10.1.1复数的概念课件高一数学人教B版

第十章复数复数的概念人教B版

数学

必修第四册课标要求1.通过方程在实数范围内无解的情况,了解复数概念的引入过程.2.掌握复数的概念.3.能利用复数的概念、复数相等解决有关问题.基础落实·必备知识全过关重难探究·能力素养全提升目录索引

成果验收·课堂达标检测基础落实·必备知识全过关知识点1复数的引入一般地,为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即i2=-1,并称i为

.

过关自诊i4=

.

虚数单位

i4=(i2)2=(-1)2=1.知识点2复数的概念1.复数的概念:一般地,当a与b都是

时,称a+bi为复数.复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中a称为z的

,b称为z的

,分别记作Re(z)=a,Im(z)=b.

2.复数集定义:

组成的集合称为复数集,复数集通常用大写字母C表示,因此C={z|z=a+bi,a,b∈R}.

实数

实部虚部所有复数过关自诊1.[2023江苏南京模拟]复数3-4i的虚部是(

)

A.4 B.3C.-3 D.-4D2.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为

.1或-3解析

由条件知a2-3+2a=0,∴a=1或a=-3.知识点3复数的分类不难看出,任意一个复数都由它的

与

唯一确定,虚部为0的复数实际上是一个

.特别地,称虚部不为0的复数为

,称实部为0的虚数为

.

对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,它是实数;当且仅当a=b=0时,它是实数0;当b≠0时,它是虚数;当a=0且b≠0时,它是纯虚数.这样,复数z=a+bi(a,b∈R)可以分类如下:实部虚部实数虚数纯虚数过关自诊1.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(

)A.-1

B.0C.1 D.-1或1A(1)实数为:

;

(2)虚数为:

;

(3)纯虚数为:

.

知识点4复数相等两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数相等,记作

.

这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔

.

特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是

.

z1=z2a=c且b=da=0且b=0名师点睛两个复数不一定能比较大小(1)根据复数相等的定义,知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di.(2)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较大小,则它们必须都是实数(即虚部均为0).(3)若两个复数不全是实数,则不能比较大小.过关自诊1.若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是(

)

A.1,1 B.-1,1C.1,0 D.1,-1D2.若复数z=(m+1)+(m2-9)i<0,则实数m的值等于

.

-3重难探究·能力素养全提升探究点一复数的概念【例1】

[北师大版教材例题]说出下列三个复数的实部、虚部,并指出它们是实数还是虚数,如果是虚数,请指出是否为纯虚数:解(1)1-i的实部与虚部分别是1和-1,它是虚数,但不是纯虚数.(3)-7的实部与虚部分别是-7和0,它是实数.规律方法

数集从实数集扩充到复数集后,某些结论不再成立.如:两数大小的比较,某数的平方是非负数等.变式训练1(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是(

)A.若a≠0,则ai是纯虚数B.虚部为

的虚数有无数个C.实数集是复数集的真子集D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等BCD解析

对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为

的虚数可以表示为

(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,C正确;对于D,两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.探究点二复数的分类【例2】

当m分别取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i:(1)是实数?(2)是虚数?(3)是纯虚数?规律方法

研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时,要采用复数的标准代数形式,若不是复数的标准代数形式,应先化为复数的标准代数形式z=a+bi(a,b∈R),再依据概念判断.变式训练2[人教A版教材例题]当实数m取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是下列数?(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.解(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.(3)当m+1=0,且m-1≠0,即m=-1时,复数z是纯虚数.探究点三复数相等【例3】

[人教A版教材习题]求满足下列条件的实数x,y的值:(1)(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i;(2)(x+y-3)+(x-4)i=0.规律方法

两复数相等的充要条件是实部与虚部分别对应相等,要先确定是否为代数形式,确定实部、虚部后再应用.变式训练3(1)若4-3a-a2i=a2+4ai,i为虚数单位,则实数a=

.

(2)已知x2-y2+2xyi=2i,i为虚数单位,求实数x,y的值.-4成果验收·课堂达标检测123456789101112131.[探究点三]设x+2i=1-yi(i是虚数单位,x∈R,y∈R),若复数z=x+yi,则z=(

)A.1-2i B.1+2iC.-1+2i D.2-2iA解析

因为x+2i=1-yi(i是虚数单位,x∈R,y∈R),所以x=1,y=-2,所以z=1-2i.故选A.123456789101112132.[探究点二]若z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,则实数m的值为(

)A.-2 B.2

C.3

D.-3D解析

∵z=(m2+m-6)+(m-2)i为纯虚数,123456789101112133.(多选题)[探究点一、三]下列命题是假命题的有(

)A.若x,y∈R,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1B.若a,b∈R且a>b,则a+i>b+iC.若x2+y2=0,则x=y=0D.若a∈R,则(a+1)i为纯虚数BCD解析

A项中,由复数相等的充要条件知,A是真命题.B项中,由于两个虚数不能比较大小,B是假命题.C项中,当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,C是假命题.D项中,当a=-1时,a∈R,但(a+1)i=0不是纯虚数.D是假命题.12345678910111213B123456789101112135.[探究点二·2023福建三元校级期中]已知z=a+(a-1)i,且z∈R,则实数a=

.

1解析

∵z=a+(a-1)i,且z∈R,∴a-1=0,解得a=1.12345678910111213123456789101112137.[探究点二·2023江苏镇江期中]已知m∈R,复数(m2-5m-6)+(m2+m)i为纯虚数,则m=

.

6解析

若复数(m2-5m-6)+(m2+m)i为纯虚数,则

解得m=6.123456789101112138.[探究点二]方程(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0的实数解x=

.

2解析

由(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0,得

解得x=2.123456789101112139.[探究点三]若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为

.

1解析

∵(x+y)i=x-1(x,y∈R),∴2x+y=20=1.1234567891011121310.[探究点三]已知集合M={1,2,(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i},N={-1,3},若M∩N={3},则实数a=

.

-1解析

由M∩N={3}知,3∈M,即有(a2-3a-1)+(a2-5a-6)i=3,1234567891011121311.[探究点一]设z=(m2-2m-2)+(2m2+3m+4)i(m∈R).若Re(z)≥Im(z),求实数m的取值范围.解由题意可知Re(z)=m2-2m-2,Im(z)=2m2+3m+4.∵Re(z)≥Im(z),∴m2-2m-2≥2m2+3m+4,即m2+5m+6≤0,解得-3≤m≤-2.故实数m的取值范围为[-3,-2].1234567891011121312.[探究点二]设复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i,当m分别为何值时:(1)z是实数?(2)z是纯虚数?解(1)要使复数z是实数,需满足

解得m=-2,或m=-1.即当m=-2