2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（原卷版）

.3二次函数与一元二次方程、不等式知识点一解无参的一元二次方程【【解题思路】解一元二次不等式的一般步骤(1)将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．(2)求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．(3)画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．(4)观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．【例1】（24-25高一上·上海·假期作业）解下列不等式：(1)；(2)；(3).(4)；(5)；(6)；(7)．【变式】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）解下列一元二次不等式：(1)；(2)．(3)；(4)；(5)；(6)．(7)；(8).(9)(10)知识点二已知一元二次不等式的解求参数【【解题思路】已知以a，b，c为参数的不等式(如ax2＋bx＋c>0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循(1)根据解集来判断二次项系数的符号．(2)根据根与系数的关系把b，c用a表示出来并代入所要解的不等式．(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解．【例2】（23-24高一上·河南濮阳·阶段练习）已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A．或 B．或C． D．【变式】1．（2024高一上·全国·专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，其中，，为常数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）已知不等式的解集为,则下列结论错误的是（

）A．B．C．D．的解集为3．（23-24高一下·河北张家口·开学考试）已知不等式的解集为，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．知识点三分式不等式与绝对值不等式【【解题思路】1.绝对值不等式2.分式不等式【例3-1】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列不等式的解集.(1)(2)(3)(4)【例3-2】（2025湖北）解下列关于x的不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【变式】1（2023湖南）解下列不等式（1）；（2）.（3）；（4）.（5）2.（2023北京）解下列不等式：（1）；（2）（3）.（4）；（5）；（6）．3．（24-25高一上·上海·假期作业）（1）解不等式；（2）；（3）.知识点四实际应用题【例4】（23-24高一上·江苏南京·期中）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场．年，该种玻璃售价为欧元/平方米，销售量为万平方米．(1)据市场调查，售价每提高欧元/平方米，销售量将减少万平方米；要使销售收入不低于万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米?(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位：万平方米）至少达到多少时，才可能使年的销售收入不低于年销售收入与年投入之和?并求出此时的售价．【变式】1．（23-24高一上·湖北襄阳·期中）中华人民共和国第14届冬季运动会将于2024年2月17日至2月27日在内蒙古自治区呼伦贝尔市举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少0.2万件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价.2．（23-24高一上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求草坪外侧四周的花卉带的宽度都相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，则花卉带的宽度至少应为多少米？3．（22-23高一上·上海徐汇·阶段练习）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米．

(1)要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内；(2)要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？重难点一一元二次函数的单调性求参【例5-1】（23-24高一上·江苏南京·期末）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例5-2】（23-24陕西渭南·阶段练习）若二次函数在上为减函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一上·山东枣庄·阶段练习）若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陕西咸阳·阶段练习）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．重难点二解含参数的一元二次不等式【【解题思路】解含参数的一元二次不等式的步骤二次项系数的讨论：二项式系数若含有参数，应讨论等于0、小于0、大于0.判断方程根的个数：判断根的个数，利用判别式与0的关系、写出解集：无根时直接写解集；确定有两个根时，要讨论两根的大小关系，两根的大小关系有等于、大于、小于【例6】（2025广东潮州）解下列关于的不等式(1)；(2)；(3)；(4).【变式】（2023-2024江苏）解关于实数的不等式；(2)；(3).(4)；(5)（6）（是常数）（7）重难点三一元二次不等式恒成立【【解题思路】一元二次不等式恒成立问题的解法(1)转化为对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑两个方面：x2的系数和对应方程的判别式的符号．(2)转化为二次函数的最值问题：分离参数后，求相应二次函数的最值，使参数大于(小于)这个最值．解不等式应用题的步骤【例7-1】（2024高一广西）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【例7-2】（23-24高一下·贵州贵阳·期中）对任意的，恒成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例7-3】（23-24高一上·全国·期末）“，为真命题”是“”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【例7-4】（23-24高二下·重庆·期末）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式】1．（23-24高一上·安徽宣城·期末）若命题“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（23-24高一上·江苏徐州·期末）若命题“，”是假命题，则实数的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．83．（23-24高一下·湖南·期中）设命题p：，（其中m为常数），则“命题p为真命题”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（23-24高二下·浙江·期中）关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．或5．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为.单选题1．（23-24高一下·广东湛江·开学考试）关于的不等式的解集为，则的值为（）A． B． C． D．2．（23-24山西吕梁·阶段练习）第19届亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国杭州举行，参赛的各国运动员在比赛、训练之余，都爱逛逛杭州亚运会特许商品零售店，开启“买买买”模式.某商店售卖的一种亚运会纪念章，每枚的最低售价为15元，若每枚按最低售价销售，每天能卖出45枚，每枚售价每提高1元，日销售量将减少3枚，为了使这批纪念章每天获得600元以上的销售收入，则这批纪念章的销售单价x（单位：元）的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（22-23高一下·上海宝山·阶段练习）函数在区间上严格增，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．4．（22-23高一上·陕西宝鸡·阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件5．（2023春·福建泉州）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．或6．（2023·全国·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（21-22高一上·重庆沙坪坝·期末）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．8．（23-24高一上·贵州铜仁·期末）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．多选题9．（23-24高一上·江西赣州·期中）已知函数在上是单调函数，则的值可能为（

）A． B．2 C．3 D．410．（23-24高二下·浙江宁波·期末）若关于的一元二次不等式的解集为，则（

）A． B．C． D．11．（23-24高一上·云南昆明·期末）已知，若关于的不等式只有一个整数解，则的可能取值有（

）A． B．1 C．2 D．3填空题12．（23-24高二下·福建福州·期中）已知，若关于的不等式的解集中恰有3个整数解，则的取值范围是．13．（23-24·北京朝阳·期中）已知不等式对任意正实数x恒成立，写出一个a的可能值为.14．（2024天津南开）已知当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是．解答题15．（2024高一北京）设函数(1)若不等式对一切实数x恒成立，求a的取值范围；(2)解关于的不等式：．16．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）设．(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；(2)