苏科版2024-2025学年八年级数学上册1.13 三角形全等几何模型（半角模型）（学生版）（含答案）

专题12.13三角形全等几何模型（半角模型）第一部分【知识点归纳】【定义】把过等腰三角形顶角的顶点引两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半，这样的模型称为半角模型。【特征】（1）大角内部有一个小角，小角角度是大角的一半；（2）大角的两边相等。【类型】如下图，有三类型半角模型【解题思路】半角模型解题思路是构造旋转型全等，应用两次全等（两次全等判定都是SAS型）解题，具体步骤如下：（1）将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形（但要注意解题时通常不一定是说旋转，因为不能保证旋转后两个三角形的边共线）；（2）证明（1）中构造的三角形与原三角形全等（SAS）（如果（1）中是通过旋转方式得到三角形，则没有这一步）；（3）证明合并形成的新三角形与原半角形成的三角形全等（SAS）；（4）通过全等的性质得出线段相等、角度相等，从而解决问题.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】“等边三角形含半角”模型【例1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【变式】（22-23九年级下·山东滨州·期中）（1）如图1，在四边形中，，，且，求证：．（2）如图2，若在四边形中，，，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．【题型2】“等腰三角形含半角”模型【例2】如图，若在四边形中，，，E，F分别是，上的点，连接，，，若，求证：．【变式】（22-23八年级上·河南新乡·阶段练习）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形以为顶点作，交边、于、．(1)若，，当绕点旋转时，、、三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；(2)当时，、、三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；(3)如图③，在（2）的条件下，若将、改在、的延长线上，完成图3，其余条件不变，则、、之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）【题型3】“正方形含半角”模型【例3】如图，AB＝AD＝BC＝DC，∠C＝∠D＝∠ABE＝∠BAD＝90°，点E、F分别在边BC、CD上，∠EAF＝45°，过点A作∠GAB＝∠FAD，且点G在CB的延长线上．（1）△GAB与△FAD全等吗？为什么？（2）若DF＝2，BE＝3，求EF的长．【变式】如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．

(1)试判断，，之间的数量关系；(2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程．第三部分【拓展延伸】【例1】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）【问题背景】如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，试探究图中线段之间的数量关系．【初步探索】小亮同学认为：如图1，延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论______；【探索延伸】如图2，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．【结论运用】如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．【灵活变通】如图4，已知在四边形中，，若点在的延长线上，点在的延长线上，仍然满足【初步探索】中的结论，请直接写出与的数量关系．

【例2】（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，线段之间的关系是；（不需要证明）（）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且，（）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们