高中数学：教学设计：导数及其应用

导数及其应用复习

【知能目标】

1.了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度、光滑曲线切线的斜

率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念。

2、熟记基本导数公式：x"（m为有理数）、sinx、cosx、e\a\lnx>logax

的导数；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则和复合函数的求导法则，会求

某些简单函数的导数。

3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值

的必要条件和充分条件（导数在极值点两侧异号）；会求一些实际问题（一般指单

峰函数）的最大值和最小值。

［教学方法］

1.采用“学案导学”方式进行教学。

2.讨论法、启发式、自主学习、合作探究式教学方法的综合运用。

［教学流程］:独立完成基础回顾，合作交流纠错，老师点评；然后通过题目落实

双基，根据学生出现的问题有针对性的讲评.

［教学重点和难点］

教学重点：导数的概念、四则运算、常用函数的导数，导数的应用理解运动和物

质的关系。

教学难点：导数的定义，导数在求函数的单调区间、极值、最值、证明中的应用。

【综合脉络】

1.知识网络

基本求四则运算复合函数

导公式求导法则求导法则

求简单函数的导数

导数的应用

判断函数求函数的求函数的

的单调性极大(小)值最大(小)值

2.考点综述

有关导数的内容，在2000年开始的新课程试卷命题时，其考试要求都是很

基本的，以后逐渐加深，考查的基本原则是重点考查导数的概念和计算，力求结

合应用问题，不过多地涉及理论探讨和严格的逻辑证明。本部分的要求一般有三

个层次：第一层次是主要考查导数的概念，求导的公式和求导法则；第二层次是

导数的简单应用，包括求函数的极值、单调区间、证明函数的增减性等；第三层

次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数

的单调性等有机地结合在一起，设计综合题，通过将新课程内容和传统内容相结

合，加强了能力考察力度，使试题具有更广泛的实际意义，更体现了导数作为工

具分析和解决一些函数性质问题的方法，这类问题用传统教材是无法解决的。

［教学过程］

一、目标导航：1.复习巩固导数的概念、四则运算、常用函数的导数

2.利用导数求函数的单调区间、极值、最值

二、基础回顾

第一步：自主复习，学生用6分钟时间利用《学案》将以下基础知识填完

1.导数的概念：对于函数y=f(x),如果自变量x在X。处有增量△*,那么函数y相应

的有增量=；比值叫做函数y=f(x)在X。到Xo+Ax之间

的________，当△x-0时，有极限，就说y=f(x)在点xo处________，并把这

Z_AX

个极限叫做f(x)在点X0的导数(瞬时变化率)，记作或,

当X变化时，〃仅)便是X的一个函数，称之为f(x)的导函数(简称导数)，记

limf(x+Ax)—f(x)

f'(x)=y'=

△x-*0Ax

2.用定义求导数的一般步骤：(1)求函数的增量Ay=(2)求平均变

Ay

化率•

△x

lim△、

(3)取极限，得导数f，(x)=

△x-0Ax

3.导数的几何意义：f，(xo)是曲线y=f(x)在点P(xo,f(x0))处的切线的即—

4.几种常见函数的导数(xn)(sinx)'=(cosx)

xz

(e)=(a,'=(Inx)'=(logax)'=

5.导数的四则运算若y=f(x),y=g(x)的导数存在,则

,「f(x)

了仅)±g(x)「=［f(x)g(x)/=__________--g(xj^=

6.复合函数y=*g(x))(其中u=g(x))的导数yj=

7.函数的单调性与其导函数的正负如下关系：在开区间(a,b)内，如果,

那么函数在这个区间内，如果，那么函数在这个区间内，

反之？

求可导函数y=f(x)的单调区间的步骤:(1)求可(x)(2)解不等式「(x)>0(或「

(x)<0)

(3)确认并写出单调区间

8.极值：设函数f(x)在附近有定义，如果对X。附近所有的x都有,则称

f(xo)是f(x)的一个极大值；如果对X0附近所有的X都有,则称f(X。)是f(x)

的一个极小值。

可导函数点X0处的导数为0是f(x)在X。处取得极值的条件

9.求函数y=f(x)极值的步骤：

(1)确定函数的定义域(2)求方程「仅)=0

(3)解不等式f，(x)>0(或「(x)<0)顺次将函数的定义域分成若干小开区间

(4)判断f，(x)=O的根的两侧f，(x)的符号，确定是否为极大值、极小值。

10.在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)必有和

求在闭区间［a,b］上的连续函数y=f(x)最值的步骤：(1)

(2)_____________________

第二步：合作学习，分组交流，解决知识漏洞及疑难点(老师注意发现学生的问

题)

第三步：老师点评：老师根据情况有重点的进行知识讲评(大屏幕显示)

三、巩固练习

"3-rnlimf(1-Ax)—f(x)

1、函数可刈可导'则ril△x-o―近一=——

2、已知f(x)=x2+2xf，(O),贝If，(2)=

3、函数f(x)=x3-2X2+X一6的单调区间为

4、求导①(一*卜②(3»=③(tanx/=

1

④[sin3(x+—)]'=⑤[cos(l—2x)lnx上

x

5、函数f(x)=ax3+x—2在(-8,+oo)上为单调函数，则aS

四、探究提高：(两个学生上黑板板书，其他同学做在学案上)

1.当常数k为何值时，直线y=x才能与函数y=x2+k相切？并求出切点。

2.已知x>l,求证:x>ln(l+x)

针对学生出现问题老师讲评(大屏幕给出答案)

五、归纳总结，引导学生给出本节知识总结

六、应用拓展(课后完成)

1、已知函数/(x)=2ax—x3,xw(O,l],a>0

⑴若f(x)在xw(O,l]上是增函数，求a的取值范围;

⑵求f(x)在区间(0,1]上的最大值

2

2、已知f(xhx'+ax'+bx+c在x=l与x=一可时，都取得极值.

(1)求a,b的