第二章 第8讲 函数模型的应用

第二章函数第8讲函数模型的应用课标要求1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题，利用计算工具，比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异，理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型，体会人们是如何借助函数刻画实际问题的，感悟数学模型中参数的现实意义.命题点五年考情命题分析预测利用函数图象刻画实际变化过程2022北京T7；2020北京T15本讲主要考查实际情境载体下的数学模型的构建及应用，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式综合命题，各种题型均有可能，属中档题.在2025年高考备考的过程中要注重对情境创新试题的训练，并能构建模型解决问题.已知函数模型求解实际问题

2023新高考卷ⅠT10；2021全国卷甲T4；2020新高考卷ⅠT6；2020全国卷ⅢT4构造函数模型求解实际问题

1.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型指数函数模型f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)对数函数模型f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m≠0，a＞0，a≠1)函数模型函数解析式幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠1)对勾函数模型2.指数、对数、幂函数模型性质的比较y＝ax(a＞1)y＝logax(a＞1)y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)

上的单调性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越①

⁠越来越②

⁠随n值变化而各有不同图象的变化随x的增大逐渐表现为

与③

⁠轴平行随x的增大逐渐表现为

与④

⁠轴平行随n值变化而各有不同联系存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax快慢yx

1.下列说法正确的是(

D

)A.函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大B.幂函数增长比一次函数增长更快C.某种商品进价为每件100元，按进价增加10％后出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利D.在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α＞0)的增长速度D12342.已知

f

(

x

)＝

x

2，

g

(

x

)＝2

x

，

h

(

x

)＝log2

x

，当

x

∈(4，＋∞)时，对三个函数的增

长速度进行比较，下列选项中正确的是(

B

)A.f(x)＞g(x)＞h(x)B.g(x)＞f(x)＞h(x)C.g(x)＞h(x)＞f(x)D.f(x)＞h(x)＞g(x)B1234

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

C12344.[2023湖南省株洲市模拟]“每天进步一点点”可以用数学来诠释，假如你今天的

数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过

y

天之后，你的数学水平

x

与

y

之间的函数关系式是(

C

)A.y＝log0.95xB.y＝log0.995xC.y＝log1.005xD.y＝log1.05x

C1234

例1训练1例2训练2例3训练3①在[

t

1，

t

2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在

t

2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在

t

3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，

t

1]，[

t

1，

t

2]，[

t

2，

t

3]这三段时间中，在[0，

t

1]的污水治

理能力最强.给出下列四个结论：其中所有正确结论的序号是

⁠.①②③

例1训练1例2训练2例3训练3[解析]由题图可知甲企业的污水排放量在

t

1时刻高于乙企业，而在

t

2时刻甲、乙

两企业的污水排放量相同，故在[

t

1，

t

2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙

企业强，故①正确；甲企业污水排放量与时间的关系图象在

t

2时刻切线的斜率的绝

对值大于乙企业，故②正确；在

t

3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都低于污水达

标排放量，故都已达标，③正确；甲企业在[0，

t

1]，[

t

1，

t

2]，[

t

2，

t

3]这三段时间

中，在[

t

1，

t

2]这段时间的污水治理能力最强，故④错误.例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧判断函数图象与实际变化过程是否吻合的方法(1)构建函数模型法：若易构建函数模型，则先建立函数模型，再结合模型选择函数

图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，

验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.例1训练1例2训练2例3训练3

ABDA.乙的速度为300米/分B.25分钟后甲的速度为400米/分C.乙比甲晚14分钟到达B地D.A，B两地之间的路程为29400米例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3命题点2

已知函数模型求解实际问题

例2

(1)[2024武汉部分学校调考]某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水

过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量

N

(mg/L)与时间

t

(h)的关系为

N

＝

N

0e－

kt

，其中

N

0为初始污染物的数量，

k

为常数.若

在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30％，则可计算前6个小时共能过

滤掉污染物的(

C

)A.49％B.51％C.65.7％D.72.9％

C例1训练1例2训练2例3训练3

声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060～90混合动力汽车1050～60电动汽车1040例1训练1例2训练2例3训练3A.p1≥p2B.p2＞10p3C.p3＝100p0D.p1≤100p2

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为

p

1，

p

2，

p

3，则(

ACD

)ACD例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧已知函数模型求解实际问题的步骤(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数；(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数；(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.例1训练1例2训练2例3训练3

A.1500元B.1200元C.1000元D.800元C例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3命题点3

构造函数模型求解实际问题例3

(1)[2024四川省叙永一中模拟]净水机通过分级过滤的方式使自来水逐步达到纯

净水的标准，其中第一级过滤一般由孔径为5微米的

PP

棉滤芯(聚丙烯熔喷滤芯)构

成，其结构是多层式的，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质，假

设每一层

PP

棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，若过滤前水中大颗粒杂质

含量为80mg/L，现要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2mg/L，则

PP

棉滤芯

的层数最少为(参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477)(

A

)A.10B.9C.8D.7A例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3(2)[2023南昌市模拟]某市出台两套出租车计价方案，方案一：2千米及2千米以内收

费8元(起步价)，超过2千米的部分每千米收费3元，不足1千米按1千米计算；方案

二：3千米及3千米以内收费12元(起步价)，超过3千米不超过10千米的部分每千米收

费2.5元，超过10千米的部分每千米收费3.5元，不足1千米按1千米计算.以下说法正

确的是(

C

)A.方案二比方案一更优惠B.乘客甲打车行驶4千米，他应该选择方案二C.乘客乙打车行驶12千米，他应该选择方案二D.乘客丙打车行驶16千米，他应该选择方案二C例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3方法技巧构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上

的解；(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，返回到原来的

实际问题中去，得到实际问题的解.例1训练1例2训练2例3训练3

A.45.5B.37.5C.36D.35B例1训练1例2训练2例3训练3

例1训练1例2训练2例3训练3

B123A.(0.4π＋8)万元B.(0.04π＋8)万元C.(0.4π＋6)万元D.(0.04π＋6)万元

1232.[命题点2/多选]第31届世界大学生夏季运动会在四川成都举行，大运会吉祥物“蓉

宝”备受人们欢迎.某大型超市举行抽奖活动，推出“单次消费满1000元可参加抽

奖”的活动，奖品为若干个大运会吉祥物“蓉宝”.抽奖结果分为五个等级，等级

x

与获得“蓉宝”的个数

f

(

x

)的关系式为

f

(

x

)＝

p

＋e

kx

＋

b

，已知三等奖比四等奖获得

的“蓉宝”多2个，比五等奖获得的“蓉宝”多3个，且三等奖获得的“蓉宝”数是

五等奖的2倍，则(

ABD

)A.k＝－ln2B.b＝5ln2C.p＝3D.二等奖获得的“蓉宝”数为10ABD123

123

1233.[命题点3]某省2023年退休人员基本养老金，采取定额调整、挂钩调整和适当倾斜

相结合的办法.(1)定额调整：每人每月增加41元养老金.(2)挂钩调整：按以下两部分

计算增加养老金，①按2022年12月本人基本养老金的1.25％确定月增加额；②按本

人缴费年限分段确定月增加额，其中，对15年(含)以下的部分，每满1年，月增加1.2

元，16年(含)以上至25年的部分，每满1年，月增加1.4元，26年(含)以上至35年的部

分，每满1年，月增加1.6元，36年(含)以上至45年的部分，每满1年，月增加1.8元，

46年(含)以上的部分，每满1年，月增加2元.(3)适当倾斜：2022年12月31日前，年满

70周岁不满75周岁、年满75周岁不满80周岁和年满80周岁的退休人员，每人每月分

别增加15元、30元和60元养老金.张女士今年57周岁，缴费年限是34年，2022年12月

的基本养老金为3000元，则张女士2023年基本养老金的月增加额为(

B

)BA.78.5元B.124.9元C.132.9元D.147.9元123[解析]张女士年龄不满70周岁，没有“适当倾斜”的部分，只有定额调整41元和挂钩调整的两部分，其中按2022年12月本人基本养老金的1.25％确定的月增加额为3000×1.25％＝37.5(元)；按本人缴费年限分段确定的月增加额为15×1.2＋10×1.4＋(34－15－10)×1.6＝46.4(元).因此张女士2023年基本养老金的月增加额为41＋37.5＋46.4＝124.9(元)，故选B.123

123456789101.[2023合肥市二检]Malthus模型是一种重要的数学模型.某研究人员在研究一种细菌

数量

N

(

t

)与时间

t

的关系时，得到的Malthus模型是

N

(

t

)＝

N

0e0.46

t

，其中

N

0是

t

＝

t

0时刻的细菌数量，e为自然对数的底数.若

t

时刻细菌数量是

t

0时刻细菌数量的6.3倍，则

t

约为(ln6.3≈1.84)(

C

)A.2B.3C.4D.5[解析]因为

t

时刻细菌数量是

t

0时刻细菌数量的6.3倍，所以

N

0e0.46

t

＝6.3

N

0，即

e0.46

t

＝6.3，则0.46

t

＝ln6.3≈1.84，得

t

≈4.故选C.C

A.890.23tB.755.44tC.244.69tD.243.69tB12345678910

123456789103.[2022北京高考]在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化

碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化

碳所处的状态与

T

和lgP

的关系，其中

T

表示温度，单位是K；

P

表示压强，单位是

bar.下列结论中正确的是(

D

)A.当T＝220，P＝1026时，二氧化碳处于液态B.当T＝270，P＝128时，二氧化碳处于气态C.当T＝300，P＝9987时，二氧化碳处于超临界状态D.当T＝360，P＝729时，二氧化碳处于超临界状态D12345678910[解析]对于A选项，当

T

＝220，

P

＝1026，即lgP

＝lg1026＞lg103＝3

时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于B选项，当

T

＝270，

P

＝128，

即lgP

＝lg128∈(lg102，lg103)，即lgP

∈(2，3)时，根据图象可知，二氧化

碳处于液态；对于C选项，当

T

＝300，

P

＝9987，即lgP

＝lg9987＜lg104

＝4时，根据图象可知，二氧化碳处于固态；对于D选项，当

T

＝360，

P

＝

729，即lgP

＝lg729∈(lg102，lg103)，即lgP

＝lg729∈(2，3)时，根据图象

可知，二氧化碳处于超临界状态.故选D.123456789104.[多选/2024广东七校联考]尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家经过研

究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量

E

(单位：焦耳)与地震里氏震

级

M

之间的关系为lgE

＝4.8＋1.5

M

，则下列说法正确的是(

ACD

)A.地震释放的能量为1015.3焦耳时，地震里氏震级为七级B.八级地震释放的能量为七级地震释放的能量的6.3倍C.八级地震释放的能量为六级地震释放的能量的1000倍ACD12345678910

123456789105.[2024江苏常州模拟]牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：θ＝(θ1－θ0)e－

kt

＋θ0，其中

t

为时间(单位：min)，θ0为环境温度，θ1为物体初始温度，θ为冷却后温

度.假设在室内温度为20°C的情况下，一杯饮料由100℃降低到60℃需要20min，则

此饮料从60℃降低到25℃需要

⁠min.

60

12345678910

3

10

12345678910

12345678910(1)当投入

A

，

B

两个项目的资金相同且

B

项目比

A

项目一年创造的利润高时，求投

入

A

项目的资金

x

(单位：万元)的取值范围.

综上，投入

A

项目的资金

x

(单位：万元)的取值范围为(10，40).(2)若该公司共有资金30万，全部用于投资

A

，

B

两个项目，则该公司一年分别投入

A

，

B

两个项目多少万元时，创造的总利润最大？1234