第七章 第1讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

第七章立体几何与空间向量第1讲基本立体图形、简单几何体的表面积与体积

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.认识柱、锥、

台、球及简单组合

体的结构特征，能

运用这些特征描述

现实生活中简单物

体的结构.基本立

体图形2023新高考卷ⅠT12；2023全

国卷甲T15；2023全国卷甲

T16；2021新高考卷ⅠT3；

2020新高考卷ⅠT16；2020全

国卷ⅠT3；2019全国卷ⅡT16该讲每年必考，命题

重点为空间几何体的

结构，难度可大可

小；空间几何体的表

面积和体积的计算，

难度中等；课标要求命题点五年考情命题分析预测2.知道球、棱柱、

棱锥、棱台的表面

积和体积的计算公

式，能用公式解决

简单的实际问题.空间几

何体的

表面积

(侧面积)2023新高考卷ⅡT9；2022新高

考卷ⅡT7；2021新高考卷ⅡT4；

2021全国卷甲T14；2020全国卷

ⅠT10；2020全国卷ⅡT10；2020

天津T5体积的最值问

题，常用函数思

想和基本不等式

求解，难度中等

偏大；课标要求命题点五年考情命题分析预测3.能用斜二

测画法画出

简单空间图

形(长方体、

球、圆柱、

圆锥、棱柱

及其简单组

合)的直观

图.空间几

何体的

体积2023新高考卷ⅠT14；2023新高考卷ⅡT9；

2023新高考卷ⅡT14；2023全国卷乙T8；

2023天津T8；2022新高考卷ⅠT4；2022新

高考卷ⅠT8；2022新高考卷ⅡT11；2022全

国卷乙T9；2022全国卷甲T9；2022天津

T8；2021新高考卷ⅠT12；2021新高考卷

ⅡT5；2021全国卷甲T11；2020新高考卷

ⅡT13；2020全国卷ⅢT15；2019全国卷

ⅠT12；2019全国卷ⅢT16与球有关的切、

接问题，对直观

想象核心素养要

求较高，难度中

等偏大.题型以选

择题和填空题为

主.预计2025年高

考命题稳定.

1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形

底面互相①

⁠且全等多边形互相平行且②

⁠侧棱平行且相等相交于③

⁠，

但不一定相等延长线交于一点，但

不一定相等侧面形状④

⁠三角形⑤

⁠平行

相

似

一点

平行四边形

梯形

规律总结1.几种特殊棱柱的结构特征及之间的关系2.正棱锥的结构特征(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形

旋转图形矩形⑥

⁠

⁠⑦

⁠半圆形母线互相平行且相等，

⑧

⁠相交于一点延长线交于一点轴截面全等的⑨

⁠全等的⑩

⁠

⁠全等的等腰梯形圆侧面展开图⑪

⁠⑫

⁠扇环直角三角形

直角梯形

垂直于底面

矩形

等腰

三角形

矩形

扇形

2.立体图形的直观图(1)画法：常用斜二测画法.(2)规则a.原图形中

x

轴、

y

轴、

z

轴两两垂直，直观图中，∠x'O'y'＝⑬

(O'为

x'轴与y'轴的交点)，z'轴与x'轴和y'轴所在平面⑭

⁠.b.原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍⑮

于坐标轴.c.平行于

x

轴和

z

轴的线段在直观图中保持原长度⑯

，平行于

y

轴的线段长

度在直观图中变为原来的⑰

⁠.(3)用斜二测画法画出的平面图形的直观图的面积与原图形面积的关系：

S

直观图＝

⑱

S

原图形.45°或135°

垂直

平行

不变

一半

3.简单几何体的表面积与体积(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图

侧面积公式S圆柱侧＝⑲

⁠S圆锥侧＝⑳

⁠S圆台侧＝㉑

⁠

⁠2πrl

πrl

π(r＋r')l

(2)简单几何体的表面积与体积表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝㉒

⁠锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝㉓

⁠台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝㉔

⁠V＝㉕

⁠S底h

4πR2

1.[易错题]如图，长方体

ABCD

－A'B'C'D'被平面

EFGH

截去几何体B'C'HEFG，其中

EH

∥A'D'，则剩下的几何体是(

C

)A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱C123452.[多选/教材改编]给出下列命题，其中错误的是(

ABD

)A.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱B.三棱锥的四个面最多有三个直角三角形C.在四棱柱中，若两个过相对棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱D.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥ABD123453.[易错题]圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面积为

⁠

⁠.24π2＋18π

或24π2＋8π

123454.用一个半径为10cm的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被

一阵风吹倒，如图所示，则被吹倒后该无底圆锥的最高点到桌面的距离为

⁠.

cm

12345[解析]画出示意图，如图所示，设圆锥的底面半径为

r

，母线长为

l

.根据题意知

l

＝10cm，且2π

r

＝π

l

，故

r

＝5cm.所以圆锥的轴截面为等边三角形，且边长为10cm.

123455.如图，已知正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的棱长为1，则四棱锥

A

1－

BB

1

D

1

D

的体

积为

⁠.

12345

12345

命题点1

基本立体图形角度1

结构特征例1

[多选/2023新高考卷Ⅰ]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体

容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(

ABD

)A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体ABD例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6角度2

直观图例2

如图，矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O'A'＝6cm，

O'C'＝2cm，C'D'＝2cm，则原图形的形状是

，其面积为

⁠.菱形

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6角度3

展开图例3

长方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

AB

＝1，

AD

＝

AA

1＝2，

E

为棱

AA

1上的动

点，平面

BED

1交棱

CC

1于点

F

，则四边形

BED

1

F

的周长的最小值为(

B

)[解析]作出长方体如图1，将其侧面展开，如图2所示，当点

E

为

BD

1与

AA

1的交

点，点

F

为BD'1与

CC

1的交点时，截面四边形

BED

1

F

的周长最小，

B例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6方法技巧求解空间几何体表面上两点间的最短距离问题或折线段长度和的最小值问题，常利

用几何体的侧面展开图，转化为求平面两点间的最短距离问题.例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6训练1

(1)[2023全国卷甲]在正方体

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1中，

E

，

F

分别为

AB

，

C

1

D

1的中点.以

EF

为直径的球的球面与该正方体的棱共有

个公共点.

12

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

[解析]取

AB

的垂直平分线

EO

为

y

轴，则等腰梯形

ABCD

和其直观图分别如图1和

图2所示.过点

E

'作

E

'

F

⊥

A

'

B

'于点

F

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

[解析]设圆台对应圆锥的顶点为

O

，将圆锥沿

AB

所在直线展开如图所示，设点

A

在展开图中的点为

A

'，依题意得，蚂蚁经过的最短路径为

A

'

B

.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

A.100πB.128πC.144πD.192πA例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6(2)[2021全国卷甲]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积

为

⁠.

39π

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6方法技巧求空间几何体的表面积的常见类型及解题思路求多面体

的表面积即求各个面的面积之和，通常会利用特殊的四边形及三角形的面积公

式.求旋转体

的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但

要搞清旋转体的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系.注意

组合体的表面积要注意对衔接部分的处理.例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

A.πC.3πB例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

B例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6方法技巧求空间几何体体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算.割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规

则的几何体，然后进行体积计算.等体积

法通过转换底面和高来求几何体的体积，即通过将原来不容易求面积的底

面转换为容易求面积的底面，或将原来不容易看出的高转换为容易看出

并容易求解的高进行求解.常用于求三棱锥的体积.

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6训练3

(1)十字歇山顶是中国古代建筑屋顶的经典样式之一，图1中的故宫角楼的顶部

即为十字歇山顶.其上部可视为由两个相同的直三棱柱交叠而成的几何体(图2).这两

个直三棱柱有一个公共侧面

ABCD

.

在底面

BCE

中，若

BE

＝

CE

＝3，∠

BEC

＝

120°，则该几何体的体积为(

C

)图1图2C.27C例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6角度2

体积的最值问题例6

[2022全国卷乙]已知球

O

的半径为1，四棱锥的顶点为

O

，底面的四个顶点均在

球

O

的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为(

C

)

C例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6方法技巧求解体积的最值问题的方法(1)几何法：根据几何体的结构特征，先确定体积表达式中的常量与变量，然后利用

几何知识判断变量什么情况下取得最值，从而确定体积的最值.(2)代数法：先设变量，求出几何体的体积表达式，然后转化为函数最值问题或利用

不等式求解即可.例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

例1训练1例2训练2训练3训练4例4例3例5例6

1.[命题点1角度3]在正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1中，

AB

＝

AA

1＝2，

F

是线段

A

1

B

1上

的动点，则

AF

＋

FC

1的最小值为

⁠.

1234图1

图2[解析]将正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1(如图1)中的△

A

1

B

1

C

1沿

A

1

B

1翻折至平面

ABB

1

A

1上，如图2所示.在图2中，连接

AC

1，则

AF

＋

FC

1≥

AC

1.因为

AA

1＝

A

1

C

1＝2，且∠

AA

1

C

1＝90°＋60°＝150°，

1234

A.60D1234

设

A

1

C

1∩

B

1

D

1＝

O

1，

AC

∩

BD

＝

O

2，连接

O

1

O

2，如图所示.因为上、下底面中

心的连线与底面垂直，所以

O

1

O

2＝

h

，且四棱台的四条侧棱长相等.1234

1234

A.30πB.40πD1234

12344.[命题点3角度1]如图1，在直角梯形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AD

＝

AB

＝4，

BC

＝

2，将四边形

BCFE

沿中位线

EF

折起，使得∠

AEB

为直角，连接

AB

，

CD

，如图

2，则所得的几何体的体积为

⁠.图1

图26

1234

1234

1234

1234

1.[2024福州市一检]一个正四棱台形油槽可以装煤油190000cm3，其上、下底面边

长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为(

D

)B.25cmC.50cmD.75cm

D12345678910111213141516172.[2024武汉部分学校调考]某玻璃制品厂需要生产一种如图1所示的玻璃杯，该玻璃

杯可以近似看成是由一个圆柱挖去一个圆台得到的，其近似模型的直观图如图2所

示(图中数据单位为cm)，则该玻璃杯近似模型的体积(单位：cm3)为(

A

)图1图2A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰(非等边)三角形D.三边互不相等的三角形A1234567891011121314151617

12345678910111213141516174.[2024辽宁抚顺德才高级中学模拟]2023年3月12日，在马来西亚吉隆坡举行的Yong

JunKLSpeedcubing比赛半决赛中，来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩

打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录.一个三阶魔方由27个单位正方

体组成，如图，把魔方的中间一层转动了45°，则该魔方的表面积增加了(

C

)A.54C1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

C1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

A.1C.2D.3A1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

12345678910111213141516179.[2024江西分宜中学、临川一中等校联考]在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的

底面直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积

S

＝

⁠

cm2.2600π

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

11.[2023山西运城高三模拟]巴普士(约公元3～4世纪)，古希腊亚历山大学派著名几

何学家，生前有大量的著作，但大部分遗失在历史长河中，仅有《数学汇编》保存

下来.《数学汇编》一共8卷，在《数学汇编》第3卷中记载着这样一个定理：“如果

在同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条

直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于该闭合图形的面积与该闭合图形的重心旋

转所得周长的积”.已知在梯形

ABCD

中，

AD

∥

BC

，

AB

⊥

BC

，

AB

＝

BC

＝2

AD

＝4，如图所示，利用上述定理可求得梯形

ABCD

的重心

G

到点

B

的距离为(

C

)C1234567891011121314151617

123456789101112131415161712.[2024四川部分学校高三联考]已知某圆柱的轴截面是边长为2的正方形

ABCD

，

在该圆柱的底面内任取一点

E

，则当四棱锥

E

－

ABCD

的体积最大时，该四棱锥的

侧面积为(

B

)B1234567891011121314151617

123456789101112131415161713.[2023昆明市“三诊一模”]某机床厂工人将一个实心圆锥的旧零件改造成一个正

四棱柱的新零件，且正四棱柱的中心在圆锥的轴上，下底面在圆锥的底面内.已知该

圆锥的底面圆半径为3cm，高为3cm，则该正四棱柱体积(单位：cm3)的最大值为

(

B

)B.8D.9B1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

123456789101112131415161714.[多选/2022新高考卷Ⅱ]如图，四边形

ABCD

为正方形，

ED

⊥平面

ABCD

，

FB

∥

ED

，

AB

＝

ED

＝2

FB

.

记三棱锥

E

－

ACD

，

F

－

ABC

，

F

－

ACE

的体积分别为

V

1，

V

2，

V

3，则(

CD

)A.V3＝2V2B.V3＝V1C.V3＝V1＋V2D.2V3＝3V1CD1234567891011121314151617

123456789101