3.4 函数的应用（一）（解析版）

.4函数的应用（一）知识点一一次函数模型【例1】（22-23高一上·全国·课后作业）在实施“城乡危旧房改造工程”中，河西区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A种户型和30套B种户型住房共需资金480万元，建成30套A种户型和10套B种户型住房共需资金400万元．(1)在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是多少万元？(2)河西区有800套住房需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担，若国家补贴拨付的改造资金不少于2100万元，河西区财政投入额资金不超过7700万元，其中国家财政投入到A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元；①请你计算求出A种户型至少可以建多少套？最多可以建多少套？②设这项改造工程总投入资金W万元，建成A种户型m套，写出W与m的关系式，并求出最少总投入．【答案】(1)A、B户型所需资金分别为万元(2)①A户型可建最少、最多套数分别为套②，万元【解析】（1）设在危旧房改造中建成一套A种户型和一套B种户型住房所需资金分别是x万元和y万元．由题意，解得，∴在危旧房改造中建成一套种户型和一套种户型住房所需资金分别是9万元和13万元；（2）①设种户型有套，则B种户型有套．由题意解得．∴种户型至少可以建套，最多可以建套．②设这项改造工程总投入资金万元，建成种户型套，则，显然关于递减∵∴时，的最小值为万元【变式】1．（2024江苏南通·期中）党的十九大报告明确要求继续深化国有企业改革，培育具有全球竞争力的世界一流企业.某企业抓住机遇推进生产改革，从单一产品转为生产A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②（注：所示图中的横坐标表示投资金额，单位为万元）.

(1)分别求出A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，最大利润是多少？【答案】(1)，(2)A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元【解析】（1）设投资为万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元由题设，，由图知，故，又，所以．从而，．（2）设A产品投入万元，则B产品投入万元，设企业利润为万元则，令，则，当时，，此时.故A产品投入6万元，B产品投入4万元，才能使企业获得最大利润，最大利润是7万元.2．（23-24高一上·云南保山·开学考试）为落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某市政部门招标一工程队负责在山脚下修建一座水库的土方施工任务.该工程队有两种型号的挖掘机，已知3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米.每台型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台型挖掘机一小时的施工费用为180元.(1)分别求每台型，型挖掘机一小时挖土多少立方米？(2)若不同数量的型和型挖掘机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元.问施工时有哪几种调配方案，并指出哪种调配方案的施工费用最低，最低费用是多少元？【答案】(1)每台型挖掘机一小时挖土30立方米，每台型挖据机一小时挖土15立方米(2)型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元【解析】（1）设每台型，型挖掘机一小时分别挖土立方米和立方米，根据题意，得，解得.所以，每台型挖掘机一小时挖土30立方米，每台型挖据机一小时挖土15立方米.（2）设型挖掘机有台，总费用为元，则型挖据机有台.根据题意，得，因为，解得，又因为，解得，所以.所以，共有三种调配方案.方案一：当时，，即型挖据机7台，型挖掘机5台；案二：当时，，即型挖掘机8台，型挖掘机4台；方案三：当时，，即型挖掘机9台，型挖掘机3台.，由一次函数的性质可知，随的减小而减小，当时，，此时型挖掘机7台，型挖掘机5台的施工费用最低，最低费用为12000元.知识点二一元二次函数模型【例2】（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）某工厂2022年年初用100万元购进一台新的设备，并立即投入使用，该设备使用后，每年的总收入预计为50万元.设使用x年后该设备的维修、保养费用为万元，盈利总额为y万元.(1)写出y与x之间的函数关系式；(2)从第几年开始，使用该设备开始盈利?【答案】(1)(2)第三年【解析】（1）由已知可得，.（2）当时，开始盈利，即，整理可得，解得.又，所以，即从第三年开始盈利.【变式】1．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获得的利润（单位：万元）与运转时间（单位：年）的函数解析式为（，且）．(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；(2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大【解析】（1），因为，且，所以当时，取得最大值，故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；（2）设年平均利润为，因为，且，则，当且仅当，即时，等号成立，故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大.2．（2023高一·全国·专题练习）如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，已知院墙长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面的长为米．(1)当的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形的面积为S平方米，当x为何值时，S有最大值，最大值是多少？【答案】(1)15米；(2)当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米.【解析】（1）设篱笆的一面AB的长为x米，则，由题意得，，解得，，，，所以，的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得，时，S取得最大值，此时，，所以，当x为12.5米时，S有最大值，最大值是312.5平方米．知识点三分段函数模型【例3】（23-24高一上·江西上饶·期末）随着我国经济发展、医疗消费需求增长、人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.上饶市医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为100台.每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润=销售收入-成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)(2)该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）【解析】（1）由题意可得，所以.（2）当时，，当时，取最大值，（万元）；当时，，当且仅当，即时，等号成立，即（万元），因为，故当该产品的年产量为35（台）时所获利润最大，最大利润为2050（万元）.【变式】1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）新能源汽车是低碳生活的必然选择和汽车产业的发展趋势.某汽车企业为了响应国家号召，2020年积极引进新能源汽车生产设备，通过分析，全年需要投入固定成本万元.每生产（百辆）新能源汽车，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每辆车售价万元，且生产的车辆当年能全部销售完.(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润销售量售价成本）(2)年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.【答案】(1)(2)年产量为90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.【解析】（1）每辆车售价5万元，年产量（百辆）时销售收入为万元，总成本为，所以.所以年利润.（2）由（1）当时，（百辆）时（万元），当时，当且仅当（百辆）时，等号成立，因为2820万元万元,所以年产量90百辆时利润最大，最大利润为2820万元.2．（2024·全国·高一课时练习）2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价（元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足（k为正常数）．该商品的日销售量（个）与时间x（天）部分数据如下表所示：x10202530110120125120已知第10天该商品的日销售收入为121元．(1)求k的值；(2)给出两种函数模型：①，②，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量与时间x的关系，并求出该函数的解析式；(3)求该商品的日销售收入（，）（元）的最小值．【答案】(1)(2)选择②，，（，）(3)121元【解析】(1)因为第10天该商品的日销售收入为121元，所以，解得；(2)由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，故只能选②:代入数据可得：，解得，，所以，（，）(3)由（2）可得，，所以，，所以当，时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，有最小值，且为121；当，时，为单调递减函数，所以当时，有最小值，且为124，综上，当时，有最小值，且为121元，所以该商品的日销售收入最小值为121元．单选题1．（2024福建）一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为（）（默认y>x）A．y＝10－x(0<x<5)B．y＝10－2x(0<x<10)C．y＝20－x(0<x<5)D．y＝20－2x(0<x<10)【答案】A【解析】由题意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函数解析式为.故选：A2．（2024安徽）生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元）.一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（

）A．18万件 B．20万件 C．16万件 D．8万件【答案】A【解析】利润.所以当时，L(x)有最大值.故选：A3．（23-24高一上·江苏南京·期中）学校宿舍与办公室相距.某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出发，先匀速跑步来到办公室，停留，然后匀速步行返回宿含.在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，则速度函数和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的（

）

A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】A【解析】设行进的速度为m/min，行走的路程为Sm，则，且，由速度函数及路程函数的解析式可知，其图象分别为①②.故选：A4．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系式为，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（

）A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒【答案】A【解析】由题意，，则当时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第秒.故选：A.5．（22-23高一上·浙江·期中）某商场在国庆期间举办促销活动，规定：顾客购物总金额不超过400元，不享受折扣；若顾客的购物总金额超过400元，则超过400元部分分两档享受折扣优惠，折扣率如下表所示：可享受折扣优惠的金额折扣率不超过400元部分超过400元部分若某顾客获得65元折扣优惠，则此顾客实际所付金额为（

）A．935元 B．1000元 C．1035元 D．1100元【答案】C【解析】当顾客的购物总金额超过400元不超过800元时，享受折扣优惠的金额做多为元，故该顾客购物总金额一定超过了800元，设为x元，则，解得（元），则此顾客实际所付金额为元，故选：C.6．（2024四川自贡·期末）某班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形､三角形､弓形这三种方案，最佳方案是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2【答案】C【解析】方案1：设米，则米，则菜园面积，当时，此时菜园最大面积为；方案2：依题意，则，所以，当且仅当时取等号，所以，即当且仅当，时取等号；方案3：若弓形为半圆，则半圆的半径米，此时菜园最大面积；故选：C．7．（2025·广西·模拟预测）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率与其体重满足，其中和为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设初始状态为，则，，又，，即，，，，，．故选：D．8．（2024湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P沿运动时，点P经过的路程x与的面积y的函数的图象的形状大致是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】点P在AB上时,；点P在BC上时，；点P在CD上时，；所以画出分段函数的大致图象，如图所示．故选：A．多选题9．（23-24高一上·河南·期中）某种商品单价为50元时，每月可销售此种商品300件，若将单价降低元，则月销售量增加10x件，要使此种商品的月销售额不低于15950元，则x的取值可能为（

）A．9 B．7 C．13 D．11【答案】AD【解析】设此种商品的月销售额为，由题意知，单价为，销售量为，所以销售额：，所以，,,.故x的取值可能为9或者11，不可能是7或者13.故选：AD10．（22-23高一上·全国·课后作业）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2km．如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y（km）与时间x（min）的关系，下列结论正确的是（

）

A．甲同学从家出发到乙同学家走了60minB．甲从家到公园的时间是30minC．当0≤x≤30时，y与x的关系式为D．当30≤x≤60时，y与x的关系式为【答案】BCD【解析】由图象可知，甲在公园休息的时间是10min，所以只走了50min，故A错误，由题中图象可知，甲从家到公园的时间是30min，故B正确，当0≤x≤30时，设y＝kx（k≠0），则2＝30k，解得k，故C正确，当30≤x≤60时，设y＝kx+b，直线过点（40，2），（50，3），则，故y与x的关系式为，故D正确．故选：BCD11．（22-23高一上·全国·课后作业）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、B两地之间，甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地，乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地．在甲车出发至甲车到达C地的过程中，甲、乙两车各自与C地的距离y（km）与甲车行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（

）

A．甲车出发2h时，两车相遇B．乙车出发1.5h时，两车相距170kmC．乙车出发2h时，两车相遇D．甲车到达C地时，两车相距40km【答案】BCD【解析】观察函数图象可知，当t＝2时，两函数图象相交，∵C地位于A、B两地之间，∴交点代表了两车离C地的距离相等，并不是两车相遇，结论A错误；甲车的速度为240÷4＝60（km/h），乙车的速度为200÷（3.5﹣1）＝80（km/h），∵（240+200﹣60﹣170）÷（60+80）＝1.5（h），∴乙车出发1.5h时，两车相距170km，结论B正确；∵，∴乙车出发时，两车相遇，结论C正确；∵80×（4﹣3.5）＝40（km），∴甲车到达C地时，两车相距40km，结论D正确；故选：BCD填空题12．（22-23高一上·广西桂林·期中）将进货单价40元的商品按50元一个售出，能卖出500个；若此商品每涨价1元，其销售量减少10个.为了赚到最大利润，售价应定为元.【答案】【解析】设售价为元，总利润为元，则，当时，最大，最大的利润元；即定价为70元时可获得最大利润，最大的利润是9000元．故答案为:.13．（23-24高一上·上海浦东新·期末）要建造一个高为3米，容积为48立方米的无盖长方体蓄水池.已知池底的造价为每平方米1500米，池壁的造价为每平方米1000元.该蓄水池的总造价（元）关于池底一边的长度（米）的函数关系为：.【答案】，【解析】根据条件，该蓄水池的总造价元，池底一边的长度米，底面另一边长为米,∴长方体的底面积为16，侧面积为，由题意得：，,故答案为：，.14．（2024浙江宁波）某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层．某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层，据当年的物价，每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元．根据建筑公司的前期研究得到，该建筑物30年间每年的能源消耗费用N（单位：万元）与隔热层的厚度h（单位：厘米）满足关系：．经测算知道，如果不建造隔热层，那么30年间每年的能源消耗费用为10万元．设为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和，那么使达到最小值的隔热层的厚度h＝厘米．【答案】【解析】由题意及，可得，即，∴．隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和（万元），当且仅当，即（厘米）时达到最小值．故答案为:.解答题15．（23-24高一上·甘肃庆阳·期末）某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠患者的无创呼吸机，需要投入成本（单位：万元）与年产量（单位：百台）的函数关系式为，据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.(1)求年利润（单位：万元）关于年产量的函数解析式（利润销售额投入成本固定成本）；(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.【答案】(1)(2)当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元【解析】（1）当时，当时，，所以.（2）当时，当时，取得最大值，当时，，当且仅当，即时等号成立，因为，所以当时，取得最大值，综上，当年产量为台时，年利润最大，且最大年利润为万元．16．（23-24高一上·河南·期中）某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中，并要求其面积为平方米．(1)求y关于x的函数；(2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明；(3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？【答案】(1)(2)判断在其定义域单调递减;证明见解析(3)设计展牌的长为6和宽为2【解析】（1）宽为x米、长为y米的长方形展牌，所以面积为：，，其中,,故即.（2）判断在其定义域单调递减，任取则，因为所以，所以在其定义域单调递减.（3）展牌的周长即.当且仅当，时，等号成立.此时.所以设计展牌的长为6和宽为2，才能使展牌的周长最小，最小值为16.17．（23-24高一上·山东青岛·期中）新冠疫情发生以后，口罩供不应求，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献．生产口罩的固定成本为400万元，每生产x万箱，需另投入成本万元，当产量不足40万箱时，；当产量不小于40万箱时，，若每箱口罩售价160元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完．(1)求口罩销售利润y（万元）关于产量x（万箱）的函数关系式；（销售利润=销售总价固定成本生产成本）(2)当产量为多少万箱时，该口罩生产厂所获得利润最大，最大利润值是多少（万元）？【答案】(1)；(2)当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元【解析】（1）解：当时，；当时，．所以；（2）解：当时，，当时，y取得最大值，最大值为500万元；当时，，当且仅当时，即时，y取得最大值，最大值为560万元．综上，当产量为70万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为560万元18．（23-24高一上·云南昆明·期中）杭州亚运会田径比赛10月5日迎来收官，在最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌.人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段.现一