苏科版2024-2025学年八年级数学上册2.10 等边三角形的轴对称性（专项练习）（基础练）（含答案）

专题2.10等边三角形的轴对称性（专项练习）（基础练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，湖边栈道，互相垂直，栈道的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为，则M，C两点间的距离为（

）A． B． C． D．2．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，直线，等边的顶点B在直线b上，若，则等于（

）A． B． C． D．3．（2024·江苏南京·模拟预测）在中，三个内角的度数分别为，，，且满足等式，这个三角形是（）A．只有两边相等的等腰三角形 B．等边三角形C．等腰直角三角形 D．直角三角形4．（23-24七年级下·山东泰安·期末）如图所示，是等边三角形，D为的中点，，垂足为E．若，则的边长为（

）A．12 B．10 C．8 D．65．（2024·湖南岳阳·二模）如图，一块直角三角板的角的顶点A与直角顶点C分别在两平行线上，若斜边与直线交于的中点E，则的大小为（

）A． B． C． D．6．（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，是等边三角形，与相交于点M，与相交于点N．若，则与的数量关系为（

）

A． B．C． D．7．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，已知，以点O为圆心，长为半径画弧，分别交于点B、A．连结，用尺规作图法依据图中的作图痕迹作射线交于点C，则的度数是（

）A． B． C． D．8．（22-23七年级下·上海·期末）如图，已知等腰三角形中，，腰上存在一点，连接，将三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，则的度数的取值范围为（

）A．； B．； C．； D．9．（22-23八年级上·辽宁盘锦·期末）已知，都是等边的中线，点为上一动点，，则的最小值是（

）．

A． B． C． D．610．（22-23七年级下·福建泉州·期中）一副三角板和如图摆放，，，若，，则下列结论错误的是（

）

A．平分 B．平分 C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，直线，将等边按如图方式放置，点在直线上，边AB交直线于点，若，则的度数为．12．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，已知，D为边上一点，，为线段的中点，以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E，连接，则的长是.13．（23-24七年级上·山东济宁·期中）如图，点D为的边上一点，且满足，作于点E，若，则的长为．

14．（22-23八年级上·陕西延安·期末）如图，，，，，若，，且长为奇数，则的长为．15．（23-24八年级上·湖南常德·期中）如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当时，是等腰三角形.

16．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在边长为等边中，E是上一点且，D、P两点分别在、上移动，当时，才能使与全等．

17．（23-24八年级下·陕西咸阳·期中）如图，四边形中，，，点为的中点，连接、，使得，则的最大值为．（用含m的式子表示）18．（21-22八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：等边三角形，点D在直线上，点E在直线上，，连接，直线交于点在的延长线上，点E在的延长线上，过点A作，垂足为H，若，则．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，是的角平分线，，交于点F．已知．（1）求的度数．（2）若点F是的中点，请判断的形状，并说明理由．20．（8分）（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，为等边三角形，即，分别是，上的点，且．（1）求证：；（2）求的度数．21．（10分）（18-19八年级上·山东德州·期末）如图，为等边三角形，平分交于点D，交于点E．（1）求证：是等边三角形．（2）求证：．22．（10分）（23-24八年级上·上海静安·期末）已知：如图，中，，．操作：过点作，垂足为，在的延长线上，求作一点，使点到两边的距离相等，连接，与相交于点．猜想：线段与之间的数量关系为：___________．证明：23．（10分）（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）看图解答：

（1）如图1，将含的三角板的直角顶点D放置在含的直角三角板的斜边的中点位置上，两直角边分别交、于M、N，利用三角形的全等，发现与数量关系是________；若，，，y与x的关系式为________；（2）若将三角板绕顶点D旋转，两直角边分别与、的延长线交于M、N，如图2，（1）中的与数量关系是否改变？并说明理由；（3）若将三角板的顶点D从中点处沿方向平移、旋转至，如图3，其余条件不变，求证：．24．（12分）（22-23八年级上·广西桂林·期中）小明遇到这样一个问题：是等边三角形，点在射线上，且满足，交等边外角平分线于点，试探究与的数量关系．(1)【初步探究】小明发现，当点为的中点时，如图①，过点作，交于点，通过构造全等三角形，经过推理论证，能够得到线段与的数量关系，则线段与的数量关系是∶；构造的的形状是：(2)【类比探究】当点是线段上（不与点、重合）任意一点时，其他条件不变，如图②，试猜想与之间的数量关系，并证明你的结论；(3)【拓展应用】当点在的延长线上时，其他条件不变，连接．请在图③中补全图形，并直接写出的大小为参考答案：1．A【分析】本考考查了直角三角形斜边上的中线性质，由已知条件可得出，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出．【详解】解：∵，∴，∵为的中点，∴，故选：A．2．C【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质的应用，等边三角形的性质的应用，解此题的关键是根据对顶角的性质和三角形的外角的性质得到，然后根据平行线的性质即可得到结论．【详解】解：如图，∵，∵是等边三角形，∴，∴，∵直线，∴，故选C．3．B【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性，等边三角形的性质，正确理解绝对值、平方的基本性质是解题的关键．根据求出，，之间的等量关系，即可求解．【详解】解：，，，，，，这个三角形是等边三角形．故选：B．4．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于；在直角三角形中角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．根据题意可知，在直角三角形中求得的长，即可求得的长．【详解】解：∵是等边三角形，D为的中点，，垂足为点E．若，∴在直角三角形中，，，，∴，又∵D为的中点，∴，∴等边三角形的边长为12，故选：A．5．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，平行线的性质，先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，进而证明是等边三角形，得到，则由平行线的性质可得．【详解】解：∵斜边与直线交于的中点E，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴，故选：A．6．C【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和，对顶角相等．由等边三角形的性质得，由直角三角形的性质可求出，进而求出，然后根据三角形外角的性质求解即可．【详解】如图，

∵是等边三角形，∴．∵，，∴，∴，∵，∴，∴．故选C．7．C【分析】本题考查作图-基本作图、等边三角形的性质，熟练掌握角平分线的作图方法、等边三角形的性质是解答本题的关键．由作图痕迹可知，射线为的平分线，，则为等边三角形，即可得，即．【详解】解：由作图痕迹可知，射线为的平分线，，，为等边三角形，，．故选：C．8．C【分析】题目主要考查折叠问题及等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，理解题意，得出为等边三角形是解题关键．根据题意，分两种情况：当点A与点重合时，当点A与点F重合时，分别利用等边三角形的判定和性质，结合图形求解即可．【详解】解：如图所示：当点A与点重合时，∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，∴，∵等腰三角形，，∴垂直平分，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，当点A与点重合时，，∴；当点A与点F重合时，如图所示：∵三角形沿着折叠后，点的对应点为点，若此时点恰好落在底边的高所在的直线上，∴，∵等腰三角形，，∴垂直平分，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴当点A与点F重合时，，综上可得：故选：C．9．D【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，掌握等边三角形的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得出、关于对称，再根据两点之间线段最短进行求解．【详解】解：，都是等边的中线，、关于对称，，故选：D10．B【分析】根据三角形板各角的特点，平行线的判定和性质即可求解．【详解】解：∵，，，∴，则，∴平分，故选项正确；∵，，如图所示，设与交于点，

∴，由选项正确可得，∴在中，，在中，，∴，∴，∴平分错误，故选项错误；由上述证明可得，，∴，故选项正确；根据上述证明可得，，∵，且，∴，∴，∴，故选项正确；故选：．【点拨】本题主要考查平行性中三角板的计算，掌握三角板中各角度的关系，平行性的判定和性质是解题的关键．11．/40度【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，再由题意得出，然后再利用平行线的性质即可解答．【详解】解：如图所示，∵是等边三角形，∴，∵∴，∵，∴，故答案为：．12．4【分析】本题考查等边三角形的判定与性质．根据作图得到，从而得到为等边三角形即可得到答案．【详解】解：∵，为线段的中点，∴，∵以点O为圆心，线段长为半径作弧，交于点E，∴，∵，∴为等边三角形，∴，故答案为：4．13．3【分析】本题考查等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形的性质，解题关键是掌握等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半．由等腰三角形的性质得，求出，然后由30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】∵，∴．∵，∴．∵，∴，∴．故答案为：3．14．3【分析】由已知条件得，进而得出，，再根据得到为等边三角形，进而得到，最后根据三角形的三边关系即可求出．【详解】解：在和中，，，，，，为等边三角形，，，，，即，,长为奇数，，故答案为3．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定定理与性质是解题的关键．15．或【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，把几何问题转化为方程求解，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．【详解】解：当点P在点O左侧时，是等腰三角形，，即：，解得：；当点P在点O右侧时，，为等边三角形，，即：，解得：，综上所述，当或时，是等腰三角形，故答案为：或．16．2或【分析】根据D、P两点不同的位置，分两种情况，当得到，再求出的长即可；当时，得到即可得出结果．【详解】解：为等边三角形，，如图，当时，

，；如图，当时，

，故答案为：或．【点拨】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的性质，根据动点的位置分两种情况求解是解答本题的关键．17．/【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，折叠问题，两点之间线段最短，证明是等边三角形是解题的关键．将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，证明是等边三角形，根据两点之间，线段最短可得，即可求出最大值．【详解】解：将沿翻折得到，将沿翻折得到，连接，由翻折可知：，，，，∵E是中点，，∴，∵，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵两点之间线段最短，∴，∵，∴当D，M，N，C共线时，取得最大值为，故答案为：．18．【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，含度角的直角三角形的性质，证明，得出，根据，进而可得，根据含度角的直角三角形的性质，即可求解．【详解】解：∵是等边三角形∴，∴，又∵，∴∴，∴，又∵，∴，∵∴，∴，故答案为：．19．(1)(2)是等边三角形，理由见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形角平分线的定义，等边三角形的判定；（1）根据平行线的性质得到，再根据角平分线的定义得到，即可得到答案；（2）由（1）得：，从而得到，再由点F是的中点，可得，然后根据，即可得到答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵是的角平分线，，∴，∵，∴，∴的度数为；（2）解：是等边三角形，理由：由（1）得：，∴，∵点F是的中点，∴，∴，∵，∴是等边三角形．20．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质．（1）通过证明，即可得出；（2）通过证明，即可得出的度数．【详解】（1）证明：是等边三角形，，，在和中，，，；（2）解：由（1）可知，，，，．21．(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，关键是根据等边三角形的性质和平行线的性质解答．（1）根据等边三角形的性质和平行线的性质证明即可．（2）根据等边三角形的性质解答即可．【详解】（1）∵为等边三角形，∴．∵，∴，．∴是等边三角形．（2）∵为等边三角形，∴．∵平分，∴．

∵是等边三角形，∴．∴．22．猜想，证明见解析【分析】根据题意可知点P在的角平分线上，则，由此推出，设，由平行线的性质可得，如图所示，取中点H，连接，则，根据等边对等角得到，由三角形外角的性质得到，进而可证明，得到，则．【详解】解：猜想，证明如下：∵点到两边的距离相等，∴点P在的角平分线上，∴，∵，∴，设，∵，∴，如图所示，取中点H，连接，∴，∴，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，角平分线的定义和角平分线的判定，平行线的性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般是解题的关键．23．(1)；；(2)与数量关系不变，理由见解析；(3)见解析．【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是根据判定，据此得出对应边相等．解题时注意：等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．（1）根据是等腰直角三角形，且是的中点，得出，即可得到，且，再根据，即可得到，进而可得答案；（2）根据是等腰直角三角形，且是的中点，证明出，即可得到；（3）根据，得到，，，再根据是等腰直角三角形，可知，可