苏科版2024-2025学年八年级数学上册2.11 等边三角形的轴对称性（专项练习）（培优练）（含答案）

专题2.11等边三角形的轴对称性（专项练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，在中，，，点为的中点，连接，则的度数为（）A． B． C． D．2．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图，是等边三角形，为中线，为上一点，且，则等于（

）A． B． C． D．3．（2024·河南周口·二模）已知的三边分别为、、，且则为（

）A．等腰三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形4．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点A，D，再以点A为圆心，长为半径画弧，与弧交于点B，连接、，的延长线交于点C，若，则的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．65．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，，平分，且，若点M、N分别在直线上，且为等边三角形，则满足上述条件的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上6．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，是等边三角形，过边上的点D作的垂线交于点E，作交于点F，作交于点G，，相交于点M．若，，则的长为（

）A．7 B． C．8 D．7．（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，在中，，，，若点从点出发以的速度向点运动，点从点出发以的速度向点运动，设、分别从点、同时出发，运动的时间为时，是直角三角形（

）A．或 B．或 C．或 D．或8．（23-24八年级上·广东广州·期中）如图，在等边三角形中，E为上一点，过点E的直线交于点F，交延长线于点D，作垂足为G，如，，则的长为（

）A． B． C． D．9．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰中，，点分别在边上，且，，，点在线段上，，连接，以为边在其右侧构造等边，连接交线段于点，则（）A． B． C． D．10．（23-24八年级上·广东珠海·期中）在中，，，点D是线段上一动点，作射线，点B关于的对称点为，直线与相交于点E，连接，下面结论正确的个数是（

）①线段；②当时，的面积是8；③随着点D的移动，的角度不变；④线段的长度最大值是8．

A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（22-23八年级上·吉林·期中）如图是一个残缺不全的三角形纸片，小明通过测量发现，，则三角形纸片破损前的周长为．

12．（22-23八年级上·河南开封·期末）在中，，作边的垂直平分线，交直线于点，交于点．若，且，，则的长为．

13．（22-23八年级上·山东济宁·期中）如图，已知等边中，，，连接CD并延长，交AB的延长线于点，则的度数．14．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，在等边中，点D为线段上一点，，连接，点E为线段下方一点，连接，且，，连接交于点M，点F为线段延长线上一点，，连接．已知，则的长为．15．（23-24八年级上·浙江台州·期末）一副三角板如图叠放，，，互相平分于点O，点F在边上，边交于点H，边交于点G．（1）；（2）若，则（用含a的代数式表示）．

16．（23-24八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，，在内有一点P，，垂直于M，垂直于N，且，，连接，，则．

17．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，点A是线段的垂直平分线上任意一点，连接，，作的垂直平分线分别交、于点G、H，若，，则的长为．18．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，．E为平面上一点，连接，点D为上一点，连接，与交于点F，若，，，，．的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24八年级上·广东惠州·期末）如图，在中，，D是的中点，垂直平分，交于点E，交于点F，．

（1）若，求点O到的距离；（2）若，求的周长．20．（8分）（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，中，D是边的中点，，，垂足分别是点E，F，连接，．（1）求证：．（2）若，，连接，求的面积．21．（10分）（22-23八年级上·广西南宁·阶段练习）如图：等边三角形中，、分别是、边上的点，，与相交于点，，是射线上的动点．

（1）求证：；（2）求的度数；（3）若为直角三角形，求的值．22．（10分）（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图1，在中，为线段上一动点（不与点B、C重合）．连接，作，且，连接．（1）求证：．（2）当平分时，若，求的度数．（3）如图2，设，在点D运动过程中，当时，__________°．（用含的式子表示）23．（10分）（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，与相交于点E，．（1）填空：与的位置关系为__________，与的数量关系为__________；（2）过点作交的延长线于点，且．①求证：是等边三角形；②若点，分别是线段，线段上的动点，当的值最小时，请确定点的位置，并求出与之间的数量关系．24．（12分）（22-23八年级上·河南商丘·开学考试）（1）如图1，等腰中，，点P为边上（不与端点重合）一动点，以为一边在右侧作，使得，．①与之间的数量关系是___________；②猜想，，之间的数量关系并证明；（2）如图2，为直角，其他条件同（1），若，在点P移动过程中，四边形周长是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请简要说明理由．

参考答案：1．B【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质，三角形外角性质，等腰三角形性质，先由点为的中点，得，通过等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的外角外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】∵点为的中点，，∴，∴，∴，故选：．2．A【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，由等边三角形的性质可求解，，利用等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得的度数，进而可求解．【详解】解：为等边三角形，，是等边三角形的中线，，，，，，，，故选：．3．D【分析】本题考查了因式分解的应用，根据完全平方公式进行等式的变形，利用非负数的性质即可求解．【详解】解：∴．则为等边三角形故答案为：D．4．B【分析】由题意得，则可得是等边三角形，则，进而可得，则可得．本题主要考查这了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】解：由题意得，是等边三角形，，，，，．故选：B5．D【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，证明是解题的关键．在上截取，作，证明，得出是等边三角形，则只要就是等边三角形，则这样的三角形有无数个．【详解】解：如图，在上截取，作．∵平分∠，∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴，在和中，，∴．∴，∵，∴是等边三角形，∴则只要就是等边三角形，故这样的三角形有无数个．故选：D．6．A【分析】如图所示，过点M作于H，先证明，由含30度角的直角三角形的性质求出，进而求出即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点M作于H，∵是等边三角形，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，是等边三角形，∴，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．7．C【分析】本题考查了含度角的直角三角形，分两种情况讨论是解题的关键．先利用含度角的直角三角形性质可得，，然后设运动时间为秒，根据题意可得：，，从而可得，最后分两种情况：当时；当时；分别进行计算即可解答．【详解】解：，，，，，设运动时间为秒，由题意得：，，，分两种情况：当时，如图：，，，解得：；当时，如图：，，解得：；综上所述：运动的时间为或时，是直角三角形，故选：C．8．C【分析】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，过E作，先证明是等边三角形，再证，即可得到答案；【详解】解：过E作，∵是等边三角形，，，∴，，∵，∴，，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，在与中，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故选：C．9．D【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角所对的直角边等于斜边的一半，先证明为等边三角形，得到，，，进而证明，得到，，得到，得到，根据线段的和差关系即可求出，根据已知条件推导出是解题的关键．【详解】解：∵，，，∴，，∵，∴，∵，∴为等边三角形，∴，，∴，∵为等边三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴，∴，故选：．10．C【分析】由点B关于的对称点为，则垂直平分，即可判断①；证明是等腰三角形，又由，则，即可得到的面积，即可判断②；求出，即可判断③；连接，设与相交于点H，证得垂直平分，，则，证明是等边三角形，则，在中，，即，则，得到，即可判断④．【详解】解：∵点B关于的对称点为，∴垂直平分，∴，故①正确；∴是等腰三角形，∴当时，则，∵，∴，∵，∴，∴的面积是，故②正确；∵是等腰三角形，∴，∵，，∴，∴，即随着点D的移动，的角度不变；故③正确；连接，设与相交于点H，

∵点B关于的对称点为，∴垂直平分，，∴，∵，∴是等边三角形，∴，在中，，∴，即，∴，即，故④不正确，综上可知，正确结论是①②③，故选：C【点睛】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键．11．30【分析】延长、BD相交于E，由三我助攻内角和定理得出，则为等边三角形，则，即可求解．【详解】解；延长、BD相交于E，如图，

∵，，∴，∴，∴为等边三角形，∴，∴的周长，即三角形纸片破损前的周长为，故答案为：30．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．12．3【分析】连接，利用垂直平分线的性质，证明，，利用直角三角形的性质计算即可．本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握三条性质是解题的关键．【详解】解：连接，∵，，∴．∵直线是线段的垂直平分线，，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：3．

13．/105度【分析】本题考查了等边三角形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，由是等边三角形，则，，又，则，再根据等边对等角得，最后由三角形外角性质即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】∵是等边三角形，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．14．4【分析】此题重点考查等边三角形的性质、等角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由等边三角形的性质得，则，可证明，得，再证明，得，则，于是得到问题的答案．【详解】解：∵是等边三角形，，，，，，在和中，，，，；在和中，，，，，故答案为：4．15．【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，掌握30度角所对应的直角边是斜边的一半，是解题的关键．（1）连接，推出，，进而得到，得到，利用互余关系，求出即可；（2）利用含30度的直角三角形的性质得到，证明为等腰三角形，进而得到，求出的长，证明为等腰三角形，得到即可．【详解】解：（1）连接，

∵，∴，∴，∵互相平分于点O，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴；故答案为：．16．5【分析】连接，垂直平分，垂直平分，得到，再证明是等边三角形，即可．【详解】解：连接，

∵垂直于M，垂直于N，且，，∴垂直平分，垂直平分，∴，，∵，∴，即：，∴是等边三角形，∴；故答案为：5．【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点到线段两端点的距离相等，是解题的关键．17．【分析】如图，连接，证明，而，可得，取关于的对称点，连接，则，证明是等边三角形，可得，而，可得.【详解】解：如图，连接，∵是的垂直平分线，∴，，而，∴，∴，∴，而，∴，取关于的对称点，连接，则，∵，是的垂直平分线，∴由轴对称的性质可得：，∴，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵，∴，而，∴，故答案为：【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键.18．【分析】如图所示，作交于T，连接，先证明是等边三角形，是等边三角形，进而证明，得到，，则，由，推出，则，由此求出，，则，进而得到，进一步求出，证明，得到，由，可得．【详解】解：如图所示，作交于T，连接，∵，∴是等边三角形，∴，，∵，，∴是等边三角形，∴，，∴∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．19．(1)1(2)18【分析】本题考查等腰三角形的对称性，等边三角形的判定与性质以及利用轴对称求最短距离，解题关键是掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质．（1）由题意可知共线，则是的对称轴，由对称性即可求解；（2）由题意可知平分，可判断是等边三角形，再求解即可．【详解】（1）解：是的中点，共线，所在直线是的对称轴，，点O到的距离为1，故答案为：1；（2）是的中点，，，平分，，是等边三角形，，是的中点，，，的周长为．20．(1)见解析(2)【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，含的直角三角形的性质等知识，解题的关键是：（1）利用直角三角形斜边中线的性质可得出，即可得证；（2）利用三角形内角和定理、等边对等角可求出，进而求出∴，作，垂足为G，利用含的直角三角形的性质求出，然后利用三角形面积公式求解即可．【详解】（1）证明：，点D是的中点．，，，为等腰三角形；（2）解：连接，∵∴，由（1）知，∴，∴，同理，∴，∴，作，垂足为G，∵∴，∴，∴．21．(1)证明见解析；(2)；(3)或．【分析】（）由等边三角形可得，，即可由证明；（）由全等三角形的性质可得，再利用三角形外角性质即可求解；（）分和两种情况，利用直角三角形的性质即可求解；本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键．【详解】（1）证明：∵为等边三角形，∴，，∵，∴，（2）解：∵，∴，∴；（3）解：如图，

①当时，∵，∴，∵，∴；②当时，∵，∴，∴；综上，或．22．(1)见详解(2)(3)【分析】（1）先证，再由证即可；（2）证是等边三角形，得，再证是等边三角形，得，然后由三角形内角和定理即可得出结论（3）由等腰三角形的性质得到，再由全等三角形的性质得到，求出，然后由直角三角形的性质即可得到结论．【详解】（1）证明，∴在和中；（2）由(1)可知，，，∴，∵平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴是等边三角形，∴，∴在中，；（3），，，在和中，，，，，，故答案为：．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质以及全等三角形判定以及性质是解题的关键．23．(1)；(2)①证明见解析；②点的位置见解析，．【分析】（1）与的位置关系为：；与的数量关系为：．根据等角对等边得到，证明，得到，继而得到垂直平分，即可得出结论；（2）①如图，设，根据等边对等角和三角形外角的性质得到，根据等腰三角形三线合一性质得到，继而得到，，，可得，，即可得证；②