03＋0.01×2)×5＝1，解得

b

＝0.04.(1)求

a

，

b

的值；(2)将频率当作概率，在所有柑橘中随机抽取一株，求其株产量不低于80kg的概率；

1234[解析]

(3)设

A

品种柑橘株产量平均数的估计值为

MA

，则

MA

＝(0.01×67.5＋0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.04×82.5＋0.06×87.5＋0.05×92.5)×5＝84.5.设

B

品种柑橘株产量平均数的估计值为

MB

，则

MB

＝(0.05×67.5＋0.06×72.5＋0.04×77.5＋0.03×82.5＋0.01×87.5＋0.01×92.5)×5＝75.5.

A

品种的柑橘更好.理由一

A

品种柑橘的株产量平均数的估计值大于

B

品种柑橘的株产量平均数的估计值，故

A

品种的柑橘更好.理由二由(2)可知，

A

品种柑橘株产量不低于80kg的占比为75％，

B

品种柑橘株产

量不低于80kg的占比为25％，故

A

品种的柑橘更好.(注：答案不唯一，有道理的答案均给分)(3)求两种柑橘株产量平均数的估计值(同一组数据中的平均数用该组区间的中点值

作为代表)，并从产量角度分析，哪个品种的柑橘更好？说明理由.12342.[2023广东一模]某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放

10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次

抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色

相同为中奖，两个小球颜色不同为不中奖.(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数

X

的分布

列和数学期望.

1234

X012P

1234

Y012P

(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数

Y

的

分布列和数学期望.1234

回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第(2)问方式

进行抽奖.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第(1)问方式进行抽奖.(注：答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可)(3)如果你是商场老板，如何在上述两问的两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选

择及简要理由.1234

[解析]

(1)若甲指定第一局由乙丙比赛，“只进行三局甲就成为冠军”共有两

种情况：

1234

(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概

率最大.1234

12344.[2024山东枣庄模拟]某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，

采用随机抽样的方法从两条生产线上共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)，

得到如下统计表，其中尺寸位于[55，58)内的零件为一等品，位于[54，55)内和

[58，59)内的零件为二等品，否则为三等品.生产线[53，54)[54，55)[55，56)[56，57)[57，58)[58，59)[59，60]甲49232824102乙2141517161511234(1)完成下列2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为零件为一等

品与生产线有关联？单位：个一等品非一等品合计甲乙合计1234